DISCIPLINA TOPOGRAFIA B NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA DISCIPLINA TOPOGRAFIA B NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO DR. CARLOS AURÉLIO NADAL PROFESSOR TITULAR Equipe do USGS

2 Equipe de nivelamento geométrico de trigonométrico do USGS

3 PUBLICIDADE DA SELEÇÕES READERS DIGEST (TEODOLITO TMV-2 VASCONCELOS)

4 DESNÍVEL OBTIDO POR TAQUEOMETRIA -DIFERENÇA DE ALTURA ENTRE OS PONTOS A e B ( h AB ) f m f s MIRA z f i B h AB I A I = altura do instrumento f s = leitura do fio superior f m = leitura do fio médio f i = leitura do fio inferior z = distância zenital medida h AB = I f m + 50 x (f s -f i ) x sen [2 x (90 o - z)]

5 PRINCIPIO DO MÉTODO DE NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO ΔH AB = D.cosZ + hi hs Z= ângulo zenital D= distância horizontal D = distância inclinada h s = altura do alvo h i = altura do instrumento D v = distância vertical ΔH AB = desnível de A para B

6 ERROS SISTEMATICOS: CURVATURA E REFRAÇÃO K=0,12 R=6372KM (raio da Terra) D=distância horizontal nivelada

7 Nivelamento trigonométrico erros de curvatura e a refração R z B T 90 - z T ' A dh dh = AB' = di x cos (90 - z) = di x sen z T A = TA = I RB = S A'B = h AB h AB = T 'R + I - s h AB = di x cos z + I - S+E-r B' A' E=dh 2 /2R R = 0,12 E

8 F Z o = erro de zênite instrumental Z e Z e z o z o P F P Z PD Z PI Posição direta da luneta PD Posição inversa da luneta PD Z= Z PD - Z o Z=360 -(Z PI + z o ) Z = Z PD - Z PI 2 Z o = Z PD + Z PI

9 Z Z

10 PRISMA REFLETOR PASSIVO PARA MEDIDA DE DISTÂNCIA E DESNÍVEL

11 ALTURA DO PRISMA

12 MEDIDA DA ALTURA DO INSTRUMENTO Eixo horizontal

13 Exercício 01 Em 11 de novembro de 1991 foi levantado por taqueometria utilizando-se um teodolito Kern DKM2 um pequeno caminho, através de três seções transversais. Estação: 0=PP, I=1,47m A 01 = ʺ Ponto visado Direção horizontal Direção vertical Fio superior Fio médio ʺ ʺ 1,225 1,198 1,174 1e ʺ ʺ 0,821 0,800 0,769 1d ʺ ʺ 1,228 1,200 1,172 2d ʺ ʺ 1,753 1,700 1, ʺ ʺ 1,152 1,100 1,048 2e ʺ ʺ 0,555 0,500 0,445 3d ʺ ʺ 2,077 2,000 1, ʺ ʺ 1,080 1,000 0,922 3e ʺ ʺ 1,028 0,950 0,872 Fio inferior

14 estação 0=PP azimute grau min seg rad 0-> , i= 1,47 m ponto direção horizontal direção vertical fios estadimétricos visado grau min seg radiano grau min seg radiano fs fm , , ,225 1,198 1e , , ,821 0,800 1d , , ,228 1,200 2d , , ,753 1, , , ,152 1,100 2e , , ,555 0,500 3d , , ,077 2, , , ,080 1,000 3e , , ,028 0,950 cota= 900 m distância desnível cota fi m m m 1,174 4, , ,1739 0,769 4, , ,7435 1,172 5, , ,3322 1,647 10, , ,6838 1,048 10, , ,8486 0,445 10, , ,1019 1,923 15, , ,6329 0,922 15, , ,6366 0,872 15, , ,6306 D=100(fs-fi)cos 2 (90 -z) HAB=I-fm+50(fs-fi)sen2(90 -z)

15 Exercício 02 Estação A I=1,457m S=2,000m Ponto visado posição Distância Zenital distância B PD ʺ 120,456 PI ʺ 120,454 Calcular: a) O desnível de A para B e o erro de zenite instrumental H AB = 9,515m Z o = -1ʺ

16 Exercício 03 Calcular a altura do edifício (AC), mostrado no croqui, colocando-se a estação total em E e o refletor em C. Estação: E I=1,425m croqui: Ponto visado A B Distância zenital ʺ ʺ S=2,000m Distância E-B 95,235m Altura do edifício = 21,412m I E A B S C

17 Posicionamento tridimensional no terreno Z p cota z p O y p p x p abcissa Y X ordenada

18 x y z Máquina de medição tridimensional

19 Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais e coordenadas polares z distância espacial p ângulo vertical v d op cota z p o A op p y x p abcissa x ordenada y p p ângulo horizontal (azimute)

20 Transformação de coordenadas cartesianas em polares p z v d o p v z p o v d o p A op p z p p y x p o d h p x y p p d h = d op x sen v z p = d op x cos v

21 o Transformação de coordenadas cartesianas em polares A op y p p x p z o v y p d o p A op p p z p p x p y x x p = d op x sen v x sen A op y p = d op x sen v x cos A op p x p = d h x sen A op y p = d h x cos A op

22 Uma linha reta no espaço pode agora ser observada como a que liga o ponto P ao ponto Q. Z P reta no espaço +40 z p X P Y x p y p x q z q Q y q

23 A distância espacial PQ é fornecida analiticamente pela expressão: d = [(x p - x q ) ² + (y p -y q ) ² + (z p -z q ) ² ] Assim se ponto P possuí coordenadas em metros P(-40; 20; 40) e o ponto Q possui coordenadas em metros Q( 60;40;-20), a distância espacial entre eles é fornecida da seguinte forma: d = [(-40-60) ² + (20-40) ² + (40+20) ² ] d = d = 8,32m

24 Exercício: Utilizou-se uma estação total, com um sistema de coordenadas ortogonal tridimensional situado em seu centro óptico, com a seguinte orientação, o eixo y com sentido positivo para o norte geográfico, o eixo x com sentido positivo para leste e o eixo z coincidente com o fio de prumo com sentido positivo para o zenite (ponto situado no infinito acima da estação). Mediu-se as direções horizontais (A op ), direção vertical (V) e a distância inclinada d op ao ponto alvo (P), obtendo-se as seguintes medidas: A op = ; V = ; d op = 125,632m. Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do alvo neste sistema. X Solução: Z o y p V d o p A o p P P z p x p P Y x p = d op sen V sen A op y p = d op sen V cos A op z p = d op cos V x p = 125,632 x sen sen y p = 125,632 x sen cos z p = 125,632 x cos x p = 56,071m y p = 112,229m z p = 6,639m

25 Problema direto do posicionamento tridimensional Z B V d AB A z B z A P B Y x B y A A x A A AB Q X B y B

26 PROBLEMA DIRETO DE POSICIONAMENTO TRIDIMENSIONAL Dadas ou conhecidas de um levantamento anterior: coordenadas tridimensionais do ponto A x A, y A, z A Mede-se: azimute da direção AB = A AB distância entre A e B = d AB direção zenital ou distância zenital = V Pede-se: coordenadas tridimensionais do ponto B x B, y B, z B

27 Triângulos retângulos APB e A B Q B A y B y A Q d AB V z B z A = d AB cos V A AB d AB sen V x B x A A d AB senv P B Z x B x A = d AB sen V sen A AB y B y A = d AB sen V cos A AB z B z A = d AB cos V z A A V x A d AB B P B Y z B x B = x A + d AB sen V sen A AB y B = y A + d AB sen V cos A AB z B = z A + d AB cos V X x B y A y B A A AB B Q

28 Problema inverso do posicionamento no espaço tridimensional Cálculo da distância espacial entre os pontos A e B d AB = [(x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 ] 1/2 Cálculo do ângulo zenital entre A e B z B z A V = arc cos [(x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 ] 1/2 Cálculo do azimute entre os pontos A e B x B x A A AB = arc tg y B y A

29 Exercício: A listagem com o resultado de um rastreio GPS apresenta as coordenadas Tridimensionais geodésicas de dois vértices P01 e P02 fornecidas as seguir: PO1 x 1 = ,17745 PO2 x 2 = ,79868 y 1 = ,98370 y 2 = ,08810 z 1 = ,51292 z 2 = ,20840 Calcular a distância entre os vértices, o azimute do vértice P01 para P02 e a distância zenital de P01 para P02. Solução: Distância P01 P02 d 12 = [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 ] 1/2 d 12 = , ,17745) 2 +( , ,98370 ) 2 + ( , ,51292 ) 2 d 12 =, d 12 = 28, 6 m

30 Azimute P01 P02 x 2 x 1 A 12 = arc tg y 2 y , ,17745 A 12 = arc tg , , ,379 A 12 = arc tg -1403,105 A 12 = arc tg 1, A equação apresenta duas soluções no primeiro quadrante e no terceiro quadrante. Solução no primeiro quadrante: A 12 = No terceiro quadrante: A 12 = A 12 =

31 Como a solução pode estar no 1 ou no 3 Quadrante. A tabela abaixo esclarece a obtenção de quadrantes. Quadrante numerador denominador 1 Q Q Q Q - + Neste caso, como o denominador e o numerador da divisão resultaram negativos adota-se o 3 Quadrante, assim: A 12 =

32 Distância zenital P01 P02 z 2 z 1 V = arc cos [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 ] 1/ , ,51292 V = arc cos 28, 6-735,696 V = arc cos 28, 6 V = arc cos 0, A solução encontra-se no segundo ou no terceiro quadrante, neste caso adota-se o segundo quadrante pois convenciona-se a distância zenital menor ou igual a 180. Solução no primeiro quadrante: V = Solução no segundo quadrante V = V = Neste caso a distância zenital vale: V =

33 Exercício proposto: Determinou-se as coordenadas tridimensionais do vértice PO1 obtendo-se: x 1 = ,17745 y 1 = ,98370 z 1 = ,51292 Mediu-se a partir do vértice P01 em direção ao vértice P02 d 12 = 28, 6 m A 12 = V = Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do vértice P02. Resposta: x 2 = ,79868 y 2 = ,08810 z 2 = ,20840