Método dos Elementos Finitos Aplicado à Problemas Planos

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Maria do Carmo Diegues Bento
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1 Método dos Elementos Finitos Aplicado à Problemas Planos Profa Mildred Ballin Hecke, D.Sc CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 1

2 Introdução Ocorre ESTADO PLANO DE TENSÕES quando as tensões segundo um dos eios é desprezível perante as restantes (que agem em um plano normal a este eio), isto é, podem ser consideradas nulas. σ = 0 z z CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 2

3 Ocorre ESTADO PLANO DE DEFOR- MAÇÕES quando as deformações segundo um dos eios podem ser consideradas nulas. ε = 0 z z CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 3

4 PROBLEMAS AXISSIMÉTRICOS são uma particularização do estado plano de deformações em coordenadas cilíndricas (Orz). Neste caso eiste um eio (eio z) de simetria aial do corpo. z r CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 4

5 Programa da aula: Introdução de Conceitos da Teoria da Elasticidade, com a obtenção da equação diferencial de equilíbrio; Introdução da forma variacional do equilíbrio: Princípio dos Trabalhos Virtuais; Solução via FEM; CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 5

6 Bibliografia recomendada lbathe,k.j.-finite Element Procedures in Engineering Analsis, Prentice Hall,1982. l Cook, R.D. Conceps and Applications of Finite Element Analsis, John Wile & Sons, ltimoshenko, Theor of Elasticit lzienkiewicz, O.C.; Talor, R.L. The Finite Element Method, Mc-Graw-Hill, 1989 CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 6

7 Estado Plano de Tensões Sistema de coordenadas de referência: Oz cujo plano O coincide com o plano médio da peça.; Espessura constante t; material elástico isotrópico linear: Módulo de Young E e Coeficiente de Poisson ν; Carregamento atuante na direção do plano médio da placa; σ = 0 z z CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 7

8 Cinemática Hipóteses simplificadoras: Fibras paralelas ao plano médio ou se alongam ou se encurtam; Seções planas e normais ao plano médio da peça permanecem planas e normais a tal plano após a deformação e paralelas às posições indeformadas; Seções paralelas permanecem paralelas após a deformação. CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 8

9 Cinemática Deslocamentos e Deslocamentos: Deformações o ponto distante e da origem, após a transformação tomará a posição +u (,) e +u (,) Campo de deformações: ε alongamento C M B A C' M' B' A' ε = u ( ), d M d A d d M - d A CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 9

10 Deformações (continuação) alongamento: distorção: γ ε = u = + (, ) u u ε γ = 2 u d u d C' B' ε = { ε ε ε } T C B M' A' u d M A u d CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 10

11 Esforços internos A eistência de esforços internos fica evidente quando observa-se que ao submeter-se um corpo deformável à ações eternas, suas partículas permanecem unidas. { } T s = s s t CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 11

12 Equação Constitutiva Para um material isotrópico elástico linear, adota-se a Lei de Hooke: s = De sendo D= E ( 2 1 n ) 1 n 0 n n ( ) CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 12

13 Trabalho Interno e Eterno Trabalho Interno: Trabalho Eterno: ( ) Wi = t σ δε + σ δε + τ δε dω Ω [ ] Ω [ ] W b δu b δu d p δu p δu d Ω = e Ω Ω CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 13

14 Equilíbrio - Forma Variacional Princípio dos Trabalhos Virtuais [ σ ] [ ] δε σ δε τ δε Ω δ δ t + + d + b u + b u dω + Ω [ ] + p δu + p δu d Ω = 0 δu Ω Ω CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 14

15 Tensões Principais τ σ σ = σ cos 2 α + σ sen 2 α + +2τ senα cosα α d ds α σ τ = (σ - σ ) senα cosα - - τ (cos 2 α - sen 2 α) τ τ d σ σ 1 = σ ma = (σ + σ )/2 + { [(σ - σ ) 2 + 4τ 2 ]}/2 σ 2 = σ ma = (σ + σ )/2 - { [(σ - σ ) 2 + 4τ 2 ]}/2 CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 15

16 Critérios de Escoamento: Critério de Mises ou da Máima Energia de Deformação: Este critério se baseia na determinação da energia de distorção (isto é, energia relacionada a mudanças na forma) do material. Estamos interessados em avaliar a tensão equivalente: σ eq = [( ) 2 ] σ1 σ 2 2 σ Y CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 16

17 Critérios de Escoamento: Critério de Tresca: Este critério se baseia na hipótese de que o escoamento dos materiais dúcteis é causado por deslizamento do material ao longo de superfícies oblíquas, deslizamento devido principalmente a tensões cisalhantes. σ 2 σ Y + se σ 1 σ 2 > 0 σ 1 σ Y σ 2 σ Y se σ 1 σ 2 < 0 σ 1 - σ 2 < σ Y σ Y - σ Y + σ 1 CESEC/UFPR Método dos Elementos Finitos Aplicado a Problemas Planos 17 σ Y -

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