Lei de Hooke generalizada

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1 Lei de Hooke generalizada σ ij = ijkl ε kl i,j,k,l=,,3 (3D) - convenção de soma ijkl = tensor de rigidez ou das propriedades elásticas nota: barras/vigas =E (módulo de Young), torção =G (módulo de elasticidade transversal) o tensor das propriedades elásticas obedece à lei de transformação de coordenadas de tensores ijkl =R im R jn R kp R lq mnpq onde R representa a matriz de transformação de coordenadas

2 Em princípio ijkl possuiria ( =) 8 constantes independentes, mas devido às simetrias existentes, ijkl = jikl, ijkl = ijlk, ijkl = klij, resultam apenas constantes independentes Exemplo (σ ij = ijkl ε kl ) σ = ε + ε + 3 ε ε + ε + 3 ε ε ε ε 33 σ = ε + ε + 33 ε ε ε 3 + ε Para simplificar a escrita (representação matricial ou engenheiral ) σ ε σ ε σ ε33 a ordenação dos termos = σ ε 3 depende do autor σ ε ε 3 =γ 3, ε 3 =γ 3, ε =γ 3 σ sim. ε

3 simplificando ainda mais a escrita σ ε σ ε σ ε 3 = σ ε 4 σ ε 5 σ sim. ε contracções efectuadas,, , 3 5, 6 e ainda ter em atenção que ε 3 =ε 4, ε 3 =ε 5, ε =ε 6 a representação matricial destrói a anterior lei de transformação de coordenadas existe formulário apropriado um material com a matriz cheia (sem componentes nulas) é um material anisotrópico. em termos macroscópico, nalgumas zonas o osso terá um comportamento anisotrópico.

4 caso existam simetrias materiais, a matriz das propriedades elásticas simplifica-se se existirem 3 planos de simetria o material diz-se ortotrópico (9 constantes) σ 3 ε σ ε 3 σ 3 33 ε 3 = σ 4 44 ε 4 σ 5 55 ε 5 σ sim. ε simetria geométrica simetria material este tipo de simetria é utilizada para modelar (macroscopicamente) o osso, em especial o osso trabecular mas também o osso compacto

5 caso exista uma rigidez numa direcção longitudinal e uma outra rigidez numa qualquer direcção radial, o material diz-se transversalmente isotrópico (5 constantes) 3 σ 3 ε σ ε 33 σ 3 ε3 = 44 σ 4 ε 4 44 σ 5 ε 5 σ 6 sim. ( ) ε 6 3 este tipo de simetria é utilizada para modelar (macroscopicamente) o osso compacto

6 caso o material possua infinitos planos de simetria, o material diz-se isotrópico ( constantes e ou em alternativa E e ν ou ainda E e G) σ ε σ ε σ 3 ( ) ε 3 = σ 4 ε 4 σ ε ( ) 5 5 σ 6 ε 6 sim. E ( ν ) Eν = ( + )( ) ( + ν)( ν) ( ) E nota: =,, ( ) = ν ν + ν ( ) = G em termos macroscópicos o osso não terá comportamento isotrópico (pontualmente poderá ter características isotrópicas) contudo, a simplificação de considerar osso como material isotrópico é efectuada com frequência devido a falta de dados e/ou à complexidade das análises não isotrópicas

7 Matriz de complacência ou de flexibilidade { σ} = [ ]{ ε} { ε} = [ ] { σ} { ε} = [ S]{ σ} [ S] = [ ] [S] representa a matriz de complacência (o inverso da rigidez), ou seja a maior ou menor flexibilidade da estrutura [S] possui características análogas às de [], em termos de estrutura e quantidade de termos nulos exemplo: material isotrópico ε E ν E ν E σ ε E ν E σ ε 3 E σ 3 = ε 4 G σ 4 ε 5 G σ 5 ε sim. G σ 6 6

8 material ortotrópico (D) S S E ν E ν S θ S = = E E sim. S 66 G = sim. 66 frequentemente, os valores referenciados são os módulos de elasticidade (e coeficiente(s) de Poisson)

9 Obtenção das propriedades mecânicas material ortotrópico: 9 constantes independentes considerando apenas as componentes num plano de ortotropia (D): 4 constantes independentes E, E, ν, G nota: por simetria do tensor (da matriz), ν / E = ν / E ) S S E ν E ν S θ S = = E E sim. S 66 G

10 Obtenção das propriedades mecânicas ν E E ε S S σ σ ν ε S = σ = σ E E ε 6 sim. S 66 σ 6 σ 6 G Ensaios controlando a tensão aplicada e fazendo a leitura das deformações. Ensaio : Ensaio uniaxial de tensão, aplicar σ, leitura de ε e ε ν σ E E E σ ε σ ε E ν νσ = ε ε = ε = E E E Eε ε 6 ε ν 6 = σ G

11 Obtenção das propriedades mecânicas Ensaio : Ensaio uniaxial de tensão, aplicar σ, leitura de ε (e de ε )... ε Eε ν = σ Ensaio 3: Ensaio de torção (de corte), aplicar σ 6 (= σ ), leitura de ε 6 (= ε = γ ) E σ = verificação ν E E ε ε ν σ 6 ε = ε = G = E E ε 6 ε 6 σ 6 ε 6 σ 6 G G

12 Transformação de coordenadas por uma questão de simplificação a análise é efectuada a D recuperando o carácter tensorial de (ou de S) ijkl =R im R jn R kp R lq mnpq i,j,k,l,m,n,p,q=, (D) onde R representa a matriz de rotação de coordenadas do sistema de coordenadas, para, [ R] cos( θ ) sin( θ ) = sin( θ ) cos( θ ) θ

13 material ortotrópico (D) S S = S sim. S S 66 = sim. 66 θ

14 material ortotrópico (D) transformação de coordenadas ijkl =R im R jn R kp R lq mnpq i,j,k,l,m,n,p,q=, θ ' ' ' ' ' ' 6 = 6 sim. ' 66 [ R] cos( θ ) sin( θ ) = sin( θ ) cos( θ ) = sim. 66 =cos 4 (θ). +.sin (θ).cos (θ). +sin 4 (θ). +4.sin (θ).cos (θ). 66 =... 6 = sin(θ).cos(θ).[cos (θ). cos(θ). sin (θ)..cos(θ). 66 ] =... 6 =sin(θ).cos(θ).[ sin (θ). cos(θ). +cos (θ)..cos(θ). 66 ] 66 =sin (θ).cos (θ).(. + )+cos (θ). 66 num referencial qualquer (não principal), o material ortotrópico exibe uma matriz cheia

15 Direcções principais de tensão e de extensão no referencial principal material, direcções de ortotropia (D) ε S S σ ε S = σ ε sim. S σ considere-se um estado de tensão principal {σ}={a,b,}. O campo de extensões resulta, ε S S a ε S. a+ S. b ε S S = b ε = S. a+ S. b ε = 6 ε 6 S66 ε 6 se as direcções principais de tensão coincidirem com as direcções principais do material (direcções de ortotropia), então as direcções principais de tensão coincidem também com as direcções principais de extensão

16 Direcções principais de tensão e de extensão num referencial qualquer (ref. não principal material, direcções não de ortotropia) ε S' S' S' 6 σ ε S' S' = 6 σ ε sim. S ' σ considere-se um estado de tensão principal {σ}={a,b,}. O campo de extensões resulta ε S' S' S' 6 a ε S'. a+ S'. b ε S' S' S' = 6 b ε = S'. a+ S'. b ε6 ε 6 S' 6 S' 6 S' 66 ε 6 S' 6. a+ S' 6. b se as direcções principais de tensão não coincidirem com as direcções principais do material (direcções de ortotropia), então as direcções principais de tensão não coincidem com as direcções principais de extensão

17 Problema alcule a energia elástica de deformação, u = ½.σ ij ε ij, para um material ortotrópico cuja direcção de ortotropia está orientada de 3 graus em relação à horizontal, quando sujeito a uma tracção uniaxial σ x = MPa Dados do material: E =GPa E =GPa ν =.4 y θ x G =3.5GPa

18 Energia elástica u = σ ijεij = σ ε + σ ε + σ ε + σ ε = xx xx + xy xy + yx yx + yy yy ( ) ( σ ε σ ε σ ε σ ε ) Para efectuar o cálculo necessitamos de conhecer o campo das tensões e das deformações num determinado referencial. Opção: efectuar o cálculo no referencial do material (referencial ) y θ x

19 álculo da tensão no referencial do material [ σ ] [ R] [ ] [ ][ ] [ ] σ = R R σ σ = R σ R ij ik jm km xy xy σ xx = cos( θ) sin( θ) cos(3) sin(3) 3 = sin( θ) cos( θ) = = sin(3) cos(3) 3 T

20 álculo da tensão no referencial do material [ σ] [ R][ σ] [ R] T 3 σ xx 3 = = xy σxx σ xx = 3 3σxx 4 3σxx 4 = 3σxx 4 σxx 4 σ 3σ 4 xx 7.5 3σ 4 3σ 4 σ = σ = σ = σxx 4 =.5 MPa 3σxx 4 σxx 4 σ 3σ xx xx xx [ ] { }

21 { ε} = [ S] { σ} [ S] álculo da deformação no referencial do material ν sim. E E.5. =.. = = E E.86 G 3.5 ν {} ε = [ S] { σ} =...5 =

22 álculo da energia elástica u u u u u u = ( σε + σε + σε + σε ) = ( σε + σε + σε ) = ( σε + σε + σγ ) = ( σε + σε + σγ 6 6) = ( ( 4.3) (.3) ) 3 - = 3.99 N. mm 3