VEHICLE DYNAMICS - LATERAL ANDRÉ DE SOUZA MENDES ARTICULATED VEHICLE MODEL

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1 VEHICLE DYNAMICS - LATERAL ANDRÉ DE SOUZA MENDES ARTICULATED VEHICLE MODEL São Bernardo do Campo 2016

2 0.1 MODELO DO VEÍCULO ARTICULADO O modelo físico do conjunto é ilustrado na figura 1. Para caracterizar a dinâmica deste sistema é utilizada a base Ω O = {Oijk} fixa no referencial inercial. A base Ω T = {Tt x t y t z } é solidária ao caminhão-trator e a base Ω S = {Ss x s y s z } é solidária ao semirreboque. Os versores t x e s x apontam para frente na direção longitudinal de ambos os módulos e os versores t y e s y apontam para a esquerda. Para auxiliar a descrição das grandezas no eixo dianteiro é definida a base Ω F = {Fe x e y e z } solidária ao eixo dianteiro com o versor e x apontando para frente na direção longitudinal do pneu e e y apontando para a esquerda. Os pontos T e S localizam o centro da massa do caminhão-trator e do semirreboque, respectivamente. F e R localizam os eixos dianteiro e traseiro, respectivamente. A é o ponto de articulação e M é o eixo do semirreboque. O ponto O é a origem do sistema e se encontra fixo no referencial inercial. A distância a separa os pontos F e T e a distância b separa os pontos T e R. c separa os pontos R e A, d separa os pontos A e S e e separa os pontos S e M. Os vetores velocidade v e os ângulos de deriva α recebem os subscritos referentes aos pontos aos quais eles estão associados. A modelagem do caminhão-trator e semirreboque consiste na utilização de dois corpos rígidos que se movimentam sobre um plano horizontal e são unidos por um ponto de articulação. Desta forma, o modelo apresenta quatro graus de liberdade. Portanto, as coordenadas generalizadas podem ser dadas por q 1 = x q 2 = y q 3 = ψ q 4 = φ, (1a) (1b) (1c) (1d) onde x e y são as coordenadas longitudinal e transversal do centro de massa do caminhãotrator, respectivamente. ψ é o ângulo de orientação absoluta do caminhão-trator e φ é o ângulo de orientação relativa do semirreboque Modelo não linear O vetor posição do centro de massa do caminhão-trator em relação ao ponto O é

3 O Figura 1 Single track bicycle model. O vetor posição do centro de massa do semirreboque é p T/O = xi + yj. (2) p S/O = x (b + c) cos ψ d cos (ψ φ)] i + y (b + c) sin ψ d sin (ψ φ)] j. (3) Derivando a equação (2) em relação ao tempo temos Derivando a equação (3) em relação ao tempo temos v T = ẋi + ẏj. (4) v S = ẋ + (b + c) ψ sin ψ + d ( ψ φ ) sin (ψ φ) ] i ẏ (b + c) ψ cos ψ d ( ψ φ ) cos (ψ φ) ] j. (5)

4 O vetor velocidade angular do caminhão-trator é O vetor velocidade angular do semirreboque é w T = ψk. (6) A energia cinética do sistema é w S = ( ψ φ ) k (7) T = 1 2 m T v T v T m Sv S v S {w T } T J T ] {w T } {w S} T J S ] {w S }. (8) Substituindo as equações (4), (5), (6), (7) em (8) temos onde T = 1 2 m T (ẋ2 + ẏ 2) m S ( ) C C I ψ T I ( S ψ ψ ) 2, (9) C 1 = ẋ + (b + c) ψ sin ψ + d ( ψ φ ) sin (ψ φ) C 2 = ẏ (b + c) ψ cos ψ d ( ψ φ ) cos (ψ φ). (10a) (10b) Derivando a equação (10) temos Ċ 1 = ẍ + (b + c) ψ sin ψ + (b + c) ψ 2 cos ψ + d ( ( ψ φ) sin (ψ φ) + d ψ φ ) 2 cos (ψ φ) (11a) Ċ 2 = ÿ (b + c) ψ cos ψ + (b + c) ψ 2 sin ψ d ( ( ψ φ) cos (ψ φ) + d ψ φ ) 2 sin (ψ φ) (11b) As derivadas parciais da energia cinética do sistema (equação (9)) em relação às coordenadas generalizadas são T q 1 = T x = 0 T = T q 2 y = 0 (12a) (12b)

5 T = T q 3 ψ = m SC 1 (b + c) ψ cos ψ + d ( ψ φ ) cos (ψ φ) ] m S C 2 (b + c) ψ sin ψ + d ( ψ φ ) sin (ψ φ) ] (12c) T q 4 = T φ = m SC 1 d ( ψ φ ) cos (ψ φ) ] + m S C 2 d ( ψ φ ) sin (ψ φ) ]. (12d) As derivadas parciais da energia cinética do sistema em relação às derivadas temporais das coordenadas generalizadas são T = T q 1 ẋ = m T ẋ + m S C 1 T q 2 = T ẏ = m T ẏ + m S C 2 (13a) (13b) T = T q 3 ψ = m SC 1 (b + c) sin ψ + d sin (ψ φ)] m S C 2 (b + c) cos ψ d cos (ψ φ)] + I T ψ + I S ( ψ φ ) (13c) T = T q 4 φ = m ( SC 1 d sin (ψ φ)] + m S C 2 d cos (ψ φ)] I S ψ φ ). (13d) Derivando as equações (13) em relação ao tempo temos ( ) d T = d ( ) T dt q 3 dt ψ ( ) d T = d ( ) T = m T ẍ + m S Ċ 1 dt q 1 dt ẋ (14a) ( ) d T = d ( ) T = m T ÿ + m S Ċ 2 dt q 2 dt ẏ (14b) = m S Ċ 1 (b + c) sin ψ + d sin (ψ φ)] m S C 1 (b + c) ψ cos ψ + d ( ψ φ ) cos (ψ φ) ] m S Ċ 2 (b + c) cos ψ d cos (ψ φ)] m S C 2 (b + c) ψ sin ψ + d ( ψ φ ) sin (ψ φ) ] I T ψ + IS ( ψ φ) (14c)

6 ( ) d T = d ( ) T dt q 4 dt φ = m S Ċ 1 d sin (ψ φ)] + m S C 1 d ( ψ φ ) cos (ψ φ) ] m S Ċ 2 d cos (ψ φ)] + m S C 2 d ( ψ φ ) sin (ψ φ) ] I S ( ψ φ) (14d) A força no eixo dianteiro é dadas por que pode ser escrita como F F = F x,f e x + F y,f e x, (15) F F = F x,f cos (ψ + δ) F y,f sin (ψ + δ)] i + F x,f sin (ψ + δ) + F y,f cos (ψ + δ)] j. (16) A força no eixo traseiro é ou F R = F x,r t x + F y,r t y (17) F R = F x,r cos ψ F y,r sin ψ] i + F x,r sin ψ + F y,r cos ψ] j. (18) A força no eixo do semirreboque é ou F M = F x,m s x + F y,m s y (19) F M = F x,m cos (ψ φ) F y,m sin (ψ φ)] i+f x,m sin (ψ φ) + F y,m cos (ψ φ)] j. (20) As forças generalizadas são Ou seja, Q k = p j=1 F j p j q k k = 1, 2, 3, 4 j = F, R, M. (21)

7 Q 1 = F F p F/O + F R p R/O + F M p M/O q 1 q 1 q 1 (22a) Q 2 = F F p F/O q 2 + F R p R/O q 2 + F M p M/O q 2 (22b) Q 3 = F F p F/O q 3 + F R p R/O q 3 + F M p M/O q 3, (22c) Q 4 = F F p F/O q 4 + F R p R/O q 4 Os pontos de aplicação das forças são localizados por + F M p M/O q 4. (22d) p F/O = (x + a cos ψ) i + (y + a sin ψ) j. p R/O = (x b cos ψ) i + (y b sin ψ) j. (23a) (23b) p M/O = x (b + c) cos ψ (d + e) cos (ψ φ)] i y (b + c) sin ψ (d + e) sin (ψ φ)] j. (23c) Logo, as derivadas parciais p F/O q 1 p F/O q 2 = p F/O x = p F/O y = i (24a) = j (24b) p F/O q 3 = p F/O ψ = a sin ψi + a cos ψj (24c) p F/O q 4 = p F/O φ = 0, (24d) p R/O q 1 p R/O q 2 = p R/O x = p R/O y = i (25a) = j (25b) p R/O q 3 = p R/O ψ = b sin ψi b cos ψj (25c) p R/O q 4 = p R/O φ = 0 (25d)

8 e p M/O q 1 p M/O q 2 = p M/O x = p M/O y = i (26a) = j (26b) p M/O q 3 = p M/O ψ = (b + c) sin ψ + (d + e) sin (ψ φ)] i (b + c) cos ψ (d + e) cos (ψ φ)] j p M/O q 4 = p M/O φ (26c) = (d + e) sin (ψ φ)] i + (d + e) cos (ψ φ)] j (26d) Substituindo as equações (16), (18), (20), (24), (25) e (26) nas equações (22) temos Q 1 = F x,f cos (ψ + δ) + F x,r cos ψ + F x,m cos (ψ φ) F y,f sin (ψ + δ) F y,r sin ψ F y,m sin (ψ φ) (27a) Q 2 = F x,f sin (ψ + δ) + F x,r sin ψ + F x,m sin (ψ φ) F y,f cos (ψ + δ) + F y,r cos ψ + F y,m cos (ψ φ) (27b) Q 3 = F x,f a sin δ + F x,m (b + c) sin φ F y,f a cos δ F y,r b F y,m (b + c) cos φ + (d + e)] (27c) Q 4 = F y,m (d + e) (27d) A formulação de Euler-Lagrange para este sistema é dada por ( ) d T T = Q k k = 1, 2, 3, 4, (28) dt q k q k Substituindo as equações (12), (14) e (27) em (28) temos

9 m T ẍ + m S Ċ 1 = F x,f cos (ψ + δ) + F x,r cos ψ + F x,m cos (ψ φ) F y,f sin (ψ + δ) F y,r sin ψ F y,m sin (ψ φ) (29a) m T ÿ + m S Ċ 2 = F x,f sin (ψ + δ) + F x,r sin ψ + F x,m sin (ψ φ) F y,f cos (ψ + δ) + F y,r cos ψ + F y,m cos (ψ φ) (29b) m S Ċ 1 (b + c) sin ψ + d sin (ψ φ)] + m S Ċ 2 (b + c) cos ψ d cos (ψ φ)] I T ψ + IS ( ψ φ) = F x,f a sin δ + F x,m (b + c) sin φ + F y,f a cos δ F y,r b F y,m (b + c) cos φ + (d + e)] (29c) m S Ċ 1 d sin (ψ φ)] + m S Ċ 2 d cos (ψ φ)] I S ( ψ φ) = Fy,M (d + e) (29d) Substituindo as equações (11) em (29) (m T + m S ) ẍ + m S (b + c) sin ψ + d sin (ψ φ)] ψ m S d sin (ψ φ) φ = F x,f cos (ψ + δ) + F x,r cos ψ + F x,m cos (ψ φ) F y,f sin (ψ + δ) F y,r sin ψ F y,m sin (ψ φ) m S (b + c) ψ 2 cos ψ m S d ( ψ φ ) 2 cos (ψ φ) (30a) (m T + m S ) ÿ m S (b + c) cos ψ + d cos (ψ φ)] ψ + m S d cos (ψ φ) φ = F x,f sin (ψ + δ) + F x,r sin ψ + F x,m sin (ψ φ) F y,f cos (ψ + δ) + F y,r cos ψ + F y,m cos (ψ φ) m S (b + c) ψ 2 sin ψ m S d ( ψ φ ) 2 sin (ψ φ) (30b)

10 m S (b + c) sin ψ + d sin (ψ φ)] ẍ m S (b + c) cos ψ + d cos (ψ φ)] ÿ { m S (b + c) (b + c) d cos φ + d 2] } + I T + I S ψ { m ] } S (b + c) d cos φ + d 2 + I S φ =......F x,f a sin δ + F x,m (b + c) sin φ + F y,f a cos δ F y,r b F y,m (b + c) cos φ + (d + e)]... m S (b + c) d ( ψ φ ) 2 sin φ + ms (b + c) d ψ 2 sin φ (30c) m S d sin (ψ φ) ẍ + m S d cos (ψ φ) ÿ { m S d 2 + (b + c) d cos φ ] + I S } ψ +... ( ms d 2 + I S ) φ =......F y,m (d + e) m S (b + c) d ψ 2 sin φ (30d) Os estado podem ser escolhidos como z 1 = x z 2 = y z 3 = ψ z 4 = φ z 5 = ẋ z 6 = ẏ z 7 = ψ z 8 = φ (31a) (31b) (31c) (31d) (31e) (31f) (31g) (31h) Logo, as equações de estado são ż 1 = z 5 ż 2 = z 6 ż 3 = z 7 ż 4 = z 8 (32a) (32b) (32c) (32d)

11 (m T + m S ) ż 5 + m S (b + c) sin z 3 + d sin (z 3 z 4 )] ż 7 m S d sin (z 3 z 4 ) ż 8 = F x,f cos (z 3 + δ) + F x,r cos z 3 + F x,m cos (z 3 z 4 ) F y,f sin (z 3 + δ) F y,r sin z 3 F y,m sin (z 3 z 4 ) m S (b + c) z 2 7 cos z 3 m S d (z 7 z 8 ) 2 cos (z 3 z 4 ) (32e) (m T + m S ) ż 6 m S (b + c) cos z 3 + d cos (z 3 z 4 )] ż 7 + m S d cos (z 3 z 4 ) ż 8 = F x,f sin (z 3 + δ) + F x,r sin z 3 + F x,m sin (z 3 z 4 ) F y,f cos (z 3 + δ) + F y,r cos z 3 + F y,m cos (z 3 z 4 ) m S (b + c) z 2 7 sin z 3 m S d (z 7 z 8 ) 2 sin (z 3 z 4 ) (32f) m S (b + c) sin z 3 + d sin (z 3 z 4 )] ż 5 m S (b + c) cos z 3 + d cos (z 3 z 4 )] ż { m S (b + c) (b + c) d cos z 4 + d 2] } + I T + I S ż { m S (b + c) d cos z4 + d 2] } + I S ż8 =......F x,f a sin δ + F x,m (b + c) sin z 4 + F y,f a cos δ F y,r b F y,m (b + c) cos z 4 + (d + e)]... m S (b + c) d (z 7 z 8 ) 2 sin z 4 + m S (b + c) dz 2 7 sin z 4 (32g) m S d sin (ψ φ) ż 5 + m S d cos (ψ φ) ż 6 { m S d 2 + (b + c) d cos φ ] + I S } ż ( ms d 2 + I S ) ż8 =......F y,m (d + e) m S (b + c) d ψ 2 sin φ (32h) Em muitas ocasiões é conveniente fazer a substituição dos estados ẋ e ẏ por v T e α T. A relação entre estes pares de estados é ẋ = v T cos (ψ + α T ) ẏ = v T sin (ψ + α T ). (33a) (33b) Derivando em relação ao tempo a equação (33) temos

12 ẍ = v T cos (ψ + α T ) v T ( ψ + α T ) sin (ψ + αt ) ÿ = v T sin (ψ + α T ) + v T ( ψ + α T ) cos (ψ + αt ). (34a) (34b) Desta forma, substituindo as equações (34) nas equações (30) temos (m T + m S ) cos (ψ + α T ) v T (m T + m S ) v T sin (ψ + α T ) α T m S (b + c) sin ψ + d sin (ψ φ)] ψ m S d sin (ψ φ) φ = F x,f cos (ψ + δ) + F x,r cos ψ + F x,m cos (ψ φ) F y,f sin (ψ + δ) F y,r sin ψ F y,m sin (ψ φ) m S (b + c) ψ 2 cos ψ m S d ( ψ φ ) 2 cos (ψ φ) + (mt + m S ) v T sin (ψ + α T ) ψ (35a) (m T + m S ) sin (ψ + α T ) v T + (m T + m S ) v T cos (ψ + α T ) α T +... m S (b + c) cos ψ + d cos (ψ φ)] ψ + m S d cos (ψ φ) φ = F x,f sin (ψ + δ) + F x,r sin ψ + F x,m sin (ψ φ) F y,f cos (ψ + δ) + F y,r cos ψ + F y,m cos (ψ φ) m S (b + c) ψ 2 sin ψ m S d ( ψ φ ) 2 sin (ψ φ) (mt + m S ) v T cos (ψ + α T ) ψ (35b) m S (b + c) sin α T + d sin (α T + φ)] v T m S (b + c) v T cos α T + dv T cos (α T + φ)] α T... + { m S (b + c) (b + c) d cos φ + d 2] } { + I T + I ] } S ψ ms (b + c) d cos φ + d 2 + I S φ =......F x,f a sin δ + F x,m (b + c) sin φ + F y,f a cos δ F y,r b F y,m (b + c) cos φ + (d + e)]... m S (b + c) d ( ψ φ ) 2 sin φ + ms (b + c) d ψ 2 sin φ + m S (b + c) v T cos α T + dv T cos (α T + φ)] ψ (35c) m S d sin (α T + φ) v T + m S dv T cos (α T + φ) α T { m S d 2 + (b + c) d cos φ ] } + I S ψ ( ) m S d 2 + I S φ =......F y,m (d + e) m S (b + c) d ψ 2 sin φ m S dv T cos (α T + φ) ψ (35d)

13 Os estados podem ser escolhidos como x 1 = x x 2 = y x 3 = ψ x 4 = φ x 5 = v T x 6 = α T x 7 = ψ x 8 = φ (36a) (36b) (36c) (36d) (36e) (36f) (36g) (36h) Na forma matricial o sistema da equação (35) pode ser escrito como onde o vetor de estados é M (x) ẋ = f (x, u), (37) x = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 (38) e o vetor de entradas é

14 u = δ F x,f F x,r F x,m F y,f F y,r F y,m. (39) A matriz M é dada por M = onde os elementros são M 55 M 56 M 57 M M 65 M 66 M 67 M M 75 M 76 M 77 M M 85 M 86 M 87 M 88, (40) M 55 = (m T + m S ) cos (ψ + α T ) (41a) M 56 = (m T + m S ) v T sin (ψ + α T ) M 57 = m S (b + c) sin ψ + d sin (ψ φ)] M 58 = m S d sin (ψ φ) M 65 = (m T + m S ) sin (ψ + α T ) M 66 = (m T + m S ) v T cos (ψ + α T ) M 67 = m S (b + c) cos ψ + d cos (ψ φ)] M 68 = m S d cos (ψ φ) M 75 = m S (b + c) sin α T + d sin (α T + φ)] M 76 = m S (b + c) v T cos α T + dv T cos (α T + φ)] (41b) (41c) (41d) (41e) (41f) (41g) (41h) (41i) (41j)

15 M 77 = m S (b + c) (b + c) d cos φ + d 2] + I T + I S M 78 = m ] S (b + c) d cos φ + d 2 + I S M 85 = m S d sin (α T + φ) M 86 = m S dv T cos (α T + φ) M 87 = m S d 2 + (b + c) d cos φ ] + I S M 88 = ( ) m S d 2 + I S (41k) (41l) (41m) (41n) (41o) (41p) As funções são dadas por f = v T cos (ψ + α T ) v T sin (ψ + α T ) ψ φ f 5 f 6 f 7 f 8, (42) onde f 5 = F x,f cos (ψ + δ) + F x,r cos ψ + F x,m cos (ψ φ) F y,f sin (ψ + δ) F y,r sin ψ F y,m sin (ψ φ) m S (b + c) ψ 2 cos ψ m S d ( ψ φ ) 2 cos (ψ φ) + (mt + m S ) v T sin (ψ + α T ) ψ (43a) f 6 = F x,f sin (ψ + δ) + F x,r sin ψ + F x,m sin (ψ φ) F y,f cos (ψ + δ) + F y,r cos ψ + F y,m cos (ψ φ)... m S (b + c) ψ 2 sin ψ m S d ( ψ φ ) 2 sin (ψ φ) (mt + m S ) v T cos (ψ + α T ) ψ (43b)

16 f 7 = F x,f a sin δ + F x,m (b + c) sin φ + F y,f a cos δ F y,r b F y,m (b + c) cos φ + (d + e)] m S (b + c) d ( ψ φ ) 2 sin φ + ms (b + c) d ψ 2 sin φ m S (b + c) v T cos α T + dv T cos (α T + φ)] ψ (43c) f 8 = F y,m (d + e) m S (b + c) d ψ 2 sin φ m S dv T cos (α T + φ) ψ. (43d) Portanto, o modelo não linear de veículo articulado é dado pelas equações (37), (38), (39), (40), (41), (42) e (43). 0.2 MODELO LINEARIZADO A equação não linear (37) pode ser linearizada e escrita na forma matricial Eẋ = Ax + Bu. (44) A linearização deste sistema pode ser feita para um veículo se movimentando em linha reta com uma determinada velocidade v T > 0. Neste caso, os estados no ponto de operação são dados por x 1,op = x op =? x 2,op = y op =? x 3,op = ψ op = 0 x 4,op = φ op = 0 x 5,op = v T,op = v T,0 x 6,op = α T,op = 0 x 7,op = ψ op = 0, x 8,op = φ op = 0. (45a) (45b) (45c) (45d) (45e) (45f) (45g) (45h) OBS: Os estados x e y não influenciam a dinâmica do sistema. O vetor do ponto de operação dos estados é

17 x op = x 1,op x 2,op x 3,op x 4,op x 5,op x 6,op x 7,op x 8,op. (46) dada por Neste ponto de operação dos estados, o ponto de operação da derivada dos estados é ẋ 1,op = ẋ op = v T,0 ẋ 2,op = ẏ op = 0 ẋ 3,op = ψ op = 0 ẋ 4,op = φ op = 0 ẋ 5,op = v T,op = 0 ẋ 6,op = α T,op = 0 ẋ 7,op = ψ op = 0, ẋ 8,op = φ op = 0. (47a) (47b) (47c) (47d) (47e) (47f) (47g) (47h) O vetor do ponto de operação da derivada dos estados é ẋ op = ẋ 1,op ẋ 2,op ẋ 3,op ẋ 4,op ẋ 5,op ẋ 6,op ẋ 7,op ẋ 8,op. (48)

18 O ponto de operação das entradas é δ op = 0 F x,f,op = 0 F x,r,op = 0 F x,m,op = 0 F y,f,op = 0 F y,r,op = 0. F y,m,op = 0. (49a) (49b) (49c) (49d) (49e) (49f) (49g) O vetor do ponto de operação das entradas é u op = δ op F x,f,op F x,r,op F y,f,op F y,r,op. (50) temos Expandindo em série de Taylor a equação (37) e truncando nos termos de primeira ordem g (x op, ẋ op, u op ) x x op ẋ ẋ op = f (x op, ẋ op, u op ) x x op ẋ ẋ op, (51) u u op u u op onde

19 g = g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8. (52) é o lado esquerdo da equação (37), enquanto que o lado direito é dado por f = O jacobiano das funções (52) e (53) é f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8. (53) g = f = g 1 x.... g 8 x... f 1 x.... f 8 x... g 1 ẋ.... g 8 ẋ... f 1 ẋ.... f 8 ẋ... g 1 δ.... g 8 δ... f 1 δ.... f 8 δ... g 1 F y,r. g 8 F y,r f 1 F y,r. f 8 F y,r Logo, as equações de movimento linearizadas são dadas por. (54a) (54b) (m T + m S ) v T = F x,f + F x,r + F x,m (55a) (m T + m S )v T,0 α T m S (b + c + d) ψ + m S d φ = F y,f + F y,r + F y,m (m S + m T )v T,0 ψ (55b)

20 m S (b + c + c)v T,0 α T + I T + I S + m S (b + c + d) 2] ψ IS + m S (d 2 + (b + c)d) ] φ = F y,f a F y,r b F y,m (b + c + d + e) + m S (b + c + d)v T,0 ψ (55c) m S dv T,0 α T (I S + m S (d 2 + (b + c)d)) ψ + (m S d 2 + I S ) φ = F y,m (d + e) m S dv T,0 ψ (55d) É possível notar que quando o somatório das forças longitudinais é zero a velocidade v T se mantém constante. As equações de estado são dadas por ẋ 1 = x 5 ẋ 2 = (x 3 + x 6 )v T,0 ẋ 3 = x 7 ẋ 4 = x 8 (ms + mt )ẋ 5 = F xf + F xm + F xr (56a) (56b) (56c) (56d) (56e) (m T +m S )v T,0 ẋ 6 m S (b+c+d)ẋ 7 +m S dẋ 8 = F y,f +F y,r +F y,m (m S +m T )v T,0 x 7 (56f) m S (b + c + c)v T,0 ẋ 6 + I T + I S + m S (b + c + d) 2] ẋ 7 I S + m S (d 2 + (b + c)d) ] ẋ 8 = F y,f a F y,r b F y,m (b + c + d + e) + m S (b + c + d)v T,0 x (56g) m S dv T,0 ẋ 6 (I S + m S (d 2 + (b + c)d))ẋ 7 + (m S d 2 + I S )ẋ 8 = F y,m (d + e) m S dv T,0 x 7 (56h) por Escrevendo a equação (56) na forma matricial da pela equação (44) a matriz E é dada

21 E = E 55 E 56 E 57 E E 65 E 66 E 67 E E 75 E 76 E 77 E E 85 E 86 E 87 E 88, (57) onde os elementros são E 55 = (m T + m S ) E 56 = 0 E 57 = 0 E 58 = 0 E 65 = 0 E 66 = (m S + m T ) v T,0 E 67 = m S (b + c + d) E 68 = dm S E 75 = 0 E 76 = m S v T,0 (b + c + d) E 77 = I T + I S + m S (b + c + d) 2 E 78 = I S m S d 2 + (b + c)d ] E 85 = 0 E 86 = dm S v T,0 E 87 = I S m S d 2 + (b + c)d ] E 88 = m S d 2 + I S (58a) (58b) (58c) (58d) (58e) (58f) (58g) (58h) (58i) (58j) (58k) (58l) (58m) (58n) (58o) (58p)

22 A matriz dinâmica do sistema é dada por v T,0 0 0 v T, A = (m S + m T )v T, m S (b + c + d)v T, m S dv T, B = a b (b + c + d + e) d + e (59) (60) Portanto, o modelo linear de veículo articulado é dado pela equação (44) com as matrizes dadas pelas equações (57), (59) e (60) Ângulos de deriva A velocidade no eixo dianteiro é dada por v F = v T + w T r F/T, (61) onde r F/T é o vetor posição do ponto F em relação ao ponto T. Logo, A velocidade no eixo traseiro é v F = ( ẋ a ψ sin ψ ) i + ( ẏ + a ψ cos ψ ) j. (62) v R = v T + w T r R/T, (63)

23 onde r R/T é o vetor posição do ponto R em relação ao ponto T. Logo, v R = ( ẋ + b ψ sin ψ ) i + ( ẏ b ψ cos ψ ) j (64) De maneira análoga, a velocidade do eixo do semirreboque é v M = ẋ + (b + c) ψ sin ψ + (d + e) ( ψ φ ) sin (ψ φ) ] i ẏ (b + c) ψ cos ψ (d + e) ( ψ φ ) cos (ψ φ) ] j. (65) Utilizando as equações (62), (64) e (65), os ângulos de deriva podem ser escritos como (ẏ ) + a ψ cos ψ α F = arctan ẋ a ψ (δ + ψ) sin ψ (ẏ ) b ψ cos ψ α R = arctan ẋ + b ψ ψ sin ψ α R = arctan ẏ (b + c) ψ cos ψ (d + e) ( ψ φ ) cos (ψ φ) ẋ + (b + c) ψ sin ψ + (d + e) ( ψ φ ) (ψ φ) sin (ψ φ) (66a) (66b) (66c) Realizando a mudança de varíaveis proposta na equação (33), os ângulos de deriva passam a ser ( vt sin (ψ + α T ) + a α F = arctan ψ ) cos ψ v T cos (ψ + α T ) a ψ (δ + ψ) sin ψ ( vt sin (ψ + α T ) b α R = arctan ψ ) cos ψ v T cos (ψ + α T ) + b ψ ψ sin ψ α M = (67a) (67b) (67c) Simplificando, temos que ( vt sin α T + a α F = arctan ψ ) δ v T cos α T ( vt sin α T b α R = arctan ψ ) v T cos α T α M = (68a) (68b) (68c)

24 Linearizando em torno do ponto de operação dado pelas equações (45), (47) e (49) temos α F,lin = α T + α F,lin = α T α M,lin = a v T,0 ψ δ b v T,0 ψ. (69a) (69b) (69c) 0.3 SIMULAÇÃO 0.4 CONCLUSÃO 0.5 INCLUINDO PNEU LINEAR temos Linearizando o valor do dos ângulos de deriva em (68) no mesmo ponto de operação Supondo uma lei de força linear para os pneu temos F y,f = K F α F = K F α T ak F v T,0 ψ + K F δ (70a) F y,r = K R α R = K R α T + bk R v T,0 ψ (70b) Substituir as equações (70) nas equações linearizadas em (??) temos f 1,lin = ẋ = v T f 2,lin = ẏ = v T,0 (ψ + α T ) f 3,lin = ψ = ψ f 4,lin = v T = F x,f + F x,r m T ak F bk R v T,0 f 5,lin = α T = K F + K R α T m T v T,0 + ψ + K F δ m T v T,0 m T v T,0 m T v T,0 (71a) (71b) (71c) (71d) (71e) Na forma matricial f 6,lin = ψ = ak F bk R α T a2 K F + b 2 K R I T I T v T,0 ψ + ak F I T δ (71f)

25 ẋ = Ax + Bû (72) Ou ainda ẋ ẏ ψ v T α T ψ = v T,0 0 v T, K F+K R m T v T,0 m T v T,0+ ak F bk R v T,0 m T v T, ak F bk R I T a2 K F +b 2 K R I T v T,0 x y ψ v T α Ṫ ψ m T 1 m T K F m T v T,0 0 0 ak F I T 0 0 δ F x,f F x,r (73)

26 REFERÊNCIAS