Departamento de Matemática

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2 Computação Gráfica - Evolução de Curvas e Superfícies Aluno: Vinícius Segura Orientador: Sinésio Pesco Introdução Nas últimas décadas atravessamos uma verdadeira revolução tecnológica, devido ao avanço da informática. O advento dos computadores e, conseqüentemente, da computação gráfica, representou uma enorme possibilidade de ampliar as pesquisas, através de cálculos cada vez mais rápidos e a capacidade de visualização dos dados obtidos através de uma interface gráfica. Tal tecnologia não se limita apenas ao campo da pesquisa. Ela pode ser utilizada em larga escala em aplicações com objetivo educacional, como o ensino de cálculo. Através deste instrumento, o aluno pode compreender melhor os conceitos aprendidos em sala de aula, tais como parametrização e estudo de integrais e derivadas, através da visualização das curvas e objetos 3D, por exemplo. Objetivos O projeto tem como principal objetivo desenvolver ferramentas computacionais, utilizando a API gráfica OpenGL e a linguagem de programação C, que permitam a visualização de curvas parametrizadas e de superfícies implícitas e paramétricas, analisando o algoritmo mais adequado em cada situação. Representação de Curvas e Superfícies Curvas e superfícies podem ser descritas através de duas formas principais: a paramétrica e a implícita. A primeira, a forma paramétrica, associa o valor de um ou mais parâmetros com o ponto correspondente da curva / superfície. Dessa forma, é fácil determinar quais pontos estão sobre a curva / superfície, apenas substituindo os valores dos parâmetros utilizados. A segunda, a forma implícita, associa uma função a uma constante. Fica fácil com isso determinar se um ponto está dentro ou fora do sólido delimitado pela superfície apenas analisando se a função, para dado ponto, resulta em um valor menor ou maior que a constante. Para o caso da curva, será abordado o caso paramétrico, explorando um dos principais exemplos de modelagem geométrica, as Curvas de Bézier. Já para o caso das superfícies, será apresentado tanto o caso paramétrico quanto o implícito. Curvas de Bézier Quando começaram a surgir as primeiras máquinas capazes de confeccionar formas sólidas a partir de um modelo, tornou-se necessário produzir uma descrição computacional desses modelos compatível com as formas desejadas. Porém nem sempre é possível descrever uma forma através de uma única superfície paramétrica ou existe uma boa aproximação através de funções conhecidas. Devido a essa impossibilidade, surgiu a necessidade de curvas e superfícies que representassem formas livres. Nesse contexto, surgiu o primeiro modelo, que ficou conhecido como curvas de Bézier. A idéia é simples. Dados n+1 pontos B 0, B 1,..., B n no R 2 (para o caso do plano), definimos uma curva P:[0,1] R 2 através de interpolações lineares sucessivas. Tomando

3 inicialmente a linha poligonal ligando os pontos B i a B i+1 (com i=0,1,...,n-1), para cada t [0,1] definimos em cada segmento B B (1) i i+ 1 um ponto Bi = tbi + ( 1 t) Bi+ 1 por interpolação (1) (1) (1) linear. Dessa forma, constrói-se uma nova poligonal definida por B0, B1,..., B n 1. A linha poligonal assim obtida possui n-1 segmentos como pode ser visto na figura (com n=3). (1) (1) (1) Prosseguindo a construção acima usando a nova polinomial B0, B1,..., B n 1, após n ( ) 2 etapas obtemos um ponto B n 0 R. Este ponto é, por definição, o valor de P(t). A mesma lógica pode ser aplicada para o caso de R 3. Fig. 01: Interpolações entre os pontos de controles As curvas de Bézier seguem algumas propriedades, como: A curva é determinada definindo o polígono de controle e está totalmente completamente contida nele (tomando o fecho convexo). A curva começa no primeiro ponto de controle e acaba no último ponto de controle. O algoritmo é invariante por qualquer transformação. Os vetores tangentes aos pontos finais da curva têm a mesma direção do primeiro e último segmento do polígono de controle. O grau do polinômio definindo a curva de Bézier é um a menos que o número de pontos de controle. Como a curva está inteiramente contida dentro do polígono de controle e os pontos de controle podem ser mostrados, é possível usá-los para manipular a curva de forma intuitiva. Por esse motivo, as curvas de Bézier são muito usadas para modelar curvas de grau baixo. Nesse projeto, foi implementado um software que permite a visualização da curva, obtida através do algoritmo proposto por Bézier, à medida que pontos de controles são inseridos. Além disso, outras funcionalidades de edição foram implementadas, como alterar e remover pontos já existentes e apagar todos os pontos, como visto nas figuras abaixo.

4 Fig. 2 Inserindo novos pontos Fig. 3 Modificando pontos existentes Fig. 4 Removendo pontos Superfícies parametrizadas Uma parametrização de uma superfície é determinada por um par de variáveis u e v de forma que cada ponto da superfície corresponda a um único par ordenado (u, v). Dessa forma, é possível fazer a correspondência entre o novo sistema de coordenadas e o cartesiano através da relação: r ( u, v) = ( x( u, v), y( u, v), z( u, v) ). Assim, usando as bibliotecas do OpenGL, implementou-se um código que variava os parâmetros por todo o domínio, obtendo pontos da superfície desejada, como visto na figura ao lado. Conhecendo-se os pontos das faces da superfície, foi aplicado um cálculo de iluminação, conferindo maior realismo à superfície encontrada, devido à maior sensação de Fig. 1: Wireframe de uma sup. parametrizada tridimensionalidade. Tal cálculo depende da determinação da normal em cada ponto. Para achar a normal a partir de um ponto, primeiro obtêm-se dois vetores pertencentes à face correspondentes a pequenas variações em cada um dos parâmetros. A normal não-normalizada então é obtida através do produto vetorial desses vetores.

5 Fig. 2: Exemplo de superfície parametrizada sin( v )cos( u),sin( v)cos( u),cos( v) ( ) Fig. 3: Exemplo de superfície parametrizada 2 2 ( u, v,cos( u + v )) Superfícies implícitas A forma mais geral de se obter uma superfície em R 3 é através de sua forma implícita. Essa forma pode ser dada como f(x,y,z)=0, por exemplo: ax + by + cz + d = 0 descreve um plano x + y + z r = 0 descreve uma esfera Ao contrário das superfícies parametrizadas, não é imediato determinar quais pontos satisfazem a equação implícita para que possamos visualizar a superfície. Visando resolver este problema, utilizou-se o seguinte processo [Velho 1996]: domínio é dividido em um grid NxNxN, obtendo N 3 cubos. Tendo feito a divisão, calcula-se o valor da função f(x,y,z) em cada vértice de cada cubo gerado. Em seguida cada cubo é subdivido em seis tetraedros através da projeção de sua diagonal nas faces, como mostra a figura. Com esse procedimento, o problema de se visualizar a superfície recai em um simples problema de análise da troca de sinais entre os vértices das quatro arestas do tetraedro. Se não houver troca, significa que a superfície desejada não interceptou em nenhum ponto o segmento de reta. Caso haja, significa que em algum ponto do segmento de reta f(x,y,z)=0, ou seja, existe um ponto pertencente à superfície no segmento de reta. Fig. 1: Divisão do espaço em cubos Fig. 2: Cubo dividido em 6 tetraedros Sabendo-se da existência do ponto, basta fazer uma parametrização entre os vértices para achar precisamente o ponto. Essa parametrização pode ser dada por: t = f(x 0,y 0,z 0 ) / (f(x 0,y 0,z 0 ) f(x 1,y 1,z 1 ) x t = x 0 + t*( x 1 - x 0 )

6 y t = y 0 + t*( y 1 - y 0 ) z t = z 0 + t*( z 1 - z 0 ) Fig. 3: Parametrização A preferência por tetraedros é justificada pelos diferentes casos gerados na análise de cubos, enquanto a análise de tetraedros resulta em apenas 3 casos principais, como pode ser visto na tabela abaixo: Todos sinais iguais 1 sinal diferente 2 sinais diferente Tab. 1: Estudo dos sinais em tetraedros Fig. 4: Esfera obtida com grid 3x3x3, 4x4x4, 5x5x5 Portanto, pelo estudo dos sinais do tetraedro, conclui-se que podem ocorrer apenas os seguintes casos: nenhuma face, um triângulo ou um quadrilátero. Desse modo, para criar a impressão da superfície desejada, é necessário subdividir o espaço em vários tetraedros, sendo quanto maior o número, mais precisa é a superfície, como pode ser visto na figura abaixo.

7 Fig. 5: Esfera obtida com espaço subdivido em 2, 5 e 20 cubos Com essa construção fica fácil obter diferentes superfícies implícitas, bastando apenas modificar a função de entrada. n n n Fig. 6: Superfície obtida com a função x + y + z 25 = 0, para n = 2, 4, e 20 (todas com 40 passos e mesma escala) Fig. 7: Visualização da superfície x + xy + z 25 = 0 no domínio [-10,10]x[-10,10]x[-10,10] Referências 1 - CRAIZER, M.; TAVARES, G. Cálculo integral a várias variáveis. Rio de Janeiro: Ed. PUC-Rio; São Paulo: Loyola, p. 2 VELHO, L. Simple and Efficient Polygonization of Implicit Surfaces. Journal of Graphic Tools, v. 1, n. 2, may Disponível em: < >. Acesso em: 21 jun. 05

8 3 PESCO, S.; LOPES H.; TAVARES G., Fundamentos de Matemática para Computação Gráfica. Apostila Departamento de Matemática - PUC-Rio FARIN G., Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design A practical guide. 3rd Edition. Academic Press, 1992.