MOVIMENTO 3D: REFERENCIAL EM ROTAÇÃO

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1 MOVIMENTO 3D: REFERENCIAL EM ROTAÇÃO INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO Um ventilador em funcionamento está oscilando em torno de um eixo vertical. Uma mosca insuspeita voa em direção ao ventilador e se choca com a ponta de uma das pás quando a pá está na posição vertical. O que acontecerá com a mosca? QUESTÃO No instante em que a mosca se choca com o ventilador, quais são a velocidade e a aceleração da ponta da pá na vertical?

2 DADOS Os dados do presente caso, relativos ao instante em que a mosca se choca com a pá do ventilador, são os seguintes: O ventilador está girando em torno do eixo vertical com velocidade angular dada por Ω f = 0,296 rad/s e aceleração angular dada por dω f /dt = 0,0419 rad/s 2 ; As pás do ventilador giram à velocidade angular constante ω b = 2π rad/s; O ventilador tem as dimensões mostradas na figura ao lado e está inclinado de 15 acima da horizontal.

3 ABORDAGEM Considerar um sistema móvel de coordenadas, localizado no centro das pás, sistema esse que gira com o ventilador; Usar as equações de movimento em três dimensões para um sistema de coordenadas em translação e rotação; Considerar apenas o instante de tempo em que a mosca se choca com o ventilador.

4 TEORIA SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL EM ROTAÇÃO Anteriormente, o movimento geral para um sistema de coordenadas tridimensional xyz em translação foi examinado. A forma mais geral de analisar o movimento tridimensional requer o uso de um sistema de coordenadas xyz que translade e gire em relação à um sistema fixo XYZ. Esse método é útil para determinar os movimentos de dois pontos em partes separadas de um mecanismo em estudo, ou para determinar o movimento relativo de duas ou mais partículas quando uma delas, ou ambas, estão se movendo.

5 SISTEMA DE COORD. TRIDIMENSIONAL EM ROTAÇÃO (cont.) Como se vê abaixo, seja um corpo rígido que translada e gira em relação a um referencial fixo XYZ, com velocidade angular Ω e aceleração angular dω/dt. Vetores de posição r A e r B especificam, em relação a XYZ, a localização do ponto A, que está fixo no corpo rígido, e do ponto B, que pode não estar fixo no corpo rígido e, portanto, pode se mover em relação a A.

6 SISTEMA DE COORD. TRIDIMENSIONAL EM ROTAÇÃO (cont.) A origem do referencial móvel xyz é colocada em A, sendo que esse referencial translada e gira com o corpo rígido. A posição de B em relação a A é dada pelo vetor de posição relativa r B/A.

7 DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO POSIÇÃO Pela equação de posição relativa, os pontos B e A estão relacionados por r r r (1) B A B/A em que r B/A, no sistema móvel xyz, é r B/A = xi + yj + zk (2) uma vez que A está na origem desse sistema coordenado local.

8 DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO VELOCIDADE A velocidade de B no sistema XYZ pode ser determinada pela derivada temporal da equação de posição exposta anteriormente, de modo que r r r v v r (3) B A B/A B A B/A A derivada r B/A pode ser encontrada pela aplicação da equação que determina a derivada de um vetor num sistema móvel, em relação a um sistema fixo (vide unidade anterior). Dessa forma, tem-se r r Ω r v Ω r (4) B/A B/A xyz B/A B/A xyz B/A Substituindo essa equação na anterior, resulta que v v Ω r v (5) B A B/A B/A xyz O termo v é a velocidade relativa de B em relação a A no sistema xyz. B/A xyz

9 DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO ACELERAÇÃO A aceleração de B no sistema XYZ pode ser determinada pela derivada temporal da equação de velocidade anterior, de modo que v v Ω r Ωr v a a Ω r Ωr v (6) B A B/A B/A B/A B A B/A B/A B/A O termo v B/A tem dois componentes, pois sua condição é idêntica à do termo r B/A acima. Tem-se, então, que v v Ω v (7) B/A B/A xyz B/A Como já se sabe, da Eq. (4), que (4) e (7) em (6), que xyz r v Ω r B/A B/A xyz B/A 2 B A B/A B/A B/A xyz B/A, decorre, das Eqs. a a Ω r Ω Ω r Ω v a (8) xyz

10 DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO ACELERAÇÃO (cont.) É interessante, embora não seja surpreendente, que as equações da velocidade e da aceleração para referenciais tridimensionais em rotação, a saber, v v Ω r v (5) B A B/A B/A xyz 2 a a Ω r Ω Ω r Ω v a (8) B A B/A B/A B/A xyz B/A sejam as mesmas que aquelas equações para o movimento plano, quando escritas em forma vetorial. Contudo, o termo Ω deve ser tratado com cuidado, pois ele agora não tem uma direção constante, como ocorria no movimento plano. Deve, portanto, ser determinado a partir da expressão (vide unidade anterior, Eq. (6)) da dt da dt Ω A xyz xyz

11 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO De saída, desenha-se o diagrama cinemático no instante de interesse. Como se vê ao lado, o referencial fixo XYZ é colocado no centro da carcaça do motor do ventilador, no ponto em torno do qual o ventilador gira, sendo que o eixo X fica paralelo ao chão. Já a origem do referencial móvel xyz (ponto A) fica no centro das pás do ventilador, com o eixo x perpendicular ao plano de rotação das pás. Esse sistema gira com o ventilador, mas não com as pás. No instante analisado, os eixos X e x são coplanares.

12 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO DADOS A velocidade e a aceleração angulares do ventilador são Ωf 0,296 K rad / s Ω f 0,0419 K rad / s Já a velocidade e a aceleração angulares das pás são ωb 2 i rad / s (constante) ω b αb 0 rad / s 2 A posição de B em relação a A é dada por 2 rb/a 0,30 k m.

13 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO VELOCIDADE A velocidade de B pode ser separada em seus três termos componentes, pois v v Ω r v B A B/A B/A xyz Recomenda-se que cada termo seja tratado separadamente. Assim sendo, Termo 1) O ponto A sofre rotação em torno de um ponto fixo, portanto va Ωf ra 0,296K 0,2cos15I 0,2sen15K 0,0572 J m/s Termo 2) Tem-se que Ω rb/a 0,296K 0,30k 0,296 (0,30) sen15j 0,0230 J m/s posto que K k sen15j.

14 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO VELOCIDADE (cont.) Termo 3) Dentro do sistema xyz, o ponto B sobre rotação em torno de um ponto fixo, de modo que v ω r 2i 0,30k B/A xyz b B/A 1,885j 1,885J Somando as contribuições de todos os termos acima, resulta que vb 1,851 J m/s.

15 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO ACELERAÇÃO Pela equação da aceleração, a aceleração do ponto B é 2 a a Ω r Ω Ω r Ω v a B A B/A B/A B/A xyz B/A xyz De novo, recomenda-se que cada termo seja tratado separadamente. Termo 1) O ponto A sobre rotação em torno de um ponto fixo, portanto a Ω r Ω Ω r A f A f f A aa 0,0419K 0,2cos15I 0,2sen15K 0,296K 0,296K 0,2cos15I 0,2sen15K aa 0,0169I 0,0081J

16 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO ACELERAÇÃO (cont.) Termo 2) Tem-se aqui que Ω f rb/a 0,0419K 0,30k 0,0419 (0,30) sen15j 0,0033J pois K k sen15j. Termo 3) Nesse caso, também em vista do observado acima, Ωf Ωf rb/a 0,296K 0,296K 0,30k 0,296K 0,0230J 0,0068I Termo 4) Para esse termo, decorre que 2Ω v 2(0,296 K) ( 1,885 J) 1,1159I f B/A xyz tendo v sido obtida no termo 3 da equação de velocidade. B/A xyz

17 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO ACELERAÇÃO (cont.) Termo 5) Por fim, tem-se que, dentro do sistema xyz, o ponto B sofre movimento em torno de um ponto fixo. Dessa forma, a α r ω ω r B/A xyz b B/A b b B/A 0 2i 2i 0,30k 11,8435k Como k sen15i cos15k, B/A xyz a 11,8435 sen15i cos15k 3,0653I 11,4399K Somando todos os termos acima, resulta que ab 4,1711I 0,0048J 11,4399 K m/s. 2

18 Fonte: ecourses Dynamics Multimedia Engineering Dynamics, K. Grammoll, acessado em 21/11/2016.