Elasticidade aplicada à Infraestrutura de Transportes

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1 SÇÃO D NSINO D NGNHARIA D FORTIFICAÇÃO CONSTRUÇÃO Pós-graduação em ngenharia de Transportes lasticidade aplicada à Infraestrutura de Transportes MAJ MONIZ D ARAGÃO PROLMAS PLANOS M COORDNADAS CARTSIANAS: stado Plano de Deformação (PD); stado Plano de Tensão (PT); Condições de Contorno. Referência bibliográfica: Introdução à Teoria da lasticidade, Villaça, S. F., Taborda Garcia, L. F., COPP/UFRJ, 4ª d.,.

2 Problemas Planos em Coordenadas Cartesianas Hipótese que os estados de tensão e de deformação independem de uma coordenada () O fenômeno elástico ocorre igualmente em todos os planos paralelos a. STADO PLANO D DFORMAÇÕS (PD): Carregamentos auto-equilibrados de direção paralela ao plano e independentes de

3 STADO PLANO D DFORMAÇÕS (PD) Correspondentes componentes de tensão:,, funções de (,) bordos lisos Cada lâmina entre seções adjacentes, que tenderia a se deformar na direção pelo efeito de Poisson, tem essa deformação impedida pelas lâminas viinhas. Verifica-se assim a eistência de tensões normais na direção longitudinal do sólido prismático;

4 STADO PLANO D DFORMAÇÕS (PD) QUAÇÕS D QUILÍRIO t τ PD

5 STADO PLANO D DFORMAÇÕS (PD) STADO PLANO D DFORMAÇÕS (PD) QUAÇÕS D COMPATIILIDAD D DFORMAÇÕS QUAÇÕS D COMPATIILIDAD D DFORMAÇÕS reduem-se à somente uma:

6 STADO PLANO D DFORMAÇÕS (PD) STADO PLANO D DFORMAÇÕS (PD) LI D HOOK GNRALIZADA LI D HOOK GNRALIZADA G Substituindo essas epressões na equação de compatibilidade de deformações do PD, tem-se: 1 Obs: campos de tensões lineares sempre satisfarão a compatibilidade de deformações

7 STADO PLANO D DFORMAÇÕS (PD) STADO PLANO D DFORMAÇÕS (PD) QUAÇÕS DO PD: QUAÇÕS DO PD: GARANTIA DO QUILÍRIO COMPATIILIDAD D DFORMAÇÕS 1 1 Assim, tem-se o problema de PD regido por três equações diferenciais em termos das três componentes de tensão.

8 Problemas Planos em Coordenadas Cartesianas STADO PLANO D TNSÕS (PT) STADO PLANO D TNSÕS (PT): Carregamentos auto-equilibrados de direção paralela ao plano e distribuídos uniformemente na direção Faces livres de forças eternas : chapa delgada de espessura uniforme

9 STADO PLANO D TNSÕS (PT) chapas e vigas eios vasos de parede fina reservatórios

10 STADO PLANO D TNSÕS (PT) Correspondentes componentes de deformação:,, funções de (,) 1 No PT não há impedimento à deformação do sólido na direção (faces livres), que ocorre pelo efeito de Poisson. Verifica-se assim a eistência de deformações na direção transversal (da espessura) do sólido;

11 STADO PLANO D TNSÕS (PT) QUAÇÕS D QUILÍRIO PT t τ (idênticas ao PD)

12 STADO PLANO D TNSÕS (PT) STADO PLANO D TNSÕS (PT) QUAÇÕS D COMPATIILIDAD D DFORMAÇÕS QUAÇÕS D COMPATIILIDAD D DFORMAÇÕS só se verificam quando for constante ou função constante ou função linear de e/ou podem ser p desconsideradas para chapas delgadas

13 STADO PLANO D TNSÕS (PT) STADO PLANO D TNSÕS (PT) LI D HOOK GNRALIZADA LI D HOOK GNRALIZADA G Substituindo essas epressões na equação de compatibilidade de deformações do PT, tem-se: 1 Obs: campos de tensões lineares sempre satisfarão a compatibilidade de deformações

14 STADO PLANO D TNSÕS (PT) QUAÇÕS DO PT: GARANTIA DO QUILÍRIO COMPATIILIDAD D DFORMAÇÕS 1 Assim, tem-se o problema de PT regido por três equações diferenciais em termos das três componentes de tensão (sendo as duas primeiras iguais ao PD).

15 TNSÕS M VIGAS M I VQ I b

16 TNSÕS M VIGAS (b) Tensões planas em e (c) Tensões Principais (d) Tensões de cisalhamento máimas Na figura acima, as linhas cheias representam as trajetórias das tensões principais p de tração, e as linhas pontilhadas para as tensões principais de compressão

17 TNSÕS M VIGAS Trajetórias das tensões principais de tração e compressão na viga engastada e livre. Tensões em e Tensões principais

18 CONDIÇÕS D CONTORNO No problema plano, as condições de contorno de forças (forças prescritas) são epressas sempre nas faces de normal paralela ao plano : cos m cos n m m ρ τ N N normal à superfície do sólido no ponto de análise ρ força prescrita no ponto de análise

19 CONDIÇÕS D CONTORNO ordos retos e perpendiculares aos eios: bordo =a: / 1 m n bordo =-b: / m 1 n