SISTEMA CARTESIANO TRIDIMENSIONAL

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1 versão: SISTEMA CARTESIANO TRIDIMENSIONAL GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR

2 Sistema cartesiano tridimensional Três eixos ortogonais (90 ) entre si eixo das cotas P Posicionamento de um ponto P ( P, P, P ) O P eixo das ordenadas P P eixo das abcissas

3 SISTEMA CARTESIANO 3 planos coordenados xy (laranja) xz (verde) yz (azul) Dividem o espaço em 8 octantes

4 APLICAÇÕES Plano topográfico (N, E, H) ~ (,, ) PN cota ou altitude PS

5 APLICAÇÕES MEMS (micro electro mechanical systems) acelerômetros Como aproveitar?

6 APLICAÇÕES Sistema Cartesiano Tridimensional Geodésico (φ, λ) (,,)

7 APLICAÇÕES Monitoramento de estruturas Alinhamento do barramento fluxo do rio vertical

8 APLICAÇÕES Estudos de objetos (deformações, ondulações, etc) M1 M2 M4 M3

9 APLICAÇÕES Sistema cartesiano instrumental origem: centro ótico do equipamento (ponto cardã)

10 2 tipos de sistemas O eixo encontra o eixo com um giro anti-horário O eixo encontra o eixo com um giro horário O O DETRÓGIRO LEVÓGIRO

11 Regra da mão direita Se fechar a mão, é dextrógiro! Se não fechar, é levógiro!

12 E agora? LEVÓGIRO L ou DETRÓGIRO D? (a) (b) (e) (c) (d)

13 E agora? LEVÓGIRO L ou DETRÓGIRO D? (a) D (b) D (e) L (c) L (d) D

14 Transformação de coordenadas polares em cartesianas tridimensionais distância espacial ângulo zenital OP P d OP cota O z P P N Az OP azimute x P abcissa y P ordenada P obs: a partir da origem; sistema dextrógiro.

15 ΔOPP POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) P d OP OP OP z P O dh P dh = d OP sen OP z P = d OP cos OP

16 ΔOP P (plano ) POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) O y P P Az OP x P P x P = dh sen Az OP x P = d OP sen OP sen Az OP y P = dh cos Az OP y P = d OP sen OP cos Az OP

17 RESUMO POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) A partir da origem: x P = d OP sen OP sen Az OP y P = d OP sen OP cos Az OP z P = d OP cos OP

18 Transformação de coordenadas cartesianas tridimensionais em polares INVERSO Distância espacial d OP = x p 2 + y P 2 + z P 2 Lembre-se de analisar os sinais das funções trigonométricas CARTESIANO POLAR (,,) (Az, d, ) Ângulo zenital OP = arccos z p x p 2 +y P 2 +z P 2 Azimute Az OP = arctan x P y P

19 EERCÍCIO Modelo de cálculo: x P = d OP sen OP sen Az OP y P = d OP sen OP cos Az OP z P = d OP cos OP Seja uma estação total estacionada num ponto A, com altura do instrumento igual a 1,567 m. Para se determinar a posição do ponto P, adotou-se um sistema de coordenadas cartesianas cuja origem O situa-se no ponto cardã do equipamento, com a seguinte orientação: o eixo y com sentido positivo para o norte geográfico, eixo z coincidente com o fio de prumo com sentido positivo para o zênite e o eixo x tornando o terno dextrogiro. Após a etapa de coleta, as seguintes medidas foram determinadas: azimute, ângulo zenital e distância espacial (~inclinada) da direção O-P, cujos os valores são: Az OP = " OP = " d OP = 125,632 m Calcule as coordenadas cartesianas tridimensionais do ponto P neste sistema.

20 O sistema de coordenadas adotado: SOLUÇÃO x O = y O = z O = 0,000 m ponto cardã O N E hi = 1,567 m A Informação desnecessária

21 Modelo de cálculo: x P = d OP sen OP sen Az OP SOLUÇÃO y P = d OP sen OP cos Az OP z P = d OP cos OP Substituindo os valores: x P = 125,632 sen " sen " = 6, m y P = 125,632 sen " cos " = 125, m z P = 125,632 cos " = 6, m Resultado obtido: x P = 6,246 m y P = 125,301 m z P = 6,639 m

22 EERCÍCIO Calcule as coordenadas polares ( Az,, d ) que correspondem as seguintes coordenadas cartesianas tridimensionais do ponto P: = -305,432 m = +548,601 m = -152,234 m FUNÇÃO 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q sen cos tan d OP = x p 2 + y P 2 + z P 2 OP = arccos Az OP = arctan x P y P z p x p 2 +y P 2 +z P 2

23 Distância espacial d SOLUÇÃO d = x p 2 + y P 2 + z P 2 = 305, , ,234 2 d = 646,086 m Ângulo enital = arccos z p x p 2 +y P 2 +z P 2 = arccos 152, ,086 cosseno (-), duas opções : 2ºQ [90 a 180 ] ou 3ºQ [180 a 270 ] Como é um ângulo zenital, valores possíveis só no 2 Q, então: = 180 arccos = , ,086 = "

24 SOLUÇÃO Azimute Az Az = arctan x P = arctan 305,432 y P +548,601 sen cos ~sen ~cos Como (-) e (+) 4º Q Então: Az = 360 arctan 305, ,601 = " Az = " FUNÇÃO 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q sen cos tan

25 Transformação de coordenadas polares em cartesianas tridimensionais entre dois pontos Problema direto do posicionamento A AB d AB B O y A z A A A x A Az AB z B x B B N y B B

26 1º Δ POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) B d AB AB AB z B z A A dh dh = d AB sen AB z B z A = d AB cos AB

27 2º Δ POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) A y B y A B Az AB x B x A B x B x A = dh sen Az AB x B x A = d AB sen AB sen Az AB y B y A = dh cos Az AB y B y A = d AB sen AB cos Az AB

28 RESUMO POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) x B x A = d AB sen AB sen Az AB y B y A = d AB sen AB cos Az AB z B z A = d AB cos AB Então x B = x A + d AB sen AB sen Az AB y B = y A + d AB sen AB cos Az AB z B = z A + d AB cos AB

29 Transformação de coordenadas cartesianas tridimensionais em polares entre dois pontos Problema inverso do posicionamento Distância espacial d AB = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2 Ângulo zenital AB = arccos Azimute Az AB = arctan x B x A y B y A z B z A (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2 Lembre-se de analisar os sinais das funções trigonométricas

30 EERCÍCIO Sejam as coordenadas tridimensionais cartesianas de dois vértices P1 e P2: P1 P2 x1 = ,177 m y1 = ,984 m z1 = ,513 m Calcular: x2 = ,799 m y2 = ,088 m z2 = ,208 m (a) a distância espacial entre os vértices; (b) o azimute da direção P2 P1; (c) o ângulo zenital da direção P1 P2; Azimute Az AB = arctan x B x A y B y A FUNÇÃO 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q sen cos tan Distância espacial d AB = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2 AB = arccos Ângulo zenital z B z A (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2

31 P1 (1) P2 (2) x1 = ,177 m x2 = ,799 m y1 = ,984 m y2 = ,088 m z1 = ,513 m z2 = ,208 m SOLUÇÃO (a) a distância espacial entre os vértices; d 12 = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 d 12 = ( 2.332,378) 2 +( 1.403,104) 2 +( 735,695) 2 d 12 = ,103 d 12 = 2.819,563 m

32 P1 (1) P2 (2) x1 = ,177 m x2 = ,799 m y1 = ,984 m y2 = ,088 m z1 = ,513 m z2 = ,208 m SOLUÇÃO (b) o azimute da direção P2 P1; Az 21 = arctan x 1 x 2 y 1 y 2 Az 21 = arctan 2.332, ,104 Δ +, Δ + 1ºQ Az 21 = ,53" Az 21 = "

33 P1 (1) P2 (2) x1 = ,177 m x2 = ,799 m y1 = ,984 m y2 = ,088 m z1 = ,513 m z2 = ,208 m SOLUÇÃO (c) o ângulo zenital da direção P1 P2; 12 = arccos z 2 z 1 (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 = arccos z 2 z 1 d 12 cosseno (-), duas opções : 12 = arccos 735, ,563 2ºQ [90 a 180 ] ou 3ºQ [180 a 270 ] Como é um ângulo zenital, valores possíveis só no 2 Q, então: 735,695 = 180 arccos = ,12" 2.819,563 = "

34 GA116 Sistemas de Referência e Tempo A2 ATIVIDADE N 2

35 A2 ATIVIDADE N 2 SISTEMAS CARTESIANOS

36 A2 ATIVIDADE N 2 SISTEMAS CARTESIANOS DATA LIMITE DE ENTREGA: 21 DE MARÇO DE 2019 (5ªF), NO HORÁRIO DA AULA.