Sistemas de Coordenadas e Equações de Movimento

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1 Introdução ao Controle Automático de Aeronaves Sistemas de Coordenadas e Equações de Movimento Leonardo Tôrres torres@cpdee.ufmg.br Escola de Engenharia Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1

2 Sistemas de Coordenadas As velocidades e acelerações de um veículo são comumente descritas em diferentes referenciais. Para o caso de veículos cujos movimentos de interesse são aqueles em relação ao planeta Terra, podemos categorizar os sistemas de coordenadas em 2 tipos: 1. Referenciais vinculados à Terra; 2. Referenciais vinculados ao corpo do veículo. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 2

3 Referenciais vinculados à Terra ECI (Earth Centered Inertial frame) x y ω E z Origem no centro do planeta. Eixo x coincide com o eixo de rotação da terra. Move-se com a terra em seu movimento de translação, mas mantém sua orientação fixa em relação às estrelas. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 3

4 Referenciais vinculados à Terra NED (North, East and Down) Fixo na superfície da Terra Origem no ponto de interseção entre a linha que liga o centro x Norte do planeta ao C.M. da y ω E aeronave e a superfície da terra, P/ baixo z Leste quando a aeronave está em repouso. Eixo x aponta para o norte, eixo y aponta para o leste e eixo z aponta para baixo. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 4

5 Referenciais vinculados à Aeronave ABC (Aircraft Body Coordinate) C.G. y θ z ψ φ x Seqüência de rotações segundo os ângulos de Euler (NED para ABC): ψ θ φ Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 5

6 Referenciais vinculados à Aeronave Eixos do Vento (Wind Axis) y z x β α ABC para Eixos do Vento: α β Vento Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 6

7 Referenciais vinculados à Aeronave Eixos de Estabilidade (Stability Axis) y z β α x Coincidem com os Eixos do Vento quando β = 0. Vento Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 7

8 Diferença entre θ e α Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 8

9 Resumo de Sistemas de Coordenadas Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 9

10 Transformações de Rotação y NED y ABC ψ ψ v x ABC x NED Rotação em torno de z (ψ é o ângulo de guinada yaw): v ABC = R ψ v NED z NED = z ABC v x v y v z ABC = cos(ψ) sin(ψ) 0 sin(ψ) cos(ψ) v x v y v z NED Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 10

11 Transformações de Rotação Rotação em torno de y (θ é o ângulo de arfagem pitch): v x v y v z ABC = cos(θ) 0 sin(θ) sin(θ) 0 cos(θ) v x v y v z NED Rotação em torno de x (φ é ângulo de rolamento roll): v x v y v z ABC = cos(φ) sin(φ) 0 sin(φ) cos(φ) v x v y v z NED Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 11

12 Transformações de Rotação Composição de rotações. Transformação NED ABC: v ABC = R φ R θ R ψ v NED, v ABC = R NED2ABC v NED, B = R NED2ABC cθcψ cθsψ sθ B = cφsψ + sφsθcψ cφcψ + sφsθsψ sφcθ sφsψ + cφsθcψ sφcψ + cφsθsψ cφcθ Símbolos: cos(θ) = cθ, sin(φ) = sφ,.... Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 12

13 Transformações de Rotação Composição de rotações. Transformação Eixos do Vento ABC: v W = R β R ( α) v ABC, v W = R ABC2W v ABC, cos(β) sin(β) 0 R ABC2W = sin(β) cos(β) cos(α) 0 sin(α) sin(α) 0 cos(α) S = R ABC2W = R W2ABC = cαcβ cαsβ sα sβ cβ 0 sαcβ sαsβ cα Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 13

14 Transformações de Rotação Características comuns a todas as matrizes de rotação R: R R = I R 1 = R. Ou seja: v A = R v B v B = R v A Prova: u = R v. Se a transformação é de rotação, então a norma do vetor não deve sofrer alteração: u u = v v v R R v = v v R R = I. det(r) = 1 Além disso, se R é uma matriz de rotação, então: u = R( w v) u = R w R v. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 14

15 Produto Vetorial O produto vetorial pode ser expresso como uma equação matricial. Supondo ω = [P Q R] : u x u y u z u = ω v; 0 R Q = R 0 P Q P 0 v x v y v z u = Ω v A matriz Ω é anti-simétrica: Ω = Ω. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 15

16 Diferenciação de Vetores Ao calcularmos as derivadas de vetores, é preciso indicar em relação a que referencial a variação está sendo vista e em relação a que referencial o resultado será apresentado. ω x t+ t t y z X Y Z Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 16

17 Diferenciação de Vetores Vetor expresso no referencial girante: v xyz = v x î+v y ĵ+v zˆk. Variação temporal do vetor vista do referencial girante, e representada ( ) no referencial girante: d vxyz = xyz ( v x î+ v y ĵ+ v dî ) zˆk ++vx +v ( dĵ ) ( ) xyz y +v dˆk xyz z xyz Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 17

18 Diferenciação de Vetores Vetor expresso no referencial girante: v xyz = v x î+v y ĵ+v zˆk. Variação temporal do vetor vista do referencial girante, e representada ( ) no referencial girante: d vxyz = xyz ( v x î+ v y ĵ+ v dî ) zˆk ++vx +v ( dĵ ) ( ) xyz y +v dˆk xyz z xyz ( d vxyz ) xyz = v xî+ v y ĵ+ v zˆk Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 17

19 Diferenciação de Vetores Variação temporal do vetor vista do referencial parado, e representada no referencial girante: ( ) d vxyz = v x î+ v y ĵ+ v zˆk + ( ) ( ) ( ) dî dĵ dˆk + v x +v y +v z, Em geral: ( ) dî ( ) dĵ ( ) dˆk 0 Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 18

20 Diferenciação de Vetores z z ω x t z ω x t ω y t y y ω z t y x x x ω y t ω z t ( î) = (ω z ĵ ω yˆk) t = ( ωxyz î) t, ( ĵ) = (ω xˆk ωz î) t = ( ω xyz ĵ) t, ( ) ˆk = (ω y î ω x ĵ) t = ( ω xyz ˆk) t, Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 19

21 Diferenciação de Vetores Variação temporal do vetor vista do referencial parado, e representada no referencial girante: ( ) d vxyz = v x î+ v y ĵ+ v zˆk + ( ) ( ) ( ) dî dĵ dˆk + v x +v y +v z, Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 20

22 Diferenciação de Vetores Variação temporal do vetor vista do referencial parado, e representada no referencial girante: ( ) d vxyz = v x î+ v y ĵ+ v zˆk + ( ) ( ) ( ) dî dĵ dˆk + v x +v y +v z ( d vxyz ) ( = d vxyz ) xyz + ω xyz v xyz, Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 20

23 Equação de Desamarramento Bootstrap equation Qual a relação entre a variação da posição espacial descrita pelos ângulos de Euler Φ = [φ θ ψ ] e a velocidade angular da aeronave? ω = [P QR] Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 21

24 Equação de Desamarramento Bootstrap equation Suponha uma relação de transformação de rotação qualquer, que transforma a representação de um vetor constante em um referencial inercial em sua representação no referencial girante. Por exemplo: u ABC = B u NED = B NED Por definição. ( d uabc ) NED = 0 Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 22

25 Equação de Desamarramento Bootstrap equation Logo: 0 = u ABC + ω ABC u ABC ; = Ḃ 0 +B 0 +Ω ABC B = b1 +Ω ABC b1, sendo b 1 a primeira coluna de B. Logo: b 1 = Ω ABC b1 = ω ABC b 1 = 0 R Q R 0 P Q P 0 b1. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 23

26 Equação de Desamarramento Bootstrap equation Repetindo-se o procedimento para cada uma das colunas de B, tem-se que: Ḃ = ΩB. Este resultado é válido para quaisquer matrizes de rotação B que descrevem a orientação de um veículo que gira com velocidade angular ω: ω = [P QR] Ω = 0 R Q R 0 P Q P 0 Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 24

27 Equação de Desamarramento Bootstrap equation Um caso concreto e importante relação entre os ângulos de Euler e a velocidade angular de rotação da aeronave: Ω = B = 0 R Q R 0 P Q P 0 cθcψ cθsψ sθ cφsψ + sφsθcψ cφcψ + sφsθsψ sφcθ sφsψ + cφsθcψ sφcψ + cφsθsψ cφcθ Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 25

28 Equação de Desamarramento Bootstrap equation Um caso concreto e importante relação entre os ângulos de Euler e a velocidade angular de rotação da aeronave: Ω = B = 0 R Q R 0 P Q P 0 cθcψ cθsψ sθ cφsψ + sφsθcψ cφcψ + sφsθsψ sφcθ sφsψ + cφsθcψ sφcψ + cφsθsψ cφcθ φ = P +Qtanθsinφ+Rtanθcosφ, Ḃ = ΩB θ = Qcosφ Rsinφ, ψ = Q sinφ cosθ +Rcosφ cosθ Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 25

29 Equação de Desamarramento Bootstrap equation Uma outra maneira de se ver a relação entre (P,Q,R) e ( φ, θ, ψ) é observando a relação: P Q R = φ 0 0 +R φ 0 θ 0 +R φ R θ que representa mais claramente o fato de que variações angulares em ψ precisam sofrer dois processos de transformação de coordenadas (rotações) para serem representadas no referencial ABC, enquanto que variações angulares em θ precisam sofrer um processo de rotação para serem incorporadas a variações vistas no referencial ABC. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p ψ,