INF2608 Fundamentos da Computação Gráfica Prova Final de

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1 INF268 Fundamentos da Computação Gráfica Prova Final de 2. Aluno(a):_ Eduardo Ribeiro matrícula: Questão Pts. a ) 3. 2 a ) 3. 3 a ) 4. Nota Para fazer a prova, favor observar o seguinte:. A prova é individual. É para ser feita em casa e com consulta livros, manuais e materiais de referência na internet. Você não pode consultar nenhum outro ser humano. Pode consultar o papagaio, o gato ou o cachorro, desde que não tenha uma pessoa por perto para ouvir.ela pode ficar com pena e responder. Mantenha sua solução em segredo até a data de entrega. 2. A prova esta sendo entregue a você através deste arquivo e sua resposta também deve ser digital (arquivo doc ou pdf) e entregue por . A prova será postada na 2ª feira, dia 5 de julho, e deverá ser devolvida (estar na minha caixa postal) antes das 2h da 4ª feira, dia 7 de julho.após esta hora as provas não serão mais aceitas. A prova exige muitas contas, mas você pode utilizar programas do tipo Excel, MATLAB e Maple. Pode também modificar os programas C dados, de forma a que eles imprimam resultados parciais, comovetores e matrizes. Para colocar no arquivo resposta (doc ou pdf) você pode utilizar o PrintScreen, salvar em arquivos dar cortar e colar, enfim fazer o que você quiser para ser mais eficiente e fácil. O importante é que o resultado seja facilmente legível por qualquer um que não seja conhecedor de nenhuma das ferramentas utilizadas. Ou seja, não valem respostas que sejam apenasa saída de um programa como o MATLAB sem um texto explicativo.

2 ª Questão (3 pontos)determine a Transformada Cosseno Discreta (DCT- Discrete Coe Transformation) do al amostrado tabela abaixo. A partir do al transformado, calcule a transformada inversa e mostre que o al original é reproduzido. Reconstrua também o al considerando apenas as 3 primeiras componentes da transformada seno. Ou seja, ao invés de armazenarmos oito números para o al, estaríamos armazenando apenas três. Os ais, original e reconstruindo com esta redução, ficam muito diferentes? Ilustre com uma figura. x f(x) Equação do DCT para uma dimensão., onde. Equação para a reconstrução do al amostrado. No caso da reconstrução do al considerando apenas as 3 primeiras componentes da transformada seno, o Z(u) só é multiplicado pelo seno nos três primeiros componentes. Original DCT IDCT IDCT ,,2,3,4,5,6,7,8 Figura - Em azul a reconstrução usando todos os componentes. Em rosa a reconstrução levando em conta apenas as três primeiras componentes.

3 2ª Questão (3 pontos)considere um objeto descrito por uma malha de triângulos descrita num sistema de coordenadas cuja origem está no centro de massa do objeto. Num tempo t = de uma animação o centro de massa deste objeto está na posição (5,,2) e ele se encontra rodado de 6 o em torno do eixo (,,). Num tempo t = este centro está em (, 5, 2) e o objeto está rodado de -9 o em torno do eixo (,,). Pede-se: a) As matrizes de instanciação deste objeto na cena em t e t. Objeto definido em seu sistema proprio nas coordenadas da cena. Aplicar rotação e translação em cima do objeto para levá-lo a posição desejada. Um vértice no tempo é definido pela equação A matriz de rotação é definida por, onde a variável c é o seno do ângulo de rotação, s é o seno do ângulo e (x,y,z) =, caso contrário deve ser normalizado. A matriz translação dada é por em cada um dos três eixos., onde o x, y e z representam as translações Em : matriz de rotação, matriz de translação.

4 Matriz de instanciação. Em : matriz de rotação, matriz de translação. Matriz de instanciação. b) Supondo que o centro de massa siga uma curva de Bezier e que as derivadas paramétricas em t e t sejam (2,-2,-2) e (2,2,24), respectivamente, qual a posição do centro de massa em t=.3? Aplicar uma curva de Bezier cúbica, onde = ( 5,, 2 ), = (, 5, 2 ). Os pontos de controle e são determinados a partir das derivadas paramétricas. f'() = 3( ) ( 2, 2, -2 ) = 3 - ( 5,, 6 ) -> = ( 9, -4, -2 ) f'() = 3( ( 2, 2, 24 ) = ( 3, 5, 6 ) - 3 -> = ( 6,, 2 ) A fórmula de Bezier Cúbica é B(.3) = ( -.3)³(5,, 2) + 3(-.3)².3(9,-4,-2) + 3(-.3).3²(6,,2) +.3³(,5,2) B(.3) = (7.88, -.44, 2.62) c) Qual a rotação deste objeto se for interpolada linear e esfericamente (Slerp - spherical linear interpolation) neste mesmo tempo (t=.3)? Responda dizendo o ângulo e o eixo de rotação. Transformar as rotações do formato ângulo, eixo de rotação para quaternios, aplicar a interpolação linear esférica. Um quaternio pode ser associado a uma rotação sobre um eixo usando a expressões abaixo: Onde α é o valor em radiano do ângulo de rotação e o (, (, ( são senos que localizam os eixos de rotação. A variável representa o w do quaternio.

5 Quaternio da rotação em = {,.4999,,.866 } Quaternio da rotação em = {.77,,,.77 } A interpolação linear e esférica é dada pela fórmula =. Quaternio resultante da aplicação do Slerp em = { -.246,.3767,,.8942 } Com o quaternio referente a rotação do objeto em ângulo e eixo de rotação usando a fórmula abaixo: tranformamos de quaternio para angle= 2 * a(w) ax= x / scale ay= y / scale az= z / scale Onde scale = sqrt (x² + y² + z²). Com isso obtemos que o ângulo do objeto é e o eixo de rotação é { ,.848, }. 3ª Questão (4 pontos) No ano de 22, dez anos após publicarmos a resposta desta questão, foi inventada uma esfera denominada BI (bolha imersiva), que permite que um ser humano de altura de nariz (h n ) veja um mundo virtual completamente imerso nele. A Figura 3(a) ilustra este conceito onde a esfera transparente de raio de h n e centrada no nariz da pessoa controla totalmente a luz, sons e calor no seu interior. Um sistema acompanha os movimentos do nariz de forma a projetar na superfície da esfera na região correspondente ao campo visual da pessoa a radiância do mundo virtual. A Figura 3(b) ilustra o sistema de coordenadas da esfera (x s, y s, z s ) onde os vértices dos modelos do ambiente virtual são definidos. Isto é, as coordenadas dos triângulos da cena são fornecidas neste sistema. A Figura 3(b) também mostra e o vetor nariz, n, na posição alinhada com a esfera. Nesta primeira versão da BI apenas os movimentos da cabeça correspondentes aos ângulos: e (Figura 3(c)) são considerados. Estes ângulos têm valores positivos no sentido mostrado nesta Figura, i.e. esquerda(-), direita(+), para baixo(-) e para cima(+). Espera-se para o Natal de 222 uma versão que permita a cabeça rodar em torno do eixo do nariz. (a) (b) (c) (d) Figura 3 Bolha imersiva para RV Para materializarmos hoje um protótipo inicial da BI vamos admitir que tenhamos uma versão onde, no ponto que o vetor n fura a esfera temos o centro da imagem de um

6 monitor que se move junto com a cabeça gerando a radiância que é vista através da superfície transparente da esfera. A imagem tem resolução de 92 8 e o field of vision em y é 9 o. Pede-se: a) Traçado de Raios: desenvolva o procedimento (como feito em aula) para calcular a direção do raio d em função da coordenadas dos pixels (x,y). b) ZBuffer: determine a matriz ModelView que permita que a cena descrita no sistema (x s, y s, z s ) seja transformada para o sistema do olho. Vamos começar a resposta pelo item (b) que trata apenas na mudança do sistema da esfera (global ou dos objetos) para o sistema do olho (câmera), ilustrado na Figura abaixo. A resposta do item (a) também depende desta transformação. b) Existem dois enfoques para resolver o problema: um mais simples, porém trabalhoso outro menos trabalhoso, mas que depende de uma boa interpretação das rotações. Vamos ver ambos, iniciando com o mais simples. i. Resposta simples, mas trabalhosa: derivando a posição da base x e y e z e : O vetor unitário na direção do nariz pode ser escrito como: n O vetor z e tem o sentido oposto a n, ou seja: z e

7 Dadas as condições do problema o vetor y s permanece como sendo a direção para cima (pelo menos até o Natal de 222). Daí podemos calcular x e pelo produto vetorial de y s com z e : x e i j k O vetor y e também pode ser obtido pelo produto vetorial de z e com x e : y e i j k ( 2 2 ) Com estes vetores da base podemos escrever a matriz LookAt, como apresentado nas notas do curso, observando que a translação no caso presente não existe. Assim sendo: L at Ou ainda: x y z e e e x y z s s s

8 ii. Solução mais direta: Os ângulos mostrados na Figura 3(c) indicam que o sistema do olho sofre uma rotação de em relação ao eixo x seguida de outra rotação de em relação ao eixo y. Note que a ordem destas transformações é importante e que se fossem trocadas não resultaria em ser o ângulo entre o eixo z s e a projeção de n no plano y s e ser o ângulo entre n e a sua projeção. Ou seja:

9 a) Depois da localização do sistema da câmera (eye) feita acima, o procedimento segue o mostrado em aula com os seguintes parâmetros: Como o centro de projeção fica na origem do sistema (x s, y s, z s ) o vetor eye é dado por: eye A resposta do item (b) calcula as coordenadas do sistema do x e y e z e Pelo encunciado os demais parâmetros da câmera são: fovy =9 o w=92 h=8 aspect = 92/8=6/9 near = h n A partir deles o procedimento é o mesmo que o apresentado no curso: