2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar Variação relativa do comprimento (Extensão)

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1 Cap.. Deformação 1. Deslocamento. Gradiente de deformação.1 ranslação, rotação e deformação da vizinhança elementar 3. ensor de deformação de agrange 4. ensor das pequenas deformações 4.1 Caracter tensorial das deformações 4. eoria geometricamente linear 4.3 Significado físico das pequenas deformações Variação relativa do comprimento (Etensão) 4.3. Variação do ângulo (Distorção) 4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário 5. Deformação volúmica 6. Medição das deformações: etensómetros, rosetas 7. Equações de compatibilidade 8. Forma matricial das equações introduzidas 9. Estados de deformação 10. Vector das deformações

2 Deformação é outra reposta do meio contínuo ao carregamento. Neste caso, a sua definição não é fictícia como no caso das tensões, mas pode se visualizar. Cada vizinhança em torno de um ponto interior do meio contínuo, depois da aplicação do carregamento muda: a sua posição via translação e rotação do corpo rígido o seu volume representado pela parte volúmica do tensor das deformações a sua forma representada pela parte desviatórica do tensor das deformações 1. Deslocamento Deslocamento define se como o vector que liga a posição inicial, com a posição final de cada ponto do meio contínuo. Nota se que para definição de vectores, basta falar sobre pontos e não é preciso introduzir vizinhanças, como no caso de tensores. Deslocamento é visível, porque pode se medir pelo menos nos pontos de superfície, ao contrário de tensão, que é a nossa ficção. Vamos usar a designação u u, v, w para evitar índices. Salienta se que é preciso ter cuidado, e de conteto, distinguir o vector de deslocamento u da sua primeira componente u.. Gradiente de deformação O gradiente de deformação M define se usando pontos vizinhos na posição original e deformada.

3 Na figura acima representa se um corpo na sua posição inicial, ou seja, sem o carregamento aplicado. Escolhem se pontos vizinhos, ou seja, o ponto Q está contido na vizinhança elementar do ponto P. A figura no entanto representa os dois pontos bastante afastados para uma melhor visualização. Após a aplicação do carregamento, o corpo muda a sua posição, volume e forma. Os pontos P e Q encontram se nas posições novas, designadas P e Q. e as componentes correspondem a Q P, y yq yp, z zq zp. De acordo com a definição do deslocamento, up P P e uq Q Q. Fazendo uma paralela ao vector u P que passa pelo ponto Q, observa se facilmente da figura acima, que a variação do deslocamento u, pode se escrever como O vector que liga os dois pontos designa se s, y, z u s s ou seja s s u Caso s s P, Q verificar se para cada escolha dos pontos P e Q diz se que não há deformação, ou seja, no máimo pode eistir movimentos na forma do corpo rígido. No entanto, não podemos já designar o corpo como rígido, isso só seria possível no caso em que não haja deformação para qualquer carregamento. É possível aproimar a variação do deslocamento. al como no capítulo anterior, para esta aproimação usa se o primeiro termo da epansão de aylor. Neste caso, a variação efectua se ao longo de uma direcção arbitrária, e não como no capítulo anterior, na direcção do eio cartesiano. Por esta razão é preciso efectuar as três derivadas parciais em cada componente, ou seja u u u u y z y z e analogamente v v v v y z, y z w w w w y z y z Na forma matricial por isso s s u s M s

4 e M chama se gradiente de deformação. M u u u y z v v v y z w w w y z Nota se que estamos perante uma epansão em que foram utilizados apenas dois termos e outros foram desprezados..1 ranslação, rotação e deformação da vizinhança elementar Para se definir a deformação, é preciso apenas a variação de forma e de volume, por isso tem que se eliminar a translação e a rotação do corpo rígido.... V D s I s M s I s I s Define se como tensor de deformação, a parte simétrica do gradiente de deformação, ou seja / M M e como tensor de rotação a parte anti simétrica do gradiente de deformação, ou seja / M M u u u u 1u v 1u w 1u v 1u w 0 y z y z y z v v v v 1v w 1v w 0 y z y z y z y w w w w antis sim im 0 y z z Voltando às relações acima, o movimento do corpo rígido representa se pela translação, I, e V rotação. A deformação envolve a variação de volume, que designa a parte volúmica do tensor e a variação de forma, D que designa a parte desviatórica do tensor. Neste caso, o tensor chama se tensor das pequenas deformações, como se vai justificar no teto seguinte.

5 3. ensor de deformação de agrange Em alternativa, eprimindo a diferença entre os quadrados das normas dos comprimentos novos e originais, obtém se directamente a deformação, ou seja, já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas s s su su s s u s s u u u M s s s M s M s M s s M s s M s s M M s s M M M M s s s Na dedução em cima usou se o facto que a norma de um vector pode ser escrita como o produto interno deste vector consigo. Em conclusão: 1 M M e M M 1 O tensor chama se o tensor das pequenas deformações e o tensor agrangiano das deformações grandes. Eistem várias definições para descrever deformações grandes nesta cadeira, apenas esta única definição será introduzida. 4. ensor das pequenas deformações O tensor das pequenas deformações contém os termos de gradiente de formação com epoente 1 e o tensor agragiano contém ainda os termos em que os termos de gradiente de deformação aparecem em multiplicação. Pode se assim facilmente concluir que o tensor das pequenas deformações é possível usar sempre, quando os termos de gradiente de deformação são pequenos, ou seja, quando M ij 1 i, j. Neste caso, os termos de gradiente de deformação em multiplicação são desprezáveis. 4.1 Caracter tensorial das deformações O gradiente de deformação é definido como o gradiente do vector, e por isso corresponde ao tensor de segunda ordem (assimétrico). A soma ou a subtracção dos tensores de segunda ordem é também o tensor de segunda ordem, o que comprova que e são tensores de

6 segunda ordem. O tensor agrangiano é também um tensor de segunda ordem porque o termo que se soma a representa um produto interno de dois tensores de segunda ordem, cujo resultado é também um tensor de segunda ordem. As componentes de deformação não têm unidade, visto que os números costumam ser bastante 6 pequenos, às vezes usa se o prefio 10 para aumentar a grandeza do número. Salienta se que não é unidade. 4. eoria geometricamente linear O tensor das pequenas deformações é uma função linear dos termos de gradiente de deformação, ou seja, função linear de derivadas de componentes do vector de deslocamento. Esta linearidade chama se linearidade geométrica. Neste caso, usa se também o termo a teoria das pequenas deformações. Nota se que as pequenas deformações não impedem deslocamentos grandes. Por eemplo, o movimento do corpo rígido pode representar deslocamentos grandes, no entanto, o tensor das deformações é nulo. Usa se por isso também o termo, a teoria dos pequenos deslocamentos. A teoria dos pequenos deslocamentos implica a teoria das pequenas deformações, mas não vice versa. Neste caso, visto que os deslocamentos são pequenos, não se costuma distinguir a forma do corpo original da deformada, para a determinação das propriedades, ou para escrever as condições de equilíbrio. Salienta se que na disciplina de estática, as equações de equilíbrio escreveram se na posição da estrutura indeformada. Esta limitação não consegue analisar outros fenómenos como por eemplo, a instabilidade. Usam se por isso os termos a teoria de I. ordem e a teoria de II. ordem. Na teoria de II. ordem, as equações de equilíbrio escrevem se na fora do corpo deformada. Nota se que a palavra deformada não corresponde ao termo deformação. O corpo na posição deformada corresponde ao corpo constituído pelos pontos na sua posição final, ou seja, aplicando o campo de deslocamento. Visto que os pontos de superfície mantém se na superfície após aplicação do carregamento e o corpo mantém se contínuo, a posição deformada pode se obter como a posição deslocada de superfície, aplicando o vector do deslocamento a cada ponto de superfície. 4.3 Significado físico das pequenas deformações Variação relativa do comprimento (Etensão) As componentes normais do tensor das pequenas deformações chamam se etensões. O significado físico corresponde à variação relativa do comprimento. O valor positivo representa alongamento, e o valor negativo encurtamento. al como no caso das tenções, o sinal da componente normal não depende do referencial.

7 Na realidade, a variação relativa do comprimento aproima se pela variação relativa do u comprimento projectado na direcção original, ou seja. Esta interpretação só é possível na teoria dos pequenos deslocamentos. Assume se que o comprimento é infinitesimal e na direcção do eio cartesiano. A variação relativa da distância destes pontos (não se pode dizer comprimento, porque a ligação PQ pode ser curva) é u. Pode se provar que e assim, o significado físico descrito acima confirma se. Prova: De acordo com a definição P u PQ PQ lim PQ0 PQ P Pretende se provar que: lim PQ PQ PQ PQ lim PQ PQ PQ0 PQ0 Assumiu se que: s Por isso, a relação acima pode se escrever como PQ PQ s s s PQ s Usando a definição do tensor de pequenas deformações s s s s s Voltando à relação anterior

8 s s s s Substituindo s Consequentemente u f, f i, i du u e para distribuição uniforme de deformações, mesmo para comprimentos finitos:,, Variação do ângulo As componentes tangenciais do tensor das pequenas deformações chamam se distorções e correspondem às variações angulares dos ângulos. Assume se um ângulo formado pelos braços unitários n A e n B A B A B n n n n cos sin Quando o ângulo é originalmente recto, a fórmula simplifica se para A B n n Por eemplo em D, alinhando os braços com o referencial cartesiano A n 1, 0, B n 0,1 A B n n y. Pode se provar que E por isso, o dobro da componente tangencial representa a variação do ângulo originalmente recto. Note se que foi introduzido para diminuir o ângulo e por isso a distorção positiva diminui o ângulo, e a distorção negativa aumenta o.

9 u v Por esta razão introduz se a distorção de engenharia, y y y. Assim y, ou seja, corresponde à variação total do ângulo formado pelos eios cartesianos, como já dito anteriormente. u v y tan tan y Em resumo tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto. 4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário