Subida e Descida. Subida e Descida

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1 Mecânica de oo I Mecânica de oo I 763 º Ano da Licenciatura em Engenharia Aeronáutica Mecânica de oo I. Equações de Movimento linha de referência do avião α ε T, linha de tracção γ L γ, trajectória de voo horizontal D L Sustentação (força aerodinâmica) D Arrasto (força aerodinâmica) Peso (força gravítica) T Tracção (força propulsiva) α ângulo de ataque γ ângulo de subida (ângulo da trajectória) ε inclinação da linha de tracção

2 Mecânica de oo I.. Equações no Plano ertical () As equações de movimento completas no plano vertical, como já visto anteriormente, são: Na direcção da velocidade: d T cos ( α + ε ) D senγ m dt Na direcção perpendicular à velocidade: L + Tsen ( α + ε ) cosγ m r Se considerarmos o ângulo entre a linha de tracção do motor e a linha de referência da aeronave desprezável (ε 0), o ângulo de ataque também muito pequeno (α 0), a velocidade constante (d/dt0) e a trajectória rectilínea (r ), as equações do movimento simplificam-se. Mecânica de oo I.. Equações no Plano ertical () As equações de movimento passam a escrever-se na seguinte forma: Na direcção da velocidade: T D senγ 0 T D senγ Na direcção perpendicular à velocidade: L L cosγ 0 L cosγ cosγ n Estas são as equações de movimento para voo de subida ou descida com velocidade constante.

3 Mecânica de oo I.. Equações no Plano ertical (3) h X RC T L γ L Sustentação D Arrasto Peso horizontal cosγ γ senγ D T Tracção γ ângulo de subida Mecânica de oo I.. Equações no Plano ertical (4) Da primeira equação tiramos o valor do ângulo de subida em função do excesso de tracção por unidade de peso disponibilizado pelo motor T D senγ Da posição do avião na sua trajectória observa-se que a velocidade vertical, ou razão de subida, é obtida pelo produto da velocidade pelo seno do ângulo de subida. Assim, a razão de subida é igual ao excesso de potência por unidade de peso disponibilizada pelo motor T D senγ RC dt Também se observa que a velocidade horizontal da aeronave é a projecção da velocidade no eixo paralelo à linha do horizonte, isto é H cosγ

4 Mecânica de oo I.. Equações no Plano ertical (5) Outras equações que devem ser mencionadas são: Equação da tracção requerida T K D ρ SC + Equação da potência requerida cos γ ( ) ρ S R 3 PR TR ρ SC K + cos γ ( ) ρs Equação do consumo de combustível instantâneo d ct dt Equação da eficiência aerodinâmica L cosγ E cosγ D T R T R Mecânica de oo I.. Equações no Plano ertical (6) Assim, a expressão senγ T cosγ E seria uma forma simples de, para uma dada velocidade, determinar o valor do ângulo de subida. Contudo, a solução seria iterativa. É oportuno lembrar que o ângulo de subida com velocidade constante é, normalmente, pequeno de modo que o seu coseno pode ser, sem perda de precisão, tomado como. Por exemplo, um avião com T/0,3 (valor alto para uma aeronave civil mesmo ao nível do mar) e com E 8, teria um ângulo de subida máximo igual a γarcsen(0,3-/8)4,5graus. Resolvendo a equação iterativamente obtém-se γ4,5graus (um erro de - 0,7%). Para T/0,5 o valor aproximado de γ seria 6,3878graus enquanto que o exacto seria 6,7695graus (um erro de -,4%).

5 Mecânica de oo I.. Equações no Plano ertical (7) Assim, mesmo para valores do ângulo de subida próximos dos 30graus, pode utilizar-se a equação mais simplificada, ou seja senγ T E Mecânica de oo I. Subida com o Maior Ângulo Para calcular o maior ângulo de subida tem que se imizar a seguinte expressão T D senγ

6 Mecânica de oo I.. Avião a Jacto () Para aviões turbojacto, onde T é aproximadamente constante pode usar-se T D T senγ E A tracção em excesso por unidade de peso pode ver-se nos gráficos D, T D T γ Mecânica de oo I.. Avião a Jacto () Para imizar o ângulo de subida basta voar com a eficiência aerodinâmica máxima T ( sen γ ) E onde ocorre a maior diferença entre T e D. Nesta situação tem-se C CL K e todos os parâmetros associados a esta situação.

7 Mecânica de oo I.. Avião a Hélice () Para aviões a hélice, onde T é inversamente proporcional à velocidade pode usar-se T D P D senγ A tracção em excesso por unidade de peso pode ver-se nos gráficos D, T γ D TP/ Mecânica de oo I.. Avião a Hélice () Como P é constante, basta derivar o numerador em relação à velocidade e igualar a zero. Então d P ρ SC d P ρ K 0 ρ S 4K + 3 ρ S SC 4 ρsp ρ S 4 P + ρsc C 4K ρ S + 4K C D

8 Mecânica de oo I.. Avião a Hélice (3) Uma solução aproximada desta equação pode ser obtida desprezando-se o termo de quarta ordem da velocidade (ver Hale e Andersen). Assim, 4K( S ) 4K( S) γ ρ( P S ) ρη P ( Pe S ) É preciso ter atenção pois esta velocidade pode ser inferior à velocidade de perda. Mecânica de oo I 3. Subida Mais Rápida () Para calcular a razão de subida máxima é necessário imizar a seguinte expressão T D RC senγ

9 Mecânica de oo I 3.. Avião a Jacto () Para aviões turbojacto, onde T é aproximadamente constante pode usar-se T D RC A potência em excesso por unidade de peso pode ver-se nos gráficos D, T D RC T Mecânica de oo I 3.. Avião a Jacto () Como T é constante, basta derivar o numerador em relação à velocidade e igualar a zero. Então d 3 T ρ SC d 3 T ρ SC ρ ST ρ K ρs K + ρ S S C + K ( T S) 4K( S ) ρc 3ρ C D 0 0 0

10 Mecânica de oo I 3.. Avião a Jacto (3) A solução da equação acima é dada por ( S) ρ C T S T S 4K ± + 3ρC 3ρC 3 ou, tomando apenas a raiz positiva, T S CK T S ρC T 3ρC porque e, finalmente RC T S ρc E + 4KC D + 0 ( E T ) 3 0 D 3 ( E ) T Mecânica de oo I 3.. Avião a Jacto (4) Muitas vezes, na literatura, o termo entre parênteses é designado abreviadamente por Γ (Francis Hale). Is simplifica a escrita da equação da velocidade de subida mais rápida para o turbojacto onde RC Γ + + T S ρ 3 C Deve notar-se que o valor mais baixo de Γ, que poderia ocorrer ao nível do mar, é e que valor mais alto, que poderia ocorrer no tecto máximo é 3. O valor normalmente nunca é obtido. Por exemplo, ao nível do mar, com E 8 e T/0,3 teríamos Γ,05. Γ ( E T ) 3

11 Mecânica de oo I 3.. Avião a Jacto (5) A razão de subida máxima fica, então TRC D RC Onde o arrasto pode ser obtido da relação D RC O ângulo de subida da razão de subida máxima seria dado por RC T DRC ( senγ ) RC RC K cos γ ρ RC SC + ( ) ρ S RC RC RC Mecânica de oo I 3.. Avião a Hélice () Para aviões a hélice, onde P é aproximadamente constante pode usar-se P D ηppe PR RC A potência em excesso por unidade de peso pode ver-se nos gráficos P R, P P R RC P

12 Mecânica de oo I 3.. Avião a Hélice () A razão de subida máxima ocorre na condição de potência requerida mínima PPe PR min RC η onde, como já é conhecido 3C CL, C RC L, PR min K e a velocidade é dada por E RC 0, 866E RC S K ρ 3C O ângulo de subida correspondente é dado por ( senγ ) RC RC RC ηp Pe 4 RC 0,866E Mecânica de oo I 4. Tempo de Subida () A velocidade de subida é dada por RC d t de onde se pode obter d t RC Teoricamente, o cálculo do tempo de subida poderia ser obtido através da integração da equação diferencial mostrada acima. No entanto, o valor da razão de subida não pode ser expresso como uma função analítica da altitude e, por isso, o cálculo do tempo de subida tem que ser feito numericamente, em intervalos de tempo, usando-se valores médios de RC para cada intervalo de tempo. Assim h t RC

13 Mecânica de oo I 4. Tempo de Subida () Evidentemente, o tempo total da subida seria obtido pela soma dos tempos de todos os intervalos, n, em que a altitude tenha sido dividida. t n i Notar que, à medida que a altitude aumenta e a potência disponível diminui, o tempo para subir um dado h aumenta. t i Mecânica de oo I 4.. Aproximação Logarítmica () A razão de subida máxima varia, geralmente, de forma aproximadamente linear com a altitude. Assim, pode obter-se o tempo de suboida de uma forma mais simples, numa primeira aproximação, através da integração analítica. Colocando RC a + bh onde a e b são constantes, tem-se dt RC a + bh Integrando entre h e h, obtém-se ou t ln b h a + bh ( a + bh) ln h h t RC b a + bh h RC ln RC RC

14 Mecânica de oo I 4.. Aproximação Logarítmica () Esta forma de obter o tempo de subida é designada por aproximação logarítmica. Não convém esquecer que a sua precisão depende do comportamento linear da razão de subida com a altitude. Ela também pode ser aplicada a qualquer outro tipo de subida desde que se compreenda que ela é tanto mais precisa quanto mais linear for a variação da razão de subida com a altitude. Mecânica de oo I 4.. Correcção Devido à ariação de A velocidade de subida mais rápida aumenta com a altitude. Assim, o tempo de subida obtido usando uma equação em que se considerou a velocidade constante fica menor do que realmente deveria ser pois parte da energia disponível tem que ser usada para aumentar a velocidade. Mais tarde, ao estudarmos o método da energia esta situação ficará mais clara. Por enquanto, é conveniente notar que existe um factor de correcção para o tempo de subida que pode ser expresso como f cor + g h Assim o tempo de subida fica, após a correcção, t cor t cal + g h

15 Mecânica de oo I 4.3. Combustível Gasto na Subida Sabedo que o consumo instantâneo é d d ct RC dt o combustível gasto na subida pode ser calculado da seguinte forma ct med ct t RC med med h Mecânica de oo I 4.4. Distância Percorrida na Subida Sabedo que o alcance instantâneo é dx dx H cosγ RC dt tanγ A distância percorrida durante a subida pode ser calculada da seguinte forma Hmed h X Hmed t cosγ t h RC tanγ med ( ) med

16 Mecânica de oo I 5. Algumas Definições de Tecto () Tecto Máximo: É a altitude na qual a razão de subida máxima é nula, num voo com velocidade constante (Anderson, Hale, Ojha). Tecto de Serviço: Altitude na qual a razão de subida máxima é igual a 00pés/min (0,5m/s), num voo de velocidade constante. É, na prática, o limite superior para voos nivelados com velocidade constante (Anderson, Hale, Ojha). Tecto de Desempenho: Altitude na qual a razão de subida máxima é igual a 50pés/min (0,76m/s), num voo de velocidade constante. Tecto de Cruzeiro: Altitude na qual a razão de subida máxima é igual a 300pés/min (,5m/s), num voo de velocidade constante (Hale). Tecto Operacional: Altitude na qual a razão de subida máxima é igual a 500pés/min (,54m/s), num voo de velocidade constante (Ojha). Mecânica de oo I 6. oo de Descida () Todas as equaçãoe que se aplicam ao voo de subida com velocidade constante também se aplicam ao voo de descida com velocidade constante. Basta que a tracção disponível seja inferior à tracção requerida para que tenhamos um ângulo de subida negativo, o que significa que a aeronave está em voo de descida. Do mesmo modo, uma aeronave que tenha uma potência disponível menor que a potência requerida estará com uma razão de subida negativa (/dt<0), o que significa que a aeronave está em voo de descida. Razão de descida, RD, é por definição a altitude que a aeronave perde por unidade de tempo. Assim, se /dt for negativo a RD será positiva. Do mesmo modo, uma razão de subida for negativa implica uma razão de descida positiva. Consequentemente, a equação do ângulo de descida pode ser expressa por T D T cosγ senγ E ou, para pequenos γ T D T senγ E

17 Mecânica de oo I 6. oo de Descida () A razão de descida, que é igual a -/dt, é dada por T D RD senγ dt No caso de /dt ser negativo a razão de descida é positiva e, assim, a aeronave encontra-se a descer. Se /dt for positivo então a aeronave está a subir e RD é negativa, o que não tem significado físico. Mecânica de oo I 6.. Descida sem Motor L Sustentação D Arrasto Peso γ ângulo de descida L horizontal D X RD γ γ senγ cosγ h

18 Mecânica de oo I 6.. oo Planado No caso particular em que T é igual a zero, a aeronave está em voo planado e as equações seguintes aplicam-se: na direcção da velocidade e D senγ L cosγ Na direcção perpendicular à velocidade. Dividindo a primeira equação pela segunda obtém-se tan γ E que é a relação para o ângulo de planeio. eja-se que o ângulo de planeio é negativo pois convencionou-se positivo para o voo de subida. Mecânica de oo I 6.3. Ângulo de Descida Mínimo Da equação do ângulo de descida observa-se que o ângulo mínimo de descida ocorre quando o voo é realizado em condições de E. Assim, tanγ min E A velocidade correspondente é dada por γ min S K ρ C D 0 4

19 Mecânica de oo I 6.4. Alcance em oo Planado O alcance por unidade de altitude perdida é obtido através de dx tanγ Usando a relaçáo do ângulo de planeio obtém-se dx E tanγ Deve observar-se que o ângulo de descida depende unicamento no inverso de E sendo, portanto, constante para um voo com E constante. Assim, é fácil notar que o alcance nessas condições é dado por h h X X X E( h h ) tanγ Mecânica de oo I 6.5. Alcance Máximo em oo Planado Num voo planado com E constante, o alcance máximo é obtido quando o ângulo de descida é mínimo, ou seja nas condições de voo de E. Assim, pode escrever-se X br E ( h h ) A velocidade de maior alcance num voo planado é a velocidade de E, ou seja br S ρ K C 4 br, nm σ

20 Mecânica de oo I 6.6. Razão de Descida A variação da altitude com o tempo é dada por D senγ dt Para ângulos de descida pequenos, onde L, tem-se dt E e a razão de descida é dada por RD E Mecânica de oo I 6.7. Razão de Descida Mínima A razão de descida mínima corresponde às condições em que /E é mínimo, ou em que E/ é máximo, o que ocorre, conforme visto anteriormente, para as condições de potência requerida mínima. Logo P min RD min E onde e Assim, P min RD S K ρ 3C P min 4 E P min 0, 866E min 0,866E P min, nm σ P min, nm σ

21 Mecânica de oo I 6.8. Tempo de Descida () O tempo de planeio pode ser obtido através da relação E dt dt RD fazendo uma integração numérica com intevalos de altitude e somando as parcelas dos tempos parciais obtidos. Assim, E t t h Se a descida for realixada com C L constante então, além da opção numérica, pode ter-se também uma solução analítica aproximada pela relação logarítmica já vista no caso da subida. Alternativamente, pode usar-se uma aproximação da variação de σ com a altitude: Uma vez que a velocidade é dada por S S nm ρ σc ρ C σ σ 0 L 0 L Mecânica de oo I 6.9. Tempo de Descida () o tempo de descida pode ser obtido analiticamente através da relação E h t σ h nm De acordo com Ojha e Hale uma boa aproximação para σ na Toposfera é dada por h σ exp β onde β996m para h 000m. Com esta aproximação o tempo de descida com C L constante, dentro da troposfera, pode ser representado por ou nm h E h - h β βe t e h e h h - β d E t e nm nm h β - β - h β e h β

22 Mecânica de oo I 6.9. Tempo de Descida (3) Tempo de descida de maior alcance com C L constante h β β - h E - β t br e e br, nm Tempo de descida de maior autonomia com C L constante h β β - h E - be β t be e e be, nm