1) (Unicamp) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

Transcrição

1 Exercícios resolvidos e comentados 1) (Unicamp) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo: Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minuto A R$ 35,00 R$ 0,50 B R$ 20,00 R$ 0,80 C 0 R$ 1,20 a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês? a) Com os dados fornecidos pela tabela, uma pessoa que utilize 25 minutos por mês teria os seguintes custos: I) Plano A: 35, ,50 = R$ 47,50 II) Plano B: 20, ,80 = R$ 40,00 III) Plano C: 25 1,20 = R$ 30,00 Logo, o plano mais vantajoso é o Plano C. b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois? Para que o plano A seja mais vantajoso precisamos ter: plano A < plano B e plano A < plano C. 0, 5x + 35 < 0, 8x + 20 Algebricamente: { e 0, 5x + 35 < 1, 2x Resolvendo as inequações temos: 0,5x + 35 < 0,8x < 0,8x 0,5x 15 < 0,3x 15 0,3 < x x > 50 0,5x + 35 < 1,2x 35 < 1,2x 0,5x 35 < 0,7x 35 0,7 < x x > 50 Nos dois casos x > 50 satisfaz as inequações. Portanto o plano A é mais vantajoso a partir de 51 minutos.

2 Explorando um pouco mais o problema: Nessa situação podemos perceber que existe proporcionalidade direta na variação das grandezas custo da ligação e quantidade de minutos gastos. Essa é uma característica da função do 1º grau. Podemos, portanto, representar cada plano de telefonia por meio de uma expressão algébrica do tipo C(x) = ax + b, onde C corresponde ao custo da ligação e x a quantidade de minutos gastos. Veja como fica: Plano A: C A (x) = 0, 5x + 35 Plano B: C B (x) = 0, 8x + 20 Plano C: C C (x) = 1, 2x Na expressão: f(x) = ax + b, o coeficiente a representa a taxa de variação ou, nesse exemplo, quanto é pago por minuto utilizado. No plano A variação é de R$ 0,50; no plano B R$ 0,80 e no plano C R$ 1,20. A função do 1º grau pode ser representada no plano cartesiano por meio de uma reta. Observe a representação gráfica das funções acima. Note como o plano C é mais vantajoso pois para x igual a 25 minutos a reta da função do plano C está abaixo das retas das funções do plano A e B. Observe também que quando temos x igual a 50 minutos todos os planos apresentam o mesmo custo, isto é indicado pela intersecção das três retas e podemos encontrar esse valor de intersecção por resolver as igualdades { 0, 5x + 35 = 0, 8x , 5x + 35 = 1, 2x 0, 8x + 20 = 1, 2x

3 2) Considere dois cilindros como os das figuras, de volumes V1 e V2: Sabe-se que o volume (V) do cilindro é obtido pela fórmula V = π r ² h. Desse modo, é correto afirmar que a) V 1 = V 2. b) V 1 = V 2 2. c) V 1 = V 2 3. d) V 1 = 2V 2. Vamos calcular primeiro o volume de cada cilindro para podermos compará-los. Cilindro (1) Diâmetro: d = 8 cm Raio: r = d = 4 cm 2 V 1 = π V 1 = 160π cm 3 Cilindro (2) Diâmetro: d = 4 cm Raio: r = d = 2 cm 2 V 2 = π V 2 = 80π cm 3 Resposta (d) => V 1 = 2V 2. Explorando um pouco mais o problema: Podemos também calcular a área do cilindro que corresponde à área dos círculos da base mais a área da superfície lateral que tem a forma de um retângulo conforme vemos em sua planificação:

4 Então a área dos círculos da base será obtida por A base = π r 2 e a área do retângulo A ret = 2π r h. Para o cilindro (1) temos A 1 = 2π π 4 10 A 1 = 32π + 80π cm 2 A 1 = 112π cm 2. Para o cilindro (2) temos A 2 = 2π π 2 10 A 2 = 8π + 40π cm 2 A 2 = 48π cm 2. 3) Determine as equações, reduzida e normal, da circunferência de centro (2, 5) e raio 4. Fonte da Imagem: Equação Reduzida: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Sendo a = 2, b = 5 e r = 4, temos: (x 2) 2 + (y 5) 2 = 4 2 (x 2) 2 + (y 5) 2 = 16 Equação Normal: podemos escrever a equação normal, ou geral, da circunferência desenvolvendo a equação reduzida (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. Assim temos: x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 x 2 + y 2 2.2x 2.5y = 0 x 2 + y 2 4x 10y x 2 + y 2 4x 10y + 13 = 0

5 Exercícios 1) Encontre as coordenadas do ponto P, intersecção das retas das funções g(x) e f(x). 2) Um aquário possui o formato de um bloco retangular, cujas dimensões da base são 50 cm e 20 cm, e a água. Contida em seu interior esta atingindo um nível de altura 15 cm (Figura 1). Mergulhando, a seguir, 5 bolas coloridas de metal, de volumes iguais, o nível de água do aquário atinge uma altura de 25 cm (Figura 2). Calcule o volume, em cm³, ocupado por cada bola.

6 3) A planificação da superfície lateral de um cilindro reto tem dimensões 6 cm e 8 cm. Determine a área total e o volume do cilindro usando a aproximação π = 3,1. 4) Qual das equações abaixo representa uma circunferência? Determine as coordenadas do centro (C) e o raio (r) dessa circunferência. a) x 2 + 3y 2 5x 7y 1 = 0 b) x 2 + y 2 + xy 4x 6y 9 = 0 c) 3x 2 + 3y 2 + 4x 6y + 15 = 0 d) x 2 + y 2 10x + 12y + 36 = 0 e) 2x 2 + 2y 2 8x 12y + 26 = 0 5) Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação x 2 + y 2 + 4x 6y 3 = 0. 6) Escreva a equação da circunferência com centro na origem do sistema cartesiano e raio igual a 5.