Trabalho: Dinâmica da vibração de árvores

Transcrição

1 Trabalho: Dinâmica da vibração de árvores Professor: Emílio Graciliano Ferreira Mercuri, D.Sc. Departamento de Engenharia Ambiental - DEA, Universidade Federal do Paraná - UFPR mercuri@ufpr.br As árvores são componentes fundamentais em muitos ecossistemas terrestres e o entendimento do seu comportamento biomecânico e estabilidade representam importantes tópicos da investigação científica. Estudo da Biomecânica das árvores (importância) Segurança Rompimento de linhas de energia interrupção da energia elétrica em comunidades Danos em estruturas civis possíveis prejuízos a vidas humanas. Funções ecossistêmicas Dano ou fratura tecido vegetal perda do habitat de diversas espécies Polinização anemófila (realizada pelo vento) Anemocoria - dispersão de sementes pelo vento Interações ecológicas intra/inter específica A anemocoria (é comum em) { (espécies de) ecossistemas campestres espécies pioneiras (Projetos de Recuperação de Áreas Degradadas) 1

2 Trabalho - Parte 1: Vibração de Árvores Grupo: dupla ou individual Data da Entrega (Parte 1): 10/10/016 Documento impresso entrega na sala de aula Formato ABNT (Capa, Introdução, Objetivos Iniciais e Referências). 1. Escolher a espécie: arbórea/arbustiva/gramínea ou fungi (fixa e anemocórica). Identificar: espécie, gênero, família, ordem, classe, filo, reino 3. Identificar distribuição espacial mundial onde a espécie é nativa/exótica 4. Incluir uma foto da espécie escolhida 5. Representar o modelo D Representação gráfica Parâmetros (N, L, L k, h k, θ k, K, K k, ρ) 6. Referências

3 Introdução O modelo D tronco e galhos da árvore são corpos rígidos com massas concentradas nos centros de massa. As ligações ou nós do sistema tronco-ramos possuem uma rigidez para torção. tronco O k ramo k molas de torção simulam rigidez de flexão O Geometria Básica O tronco é alinhado inicialmente na direção vertical e existem N ramos (ou galhos) que estão ligados diretamente ao tronco. Molas de torção (tronco-base e tronco-ramos) simulam a rigidez de flexão Configuração deformada do tronco e ramos e seus sistemas de coordenadas O tronco foi deformado a partir da sua posição vertical em um ângulo ˆθ. O ramo k está posicionado inicialmente em um ângulo fixo θ k relativo ao tronco. Ele então se deforma por uma quantidade ˆθ k a partir de sua posição indeformada. Notação: { quantidades com chapéu são dinâmicas: ˆθ = ˆθ(t) e ˆθ k = ˆθ k (t) quatidades sem chapéu são fixas (em relação a certos sistemas de coordenadas) 3

4 Para representar a vibração de uma certa espécie arbórea devem ser definidos: o número de ramos (N) o comprimento do tronco e de cada um dos ramos (L e L k ) a localização no tronco onde cada um dos ramos se conecta (h k ) a orientação inicial de cada um dos ramos em relação ao tronco (θ k ) as estimativas da rigidez de torção (K e K k ) e a densidade da madeira [Uma vez definidas as propriedades geométricas e materiais e as condições iniciais, o objetivo do modelo é calcular a resposta dinâmica do sistema.] Objetivo do modelo resposta dinâmica do sistema (tronco + ramos): ˆθ(t) e ˆθ k (t). O sistema (tronco+ramos) tem (N + 1) incógnitas. 4

5 [Antes de aplicar as leis de newton para os componentes, 4 (quatro) sistemas de referência são definidos. Cada sistema consiste de uma origem do sistema de coordenadas definido por um ponto e um conjunto de vetores base unitários e ortogonais.] 4 sistemas de eixos: { } 1. Ψ 1 = O; {I 1, I } fixo (imutável) na base do tronco.. Ψ = 3. Ψ 3 = { } O; {î1, î} rotaciona junto com o tronco, na base do tronco. { } O k ; {I k 1, I k } O k : o ponto onde o ramo k se conecta com o tronco. I k orientação inicial do ramo k (ângulo θ k relativo ao tronco) { } 4. Ψ 4 = O k ; {îk 1, îk } O k mas rotaciona junto com o ramo k. Cinética de corpos rígidos Leis de Newton equações diferenciais do movimento: p: ponto fixo sobre o corpo ou o centro de massa do corpo. Diagramas de Corpo Livre (D.C.L.): tronco e ramo F = m a (1) M p = I p ω () Forças e Momentos R 1 e R : forças de reação no ponto O R1 k e Rk : forças de reação no ponto Ok } intencionalmente alinhadas com Ψ todas as forças serão somadas nas direções î1 e î. [É claro que qualquer sistema de coordenadas pode ser usado, entretanto o escolhido é particularmente conveniente. Note também que as molas de torção (não ilustradas na primeira figura) aplicam momentos M e M k nos seus pontos de anexação. Novamente, ao trabalhar no sistema de coordenadas Ψ, pode-se somar as forças do tronco nas direções 1 e e momentos na direção î3 (sendo positivo o sentido que aponta para fora da página) sobre o ponto fixo O]. 5

6 Equações do tronco Somatórios para o tronco: F1 = m a 1 : R 1 R1 k + mg sen ˆθ = m a 1, (3) F = m a : R R k mg cos ˆθ = m a, (4) Mo = I o ω : K ˆθ K k ˆθk mg L sen ˆθ + h k R1 k = I o ω. (5) [As forças de reação já estão alinhadas com os eixos de coordenadas escolhidos. Entretanto, os termos gravitacionais não são alinhados e são obtidos via trigonometria.] h k : distância de O até O k (ponto de ligação do galho k) K ˆθ e K k ˆθk : momentos fletores (momentos de flexão) molas de torção. [Esses momentos são aplicados nos pontos de conexão. As somas indicam que existem N braços, ramos ou galhos, todos os quais devem ser incluídos nas equações do tronco.] Equações do ramo k Somatórios das forças para o ramo k (direções î1 e î) e a soma dos momentos em relação ao centro de massa do galho k (e não ao ponto de ligação O k ): F1 = m k a k 1 : R k 1 + m k g sen ˆθ = m k a k 1, (6) F = m k a k : R k m k g cos ˆθ = m k a k, (7) Mcm = I k cm ω k : K k ˆθk R k L k sen (θk + ˆθ k ) + R1 k L k ( ) π sen θk ˆθ k = I k ω k. (8) As equações (6-8) são válidas para o ramo k (existem N conjuntos de equações como essas). Total de Equações/Incógnitas 3 equações para o tronco 3N equações para os ramos 3 + 3N incógnitas } 3 + 3N equações do movimento { R1, R, ˆθ N conjuntos de: R k 1, Rk, ˆθ k 6

7 Cinemática de corpos rígidos Até agora o foco do estudo estava direcionado para as forças e momentos atuantes em cada corpo. Não houve discussão a respeito das acelerações do lado direito das equações 3-8. Agora nessa seção a cinemática será utilizada para expressar as acelerações em termos dos deslocamentos (ˆθ e ˆθ k ) e suas derivadas. Para começar, a aceleração angular do tronco é: ω = ˆθ î 3 (9) o sinal negativo é necessário porque o valor positivo de ˆθ é definido como positivo na direção negativa de î3 (ver Figura B). A expressão analítica da aceleração angular para cada ramo k é um pouco mais complexa. A rotação do ramo consiste de duas partes. Primeiro, o galho rotaciona junto com o tronco, essa rotação pode ser visualizada imaginando que o galho está fixo em relação ao tronco (quando o tronco rotaciona o galho também rotaciona). Segundo, o galho também tem a sua própria rotação ˆθ k. Para visualizar isso imagine que o tronco está fixo, mas o galho ainda é livre para rotacionar. Para problemas planares a aceleração angular é simplesmente a soma: ω k = ˆθ î 3 ˆθk î k 3 = ( ˆθ + ˆθk ) î 3 (10) esse último passo é admissível uma vez que as direções îk 3 e î3 são coincidentes, tornando-as intercambiáveis. As acelerações angulares (Eqs. 9 e 10) serão substituídas nas Equações 8 e 5. Agora considere a aceleração translacional do centro de massa do tronco, a cm. O tronco está sendo modelado como um corpo rígido. A aceleração de um corpo rígido pode ser vista do ponto de vista cinemático como a soma de: uma translação de um corpo rígido e uma rotação em torno de um eixo fixo. Usando essa aproximação, a aceleração do centro de massa do tronco é: a cm = a o + ω x + ω (ω x) (11) O primeiro termo é a aceleração do ponto da base do tronco O, que é zero. O segundo e o terceiro termos são as acelerações tangencial e centrípeta do centro de massa, respectivamente. Para esse problema particular, ω = ˆθî 3 é a velocidade angular, x = (L/)î é a distância a partir da base até o centro de massa, e ω é a aceleração angular do tronco, expressa pela Equação 9. Combinando essas Equações e realizando os produtos vetoriais, obtemos: a cm = ˆθ î 3 L î ˆθ ( î 3 ˆθ î 3 L ) î ( L a cm = ( L a cm = ) ˆθ î 1 ˆθ ( L î 3 ˆθ î1 ) ) ( ) L ˆθ î 1 ˆθ î (1) Em outras palavras, as acelerações do lado direito das Equações 3 e 4 são a 1cm = (L/) ˆθ e acm = (L/) ˆθ. Uma dedução semelhante pode ser realizada para cada um dos ramos k. Nesse caso, a aceleração do centro de massa do ramo k é: a k cm = a o k + ω k x + ω k (ω k x) (13) O primeiro termo a o k é a aceleração do ponto da base O k de cada ramo k (onde eles se ligam com o tronco). O segundo e terceiro termos são as acelerações normal e tangencial locais (como observadas por um observador rotacionando no sistema de referência Ψ 3 ). Considerando o ponto O k como parte do tronco, sua aceleração é similar à do centro de massa do tronco, com o vetor x = h k î k. Portanto, de acordo com a Equação 11 esse termo é: a o k = ˆθ î 3 h k î ˆθ î 3 ( ˆθ ) î 3 h k î 7

8 a o k = A velocidade angular do ramo k é: a o k = ( h k ˆθ) î1 ˆθ î 3 ( ˆθh k ) î 1 ( ( ˆθ) h k î1 h k ˆθ ) î (14) ω k = ( ˆθ + ˆθk ) î 3 (15) A distância a partir do ponto base do ramo, O k, até o centro e massa do ramo k é x = (L k /) îk. Note que nesse último termo x é expresso no sistema de referência Ψ 4, enquanto todo o resto da Equação 13 é descrita em função do sistema Ψ. Para realizar de forma correta o produto vetorial é necessário escrever todos os vetores no sistema Ψ. Em álgebra linear, uma rotação finita bibimensional pode ser realizada com o operador linear chamado de tensor. Um tensor é uma transformação linear que pode ser representada por uma matriz. Se T é uma transformação linear mapeando R n em R m e x é um vetor com n componentes, então: T (x) = x = Ax sendo A uma matriz m n, chamada matriz transformação de T. Tensor Rotação Para rotações no sentido horário de um ângulo θ em torno de um eixo passando pela origem, tem-se a relação funcional: x = x cos θ + y sen θ e y = x sen θ + y cos θ. Escrevendo na forma matricial, tem-se: [ ] [ ] [ ] x cos θ sen θ x y = sen θ cos θ y Começaremos com a transformação de coordenadas do sistema Ψ 4 para o Ψ 3, o vetor x = h k î k se torna: [ ] [ x cos ˆθk sen y = ˆθ ] [ ] k 0 sen ˆθ k cos ˆθ k (L k (16) /) Ψ 3 Ψ 4 x = (L k /) sen ˆθ k I k 1 + (L k /) cos ˆθ k I k (17) Fazendo uma segunda transformação de coordenadas (de Ψ 3 para Ψ ), esse vetor se torna: [ ] x y Ψ = [ ] [ cos θ k sen θ k (L k /) sen ˆθ ] k sen θ k cos θ k (L k /) cos ˆθ k Ψ 3 (18) ( ) ( ) L x k = sen ˆθ k cos θ k + Lk cos ˆθ k sen θ k î 1 + Lk sen ˆθ k sen θ k + Lk cos ˆθ k cos θ k î (19) x = Lk (sen ˆθ k cos θ k + cos ˆθ k sen θ k) î 1 + Lk ( sen ˆθ k sen θ k + cos ˆθ k cos θ k) î (0) Para facilitar, iremos escrever x simplesmente como x, por se tratar do mesmo vetor em diferentes sistemas de coordenadas. x = Lk [( sen ˆθ k cos θ k + cos ˆθ k sen θ k) î 1 + ( sen ˆθ k sen θ k + cos ˆθ k cos θ k) ] î (1) 8

9 Substituindo as Equações 14, 15 e 1 na Equação 13, obtém-se: A aceleração do centro de massa de cada ramo pode ser reescrita (aglutinada) considerando as acelerações nas direções î1 e î: () Portanto, conhecemos: a cm e a k cm. a k cm = a k 1î1 + a k î Equações do Movimento As equações 3 e 4 podem ser usadas para calcular as reações na base R 1 e R : R 1 = R = R1 k mg sen ˆθ + m a 1 = R k + mg cos ˆθ + m a = R1 k mg sen ˆθ + m L ˆθ (3) R k + mg cos ˆθ m L ˆθ (4) As equações 6 e 7 podem ser usadas para isolar as forças de interação (reações) entre o tronco e os ramos R k 1 e R k : R k 1 = m k g sen ˆθ + m k a k 1, (5) R k = m k g cos ˆθ + m k a k, (6) As Eqs 5 e 6 podem ser substituídas nos somatórios de momentos do tronco (Eq. 5) e dos ramos (Eq. 8). Seguem os resultados abaixo: O somatório de momentos para o tronco é: P 1 ˆθ + N P k O somatório de momentos para o ramo k é: ( ˆθ k + P3 k ˆθ + ˆθk ) + P4 ˆθ N + P k ˆθ 5 k + P 6 = 0 (7) Q k 1 ˆθ + Q k ˆθ k + Q k 3 ˆθ + Q k 4 ( ˆθ + ˆθk ) + Q k 5 ˆθk + Q k 6 = 0 (8) Os coeficientes P e Q são a coleção de termos que multiplicam uma variável em comum. Objetivo do estudo: encontrar a solução das N+1 equações diferenciais acopladas de segunda ordem e não lineares. A solução desse sistema tem natureza caótica e não é possível ser determinada sem algumas simplificações necessárias. Repare que os coeficientes P e Q não são constantes. A solução é: ˆθ(t) e ˆθ k (t) (vibração do sistema tronco-ramos) 9

10 Trabalho - Parte : Vibração de Árvores Grupo: dupla ou individual (mesmo da parte 1) Data da Entrega (Parte ): 3/11/016 Documento impresso entrega na sala de aula Formato ABNT (Capa, Introdução, Objetivos Iniciais e Referências). 1. Escolher a espécie: arbórea/arbustiva/gramínea ou fungi (fixa e anemocórica). Identificar: espécie, gênero, família, ordem, classe, filo, reino 3. Identificar distribuição espacial mundial onde a espécie é nativa/exótica 4. Incluir uma foto da espécie escolhida 5. Representar o modelo D Representação gráfica Parâmetros (N, L, L k, h k, θ k, K, K k, ρ) 6. Deduzir da Equação a partir das Equações 13, 14, 15 e Deduzir as expressões de todos coeficientes P e Q. 8. Referências Errata Artigo Apêndice 1 Foram encontrados alguns erros nas equações do Apêndice 1. Abaixo está a errata: g 1 = K ˆθ K k ˆθk mg L sen ˆθ m k gh k sen ˆθ Q k 4 ( ) = m k L k ( sen θ k sen ˆθ k + cos θ k cos ˆθ k) sen (θ k + ˆθ k ) + ( ) m k L k ( cos θ k sen ˆθ k sen θ k cos ˆθ k) sen ( π θk ˆθ k ) 10

11 Trabalho - Parte 3: Vibração de Árvores Grupo: dupla ou individual (mesmo da parte 1) Data da Entrega (Parte 3): 30/11/016 Documento impresso entrega na sala de aula Formato ABNT (Capa, Introdução, Objetivos Iniciais e Referências). 1. Escolher a espécie: arbórea/arbustiva/gramínea ou fungi (fixa e anemocórica). Identificar: espécie, gênero, família, ordem, classe, filo, reino 3. Identificar distribuição espacial mundial onde a espécie é nativa/exótica 4. Incluir uma foto da espécie escolhida 5. Representar o modelo D Representação gráfica Parâmetros (N, L, L k, h k, θ k, K, K k, ρ) 6. Deduzir da Equação a partir das Equações 13, 14, 15 e Deduzir as expressões de todos coeficientes P e Q. 8. Rodar o código Equilibrio.py para a árvore do grupo e encontrar a deflexão estática. 9. Referências 11