Lista de exercícios e Mais Vetores

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1 Lista de exercícios e Mais Vetores Fís1 04/1 G.4 Ex. 11 p. 4 tons IF UFRJ 2004/1 Física 1 IFA (prof. Marta) 1. O produto vetorial de dois vetores é uma operação que associa a dois vetores ~a e ~ b um terceiro vetor ~c = ~a ~ b definido por um vetor: de módulo c = a b sen µ, onde µ é o menor ângulo entre ~a e ~ b ; de direção perpendicular tanto à direção de ~a quanto à direção de ~ b; de sentido (por convenção) obtido através da regra da mão direita: colocando a mão direita com a palma aberta na direção do vetor ~a, tente fechar a palma levando-a de ~a para ~ b através do menor ângulo; quando o movimento de ir de ~a para ~ b fechar a mão, o sentido que o polegar apontar é o sentido de ~c. Usa-se a notação para representar o produto vetorial. Da figura e da definição, observa-se que c = ~a ~ b = a b sen µ = ab?, onde ~ b? é a projeção de ~ b sobre a direção perpendicular a ~a. r r r c = a b )θ b r b r a r r r r c = a b b r 2 a r 1 Demonstre que (a) ~a ~ b = S, onde S é a área do paralelogramo de lados definidos por ~a e ~ b.

2 (b) ~a ~a = 0. (c) ~a ~ b = ~ b ~a. Fís1 04/1 G.4 Ex. 11 p. 5 (d) Se a 6= 0, b 6= 0, então ~a ~ b = 0, ~a k ~ b. (e) Se é um número real qualquer, ~a ³ ~ b = ( ~a) b = ³ ~a ~ b = ~a ~ b. (f) ~a ³ ~ b +~c = ~a ~ b +~a ~c. toes 2. Considere um sistema de eixos cartesianos x, y, z como na figura. Os unitários destes eixos são os vetores î, ˆ e ˆk respectivamente. Demonstre as expressões a seguir. x z y (a) î î = ˆ ˆ = ˆk ˆk = 0 ; î ˆ = ˆk ; î ˆk = ˆ ; ˆ ˆk = î. (b) Se ~a = a x î + a y ˆ + a z ˆk e ~ b = bx î + b y ˆ + b z ˆk, então ~a ~ b = (a y b z a z b y ) î + (a z b x a x b z ) ˆ + (a x b y a y b x ) ˆk 3. Para ~a = î + ˆ, ~ b = î ˆ, ~c = î ˆ + 2 ˆk, e ~ d = 2 î +ˆ ˆk calcule (a) ~a + ~ b (b) ~a ~ b (c) ~a ~ b (d) ~a ~ b (e) ³ ~a + ~ b ³ ~a ~ b (f) ³ ~a + ~ b ³ ~a ~ b (g) ~c ~ d (h) ~c ~ d (i) ~a ³ ~c + ~ d (j) ³ ~a ~ b ~c

3 toes Fís1 04/1 G.4 Ex. 11 p Calcule o produto vetorial ~a ~ b entre os vetores ~a e ~ b onde (a) ~a = 3 î ˆ + ˆk e ~ b = 6 î + 2ˆ 2 ˆk; (b) ~a é o vetor que liga os pontos O e B, e ~ b é o vetor que liga os pontos A e B do cubo de aresta 1 m da figura. C O A B 5. Mostre, baseado na definição geométrica do produto vetorial ou usando sua expressão em componentes, que: (a) a área do paralelogramo cujos lados são formados pelos vetores ~a e ~ b é ~a ~ b ; (b) a área do triângulo cujos lados são formados pelos vetores ~a e ~ b é 1 2 ~a ~ b ; (c) se ~a e ~ b são dois vetores quaisquer, então ~a ~ b 2 = a 2 b 2 ³ ~a ~b 2 ; (d) se,, são os ângulos opostos aos três lados ~a, ~ b, ~c de um triângulo, então (lei dos senos) a sen = b sen = (e) se ~a, ~ b são dois vetores quaisquer, c sen ; ³ ~a + ~ b ³ ~a ~ b = 2~a ~ b (interprete geometricamente este resultado); (f) ~a ³ ~ b ~c = ~ b (~a ~c ) ~c ³ ~a ~ b ; (g) ³ ~a ~ b ~c = ³ ~ b ~c ~a = (~c ~a ) ~ b.

4 6. (a) Mostre que o módulo do produto triplo ³ ~a ~ b ~c Fís1 04/1 G.4 Ex. 11 p. 7 é o volume do paralelepípedo cujos lados são definidos pelos vetores ~a, ~ b e ~c. (b) Calcule a área da superfície deste paralelepípedo. (c) Considere ~a = î +ˆ, ~ b = î ˆ e ~c = î + 2 ˆk. Calcule a área da superfície e o volume do paralelepípedo definido por estes vetores. Considere as unidades dadas no S.I. 7. Define-se o vetor torque de uma força em relação a um ponto como ~ F O = ~r ~ F onde ~r é o vetor que define a posição, em relação ao ponto O, do ponto de aplicação da força. F r toes O r v pontoem que a força é aplicada Considere um objeto num ponto cuja posição em relação a um observador fixo a um ponto O é descrito por ~r = î + 2ˆ ˆk Sobre este corpo a força resultante atuando vale ~F = 3 î ~ (todas as unidades estão em unidades do SI.) Calcule o torque da força ~ F em relação ao ponto O. Calcule o torque da força F ~ em relação ao ponto O cuja posição em relação a O é descrita por OO ~ 0 = î. Os dois valores são iguais?

5 Lista de exercícios 12 Fís1 04/1 G.4 p. 8 tooter IF UFRJ 2004/1 Física 1 IFA (prof. Marta) Rotações, Torque e Momento Angular 1. Um LP (também chamado de disco de vinil ) gira num toca-discos que descreve 33 rpm. Estime a velocidade de um ponto próximo à periferia, no início do disco, e próximo a seu centro, no final do disco, ambas medidas por um observador fixo à Terra. 2. Para o problema anterior, estime a desaceleração do prato do tocadiscos quando a agulha chega a seu fim e o prato pára, supondo a desaceleração constante e o tempo de parada da ordem de 10 s. 3. Quais os módulos da velocidade e da aceleração, para um observador suposto inercial, fixo ao seu eixo de rotação, de um corpo parado sobre a superfície da Terra (a) sobre o Equador; (b) na latitude de 23 ± (Rio de Janeiro); (c) no pólo Sul? Despreze o movimento da Terra em torno do Sol. 4. Quais os módulos da velocidade e da aceleração da Terra em seu movimento de rotação em torno do Sol? Suponha a órbita da Terra circular, e procure em tabelas os dados que você precisa. 5. Um motor que move um moinho é desligado quando este último gira a 240 rpm. Após 10 s, a velocidade angular é 180 rpm. Se a desaceleração angular permanecer constante, quantas rotações adicionais ele faz até parar? 6. As duas polias de uma máquina estão ligadas por uma correia que não desliza, conforme mostra a figura. Se os raios das duas polias são R 1 e R 2, determine a razão entre as velocidades angulares das duas polias. Qual das duas gira mais rapidamente? ' h h $ h h h R h h 1 º h R 2 & % ¹

6 Fís1 04/1 G.4 p O volante de uma máquina a vapor desenvolve uma velocidade angular constante de 150 rpm. Quando o motor é desligado, o atrito dos mancais e do ar fazem com que a roda páre em 2,2 horas. (a) Qual é a aceleração angular média da roda? (b) Quantas rotações fará a roda antes de parar? (c) Qual é a aceleração tangencial de uma partícula distante 50 cm do eixo de rotação, quando o volante estiver girando a 75 rpm? (d) Qual é o módulo da aceleração total da partícula no instante do item (c)? 8. (*) Demonstre que para um corpo que move-se girando num movimento circular em torno de um ponto O com velocidade angular ~! (vetor definido como tendo o módulo dado pela velocidade angular usual, direção perpendicular ao plano que contém o círculo do movimento, e sentido dado usando a regra da mão direita ) podemos escrever, para um observador inercial fixo ao ponto O (o centro do círculo) ~v = ~! ~r ~a = ~ ~r + ~! (~! ~r) teams ~ é o vetor aceleração angular, definido de forma análoga ao vetor velocidade angular. 9. Considere uma partícula que está num dado instante na posição indicada na figura. Sobre ela atuam as duas forças ~ F 1 e ~ F 2 indicadas, onde F 1 = 10 N e F 2 = 20 N. (a) Calcule o torque de cada uma das forças em relação ao ponto O. (b) Calcule o torque da força resultante em torno do ponto O. (c) Repita o problema para o ponto A da figura. y (m) ± ¾ ~F 1 O ~ F2 - x (m)

7 Fís1 04/1 G.4 p Define-se o vetor torque de uma força em relação a um ponto O como ~ F ± = ~r ~ F onde ~r é o vetor que define a posição, em relação ao ponto O, do ponto de aplicação da força. Define-se o vetor momento angular de uma partícula em relação a um ponto O como ~L ± = ~r ~p = m ~r ~v onde ~r é o vetor que define a posição da partícula em relação ao ponto O, ~v é a sua velocidade (~v = d~r/dt ) e ~p = m ~v é o momento linear da partícula. F r O r v pontoem que a força é aplicada O r v tags Demonstre que, se O é um observador num referencial inercial, então a segunda lei de Newton para as rotações é v r d ~ L ± dt = ~ RES ±. 11. Um pequeno objeto de massa m está preso a uma extremidade de um fio de comprimento `. A outra extremidade do fio está pendurada no teto de uma sala. O objeto oscila em um plano vertical, em torno de sua posição de equilíbrio estável. (a) Indique todas as forças que atuam sobre o objeto. (b) Calcule o trabalho realizado por cada uma destas forças e pela força resultante quando este corpo desloca-se do ponto mostrado na figura (no qual o fio faz um ângulo com a vertical) até o ponto de equilíbrio estável (quando o fio está na vertical). (c) Calcule o torque de cada uma destas forças em relação ao ponto de sustentação do fio (no teto).

8 toes Fís1 04/1 G.4 p. 11 (d) Supondo que o objeto foi largado do repouso da posição mostrada na figura a, calcule o valor de sua velocidade no instante em que ele passa pela sua posição de equilíbrio. (e) Neste ponto (fio na vertical), calcule o momento angular do objeto em relação ao ponto de sustentação. l α α l m figuraa m figurab 12. Considere um planeta de massa m nas vizinhanças de uma estrela de massa M >> m. Supondo que este sistema está isolado de interações externas, e considerando que a estrela está no ponto O (fixo num referencial inercial), (a) indique as forças que atuam sobre o planeta; (b) calcule o torque destas forças em relação ao ponto O. (c) O momento angular deste planeta é constante? Por quê? 13. Um objeto de massa m desliza sobre uma mesa lisa. Nesta mesa, um ponto O é tomado como ponto de referência. No instante t = 0, sua velocidade é ~v ±, e ele está no ponto indicado na figura, no qual seu vetor posição, de módulo b, é perpendicular à sua velocidade. r ο v r ο O r = b ο (a) Calcule o torque de cada uma das forças que atuam sobre o corpo e o torque da resultante, em relação ao ponto O.

9 Fís1 04/1 G.4 p. 12 (b) Calcule o momento angular do corpo em relação ao ponto O no instante t = 0. (c) Quanto vale o momento angular em relação ao ponto O em um instante de tempo t qualquer? 14. O vetor posição de uma partícula de massa 2 kg em relação a um observador inercial fixo num ponto O é dado por ~r = 2 t 2 î + tˆ + t 4 ˆk, onde todas as unidades empregadas estão no S.I. (a) Qual é a força resultante que age sobre esta partícula? (b) Qual é o torque desta força em relação a O? (c) Qual é o momento angular desta partícula em relação a O? (d) Verifique se a segunda lei de Newton para as rotações é válida neste caso. 15. O momento angular de uma partícula, calculado em relação a um ponto O parado em relação à Terra, é dado por ~ L = b t î +c t 2 ˆ, onde b = 2 J, c = 2 J/s, e t é dado em segundos. (a) Determine o torque sobre a partícula em relação ao ponto O. (b) Calcule o módulo deste torque para t = 1 s. 16. Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade ~v 0 que faz um ângulo µ 0 com a direção horizontal. Tomando como origem do sistema de coordenadas o ponto de lançamento O, calcule o momento angular do projétil em relação a O como função do tempo. Calcule o torque da força resultante sobre este corpo em relação ao mesmo ponto, e verifique se d ~ L 0 dt = ~ 0. tags ~v 0 * µ 0 O 17. Quando a Terra está no afélio (posição em que está mais afastada do Sol), no dia 21 de junho, a sua distância ao Sol é de 1, m, e sua velocidade orbital é de 2, m/s. Determine sua velocidade orbital no periélio (posição mais próxima do Sol), cerca de 6 meses após o afélio, quando sua distância ao Sol é de 1, m. Determine também em cada caso a velocidade angular de rotação da Terra em torno do Sol.

10 Fís1 04/1 G.4 p Um pêndulo cônico é constituído por uma bola de massa m presa à extremidade de um fio de comprimento d, amarrado a um suporte fixo no laboratório. O pêndulo gira com velocidade! constante, com o fio fazendo um ângulo constante com a vertical. Qual é o momento angular L ~ 0 da bola em relação ao ponto de sustentação O? Mostre diretamente que a taxa de variação de L ~ 0 em relação ao tempo é medida pelo torque em relação a O das forças que agem sobre a bola. O toes d α m R ω 19. Uma partícula de massa m move-se sob ação de uma força atrativa que varia com o inverso do quadrado da distância a um ponto fixo: F = k/r 2. A trajetória descrita é um círculo de raio a. Mostre que a energia total é E = k/(2a), que o módulo da velocidade é v = q k/(ma), e que o módulo do momento angular em relação ao centro do círculo é L = p mka. 20. Um objeto espacial, A, de massa m, aproxima-se de uma estrela B que permanece fixa. A D d B Inicialmente, quando A está muito distante de B (r! 1), A tem velocidade de módulo v 0 dirigida ao longo da linha mostrada na figura. A distância entre esta linha e B é D. O objeto A desvia-se de sua

11 toes Fís1 04/1 G.4 p. 14 trajetória inicial devido à presença de B, e move-se segundo a trajetória indicada na figura. A menor distância entre esta trajetória e B é d. Deduza a massa de B em termos das quantidades dadas e da constante G da gravitação. 21. A Lua gira em torno da Terra de forma tal que um observador na Terra vê sempre a mesma face da Lua. (a) Qual é a razão entre a velocidade angular orbital da Lua em redor da Terra e a velocidade angular de rotaçào da Terra em torno de seu prṕrio eixo? (b) Determine a razão entre o momento angular orbital e o momento angular de rotação da Lua, chamando de r a distância do centro da Terra ao centro da Lua e de R L o raio da Lua.

12 Fís1 04/1 G.4 p. 15 IF UFRJ 2004/1 Física 1 IFA (prof. Marta) Lista de exercícios 11 Respostas 1. As demonstrações podem ser verificadas em textos sobre vetores. 2. As demonstrações podem ser verificadas em textos sobre vetores. 3. (a) 2 î; (b) 2ˆ ; (c) 0; (d) 2 ˆk; (e) 0; (f) 4 ˆk; (g) 5; (h) î 3ˆ ˆk; (i) î ˆ + ˆk; (j) 2 î 2ˆ. 4. (a) 0 (os dois vetores são antiparalelos); (b) ~ OC (o vetor que liga os pontos O e C). 5. As demonstrações podem ser verificadas em textos sobre vetores. 6. (a) (demonstração). (b) S = 2 ³ ~a ~ b + ~a ~c + ~ b ~c. (c) Volume = 4 m 3 ; área = 16 m ~ O = î + 3ˆ 7 ˆk; ~ O 0 = î + 3ˆ 6 ˆk; não. boost Lista de exercícios 12 Respostas 1. Supondo que os raios interno e externo do LP são respectivamente iguais a R i = 5 cm e R e = 15 cm, obtém-se para as velocidades os valores v i = 18 m/s e v e = 52 m/s. 2. a ' 1, 7 m/s (a) v E ' 470 m/s, a E ' 0, 03 m/s 2 ; (b)v R ' 430 m/s, a R ' 0,03 m/s 2 ; (c)v P = 0, a P = v ' m/s, a ' m/s Ele leva 40 s para parar. Portanto, o número de rotações até parar é 4. 6.! 2 /! 1 = R 1 /R 2 > 1; a roda de raio menor gira mais rapidamente.

13 Fís1 04/1 G.4 p (a) ' s 2 ; (b) aproximadamente 9900 rotações; (c) 0, 001 m/s 2 ; (d) aproximadamente 31 m/s (demonstração) 9. (a) ~ 1 = 10 ˆk (J), ~ 2 = 20 p 2 ˆk (J); (b) ~ R = ³ p 2 ˆk (J); (c) 10. d ~ L± dt ~ 1 = 10ˆk, ~ 2 = 10 p 2 ˆk, ~ R = 10 ³ 1 p 2 ˆk = 0, 4ˆk (J). = d(~r ~p) dt = d~r d~p ~p + ~r dt dt = ~v (m~v) + ~r F ~ RES = ~ ± RES. 11. (a) peso e tração da corda; (b) W (T) = 0, W (P) = mg` (1 cos ); (c) considerando o unitário ˆk como o unitário do eixo Oz perpendicular ao plano do papel e para fora deste, ~ O (T) = 0, ~ O (P) = m g ` sen ˆk; (d) a velocidade é tangente ao círculo e aponta da esquerda para a direita com módulo v = q 2g` (1 cos ) ; (e) ~ L = m ` q2g` (1 cos ). 12. (a) A força que atua no planeta é a força de atração gravitacional entre ele e a estrela; (b) 0; (c) sim, porque o torque da força resultante é nulo. 13. Usando um sistema de eixos radial, tangencial e perpendicular ao plano com unitários ˆr (direção da reta que une o corpo ao ponto O, indo de O para o corpo), ˆt (direção perpendicular a ˆr e mesmo sentido da velocidade no instante mostrado na figura) e ˆk (perpendicular ao plano da mesa, e para dentro dela): (a) ~ O ( N ~ ) = b m g ˆt, ~ 0 ( P ~ ) = b m g ˆt, ~ O ( F ~ RES ) = 0; (b) L ~ O (t = 0) = b m v ± ˆk; (c) LO ~ (t) = L ~ O (t = 0). 14. (a) F RES = m ~a = m d dt (b) ~ RES O ³ d~r dt = 24 t 3 î 40 t 4 ˆ 8 t ˆk; (c) ~ L O = 6 t 4 î 8 t 5ˆ 4 t 2 ˆk; (d) ~ L O dt = 8 î + 24 t 2 ˆk; = 24 t 3 î 40 t 4 ˆ 8 t ˆk = ~ RES O. toes 15. (a) ~ = b î + 2 c tˆ = 2 î + 4 tˆ ; (b) ~ (1) = 2 î + 4ˆ, (1) = p 20 J. 16. Usando um sistema de eixos x (a direção horizontal para a direita), y (a direção perpendicular a x, no plano do papel, de baixo para cima)

14 Fís1 04/1 G.4 p. 17 e z (perpendicular ao papel, para fora), podemos escrever para os vetores aceleração, velocidade e posição: ~a = ~g = gˆ, ~v = ~v ± ~g t = v ± cos µ ± + (v ± sen µ ± g t) ˆ, ~r = ~r ± + ~v ± t ~g t2 = v ± cos µ ± t î + ³ v± sen µ ± t 1 2 g t2 ˆ. Então L O = 1 2 m g v ± cos µ ± t 2, 0 = m g v ± cos µ ± t, e verifica-se diretamente que d ~ L/dt = ~ , m/s;! A = 1, rad/s,! P = rad/s. 18. ~ L O = m d 2! sen cos ˆ½+m d 2! sen 2 ˆk. O torque da tensão é nulo. O torque da força peso é ~ O (P) = m d 2! 2 sen 2 ˆt. Como a derivada do unitário da direção radial é o vetor unitário da direção tangencial multiplicado por!, ou dˆ½ dt =! ˆt, verifica-se diretamente que d ~ L/dt = ~. 19. (Sugestão: escreva a segunda lei de Newton e obtenha a velocidade da partícula.) 20. M = v2 ±(d 2 D 2 ) 2 Gd. 21. (a) As duas velocidades angulares s ao iguais. (b) L eixo L T erra = R2 L r 2. toes