Para poder diferenciar a formulação da placa como fina ou espessa usaremos a seguinte representação:
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- Edison Figueiredo Mota
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1 4 Exemplos Neste capítulo apresentam-se exemplos de análises do comportamento estático, dinâmico e de instabilidade de placas. É considerado um comportamento elástico que está definido pelo módulo de elasticidade E = MPa e o coeficiente de Poisson ν = 0, 3. Para a obtenção dos deslocamentos, momentos analisou-se a placa circular submetida a diferentes condições de contorno nos bordos: E = Engastada S = Simplesmente apoiada L = Livre R = Rígido à rotação (permite deslocamento vertical) SAE = apoio elástico Para poder diferenciar a formulação da placa como fina ou espessa usaremos a seguinte representação: PE = Placa espessa PF = Placa fina Para todos os resultados apresentados utilizou-se o sistema internacional SI.
2 Capítulo 4 Exemplos Análise Estática Placa circular Considera-se uma placa circular de raio externo a = 9, 00 m, com uma espessura de h = 0, 20 m, um carregamento de q o = 50,00 kn / m e uma força pontual de Pz = 50, 00 kn. O fator de correção do cortante da placa espessa é k s 2 2 = π /12. Foi feita uma análise comparativa entre a solução analítica da placa e o método energético. Deve-se observar que no modelo numérico é considerada uma placa anular com raio interno muito pequeno. Tabela 4-1: Comparação de resultados da placa circular com espessura constante e carregamento uniforme Condições Fonte do Deslocamento Momento (r = 4,5m) de contorno resultado (r = 4,5m) Mr/ 10^4 Mθ/10^4 E Timoshenko_PF 0, , ,8828 Autor_PF 0, , ,8828 Autor_PE 0, , ,8828 % Diferença_PF 0,00 0,00 0,00 % Diferença _PE 0,31 0,00 0,00 S Timoshenko_PF 1, , ,5078 Autor_PF 1, , ,5062 Autor_PE 1, , ,5063 % Diferença_PF 0,00-0,01 0,00 % Diferença _PE 0,06-0,01 0,00 Tabela 4-2a: Comparação de momentos e deslocamentos da placa fina circular de espessura constante sujeita a uma carga pontual no centro da placa Condições Fonte do Deslocamento Momento (r = 4,5m) de contorno resultado (r = 4,5m) Mr/ 10^2 Mθ/10^2 E Timoshenko_PF 0, , ,9167 Autor_PF 0, , ,0042 Autor_PE 0, , ,9350 % Diferença_PF 0,02-1,07 0,37 % Diferença _PE 0,20-0,15 0,08
3 Capítulo 4 Exemplos 56 Tabela 4-3b: Comparação de momentos e deslocamentos da placa fina circular de espessura constante sujeita a uma carga pontual no centro da placa S Timoshenko_PF 0, , ,7054 Autor_PF 0, , ,7929 Autor_PE 0, , ,7234 % Diferença_PF 0,00 0,12 0,14 % Diferença _PE 0,05 0,01 0,03 Pode-se observar na Tab. 4-1, para uma placa circular com carregamento uniformemente distribuído, tanto com bordo livre quanto para uma engastada há uma diferença de deslocamentos e momentos desprezível entre os resultados analíticos e numéricos (tomou-se r = 4,5m). Note-se que para isto foi necessário utilizar quatro polinômios adicionais radiais. A diferença entre resultados para as aproximações PF e PE também é muito pequena, já que a placa tem razão R/h = 45. Também para o caso de força pontual no centro da placa pode-se observar na Tab. 4-2 uma boa aproximação. Tabela 4-4: Comparação de deformação de uma placa fina de espessura variável (h0 / h1=1.50, α = 1.26, β = 0.176, β1=0,173 e coeficiente de ν = 0,25) medidos no centro da placa. Condições de contorno Fonte do resultado Deslocamento (r = 0,01m) Momento (r = 4,5m) Mr/10^4 Mθ/10^4 (a) Sujeita a um carregamento distribuído S Timoshenko_PF 0, , ,0650 Autor_PF 0, , ,7306 Autor_PE 0, , ,7332 % Diferença_PF 0,44 0,20-0,48 % Diferença _PE 0,98 0,22-0,47 (b) Sujeita a uma carga pontual S Timoshenko_PF 0, , ,5000 Autor_PF 0, , ,1682 Autor_PE 0, , ,0122 % Diferença_PF -0,26-0,28-0,54 % Diferença _PE 2,10-1,54-0,79 Os resultados para uma placa circular de espessura variável com bordo simplesmente apoiado são apresentados na Tab Há também aqui uma
4 Capítulo 4 Exemplos 57 boa concordância dos resultados. Na placa fina foram necessários quatro polinômios adicionais, enquanto a placa espessa precisou de oito polinômios adicionais. No problema do carregamento não axissimétrico (variação linear), os resultados apresentados na Tab. 4-4 as deformações e momentos da placa fina também concordam com o valor teórico. Foram utilizados três modos radiais adicionais para PF e seis para PE, sendo apenas um circunferencial (correspondente ao carregamento linear). Tabela 4-5: Comparação de esforços e deformação da placa circular de espessura constante sujeita a um carregamento não axissimétrico (em r = 6m, θ = 0). Condições Fonte do Deslocamento Momento de contorno resultado Mr/ 10^3 Mθ/10^3 E Timoshenko_PF 0, , ,3750 Autor_PF 0, , ,3750 Autor_PE 0, , ,4066 % Diferença_PF 0,00 0,00 0,00 % Diferença _PE 0,72 0,10 0,07 S Timoshenko_PF 0, , ,1477 Autor_PF 0, , ,1473 Autor_PE 0, , ,2237 % Diferença_PF 0,00 0,00 0,00 % Diferença _PE 0,25 0,06 0, Placa circular anular de Para o problema de placa circular anular, considera-se um raio interno b = 3, 00 m. Nas seguintes tabelas apresentam-se resultados para diversos casos de carregamento. Mostra-se na Tab. 4-5 o problema de a placa circular anular com carregamento uniformemente distribuído, onde a diferença de deslocamentos e momentos novamente desprezível. Para este caso foi necessário utilizar cinco polinômios adicionais radiais para PF e dez para PE.
5 Capítulo 4 Exemplos 58 Tabela 4-6: Comparação de esforços e deformações da placa anular de espessura constante sujeita a um carregamento uniforme. Condições Fonte do Deformação de resultado (r = 6m) Momento (r = 6m) contorno Mr/10^4 Mθ/10^4 E - L Timoshenko_PF 0, , ,6362 Autor_PF 0, , ,6384 Autor_PE 0, , ,6364 % Diferença_PF 0,00 0,00 0,01 % Diferença _PE 0,34 0,00 0,00 R - S Timoshenko_PF 0, , ,7087 Autor_PF 0, , ,6997 Autor_PE 0, , ,7174 % Diferença_PF 0,00 0,01-0,02 % Diferença _PE 0,09 0,07 0,02 R - E Timoshenko_PF 0,0687 4,7456 8,6277 Autor_PF 0,0687 4,7466 8,6254 Autor_PE 0,0691 4,7539 8,6303 % Diferença_PF 0,00 0,02-0,03 % Diferença _PE 0,54 0,18 0,03 Na Tab. 4-6 são apresentados os resultados para uma placa anular de espessura variável. Neste caso os deslocamentos da placa espessa apresentam uma diferença mais considerável (chegando próximo de 3%). Note-se que isto ocorre devido à maior espessura da placa, em que a importância da energia de cisalhamento se torna maior. No caso das tensões máximas, deve ser notado que o valor de r para comparação é variável e há uma discordância um tanto maior em relação aos exemplos anteriores. Para este caso foi necessário utilizar seis polinômios adicionais radiais para PF e doze para PE.
6 Capítulo 4 Exemplos 59 Tabela 4-7: Comparação de deformação de uma placa anular de espessura variável (a/b=3, h0=0,2, h1=0,6) sujeita a um carregamento distribuído, ν = 0,3 Condições de contorno Fonte do resultado Deslocamento Tensão max/10^6 (r = variável) (r = 6m) (a) k = 13,64; k1 = 2,12 E - L Timoshenko_PF 0, ,4500 Autor_PF 0, ,4907 Autor_PE 0, ,1734 % Diferença _PF 1,74-7,14 % Diferença _PE 2,10-4,74 (b) k = 5,57; k1 = 1,673 R - S Timoshenko_PF 0, ,6625 Autor_PF 0, ,4462 Autor_PE 0, ,3890 % Diferença _PF 2,25 2,85 % Diferença _PE 2,46 4,35 (c) k = 1,27; k1 = 0,193 R - E Timoshenko_PF 0, ,2875 Autor_PF 0, ,6086 Autor_PE 0, ,1063 % Diferença _PF 1,14-4,75 % Diferença _PE 2,81-1,27 Nos seguintes quadros mostram-se graficamente os deslocamentos e momentos para cada caso analisado anteriormente.
7 Capítulo 4 Exemplos 60 Quadro 4-1. Placa circular com bordo engastado sujeita a um carregamento pontual Deslocamento Momento Mr Mθ 3 -D Plano Plano da superfície
8 Capítulo 4 Exemplos 61 Quadro 4-2. Placa circular com bordo simplesmente apoiado sujeita a um carregamento pontual Deslocamento Momento Mr Mθ 3 -D Plano Plano da superfície
9 Capítulo 4 Exemplos 62 Quadro 4-3. Placa circular de espessura variável com bordo engastado sujeita a um carregamento distribuído, Momento Mr Mθ Deslocamento 3 -D Plano Plano da superfície
10 Capítulo 4 Exemplos 63 Quadro 4-4. Placa circular de espessura variável com bordo simplesmente apoiado sujeita a um carregamento pontual Deslocamento Momento Mr Mθ 3 -D Plano Plano da superfície
11 Capítulo 4 Exemplos 64 Quadro 4-5. Placa circular de espessura constante engastado no bordo e sujeita a um carregamento não axissimétrico (linear) Deslocamento Momento Mr Mθ 3 -D Plano Plano da superfície
12 Capítulo 4 Exemplos 65 Quadro 4-6. Placa circular de espessura constante simplesmente apoiado no bordo e sujeita a um carregamento não axissimétrico (linear) Deslocamento Momento Mr Mθ 3 -D Plano Plano da superfície
13 Capítulo 4 Exemplos 66 Quadro 4-7. Placa circular anular de espessura constante com bordo interno engastado e externo livre sujeita a um carregamento constante Deslocamento Momento Mr Mθ 3 -D Plano Plano da superfície
14 Capítulo 4 Exemplos Análise de Vibrações Placa Circular Para encontrar as frequências e modos de vibração da placa com diferentes condições de contorno, considera-se uma densidade de massa ρ = N / m. Para obter as primeras três frequencias e modos de vibração próximos aos valores é necessário utilizar quatro funções trigonométricas circunferenciais com três polinômios adicionais radiais em PF na e seis polinomios adicionais radiais em PE. Observa-se na Tab. 4-7 uma boa concordância entre os resultados obtidos com o modelo deste trabalho e os resultados de (LEISSA, 1969). Tabela 4-8: Comparação das frequências da placa circular de espessura constante Condições Fonte do Modo de contorno resultado E Leissa_PF 10,22 21,26 34,88 51,04 Autor_PF 10,21 21,25 34,86 51,12 Autor_PE 10,20 21,20 34,77 50,59 % Diferença_PF -0,01-0,03-0,06 0,16 % Diferença -0,14-0,27-0,31-0,89 _PE S Leissa_PF 4,98 13,94 25,65 Autor_PF 4,93 13,89 25,60 Autor_PE 4,93 13,88 25,54 % Diferença_PF -0,85-0,33-0,19 % Diferença _PE -0,88-0,47-0, Placa Circular Anular Considera-se uma placa circular anular de raio interno b = 2, 70 m. Novamente, aqui foram utilizadas quatro funções circunferenciais e três adicionais radiais para PF e seis para PE.
15 Capítulo 4 Exemplos 68 Na Tab. 4-8 observam-se resultados muito próximos aos valores teoricos demonstrando a efetividade deste método para cálculo de frequências. Tabela 4-9: Comparação das frequências da placa circular anular de espessura constante Condições Fonte do Modo de contorno resultado E - L Leissa_PF 6,33 6,66 7,96 13,27 Autor_PF 6,55 6,66 7,96 13,28 Autor_PE 6,55 6,65 7,96 13,25 % Diferença_PF 3,51 0,00-0,03 0,04 % Diferença _PE 3,46-0,10-0,03-0,17 E - S Leissa_PF 29,90 31,40 36,20 45,40 Autor_PF 29,97 31,39 36,24 45,47 Autor_PE 29,83 31,32 36,15 45,01 % Diferença_PF 0,22-0,02 0,11 0,14 % Diferença _PE -0,23-0,25-0,15-0,86 S - S Leissa_PF 21,10 23,30 30,20 42,00 Autor_PF 21,07 23,31 30,26 41,87 Autor_PE 21,03 23,24 30,12 41,71 % Diferença_PF -0,14 0,03 0,18-0,30 % Diferença -0,31-0,27-0,26-0,70 _PE E- E Leissa_PF 45,20 46,60 51,00 60,00 Autor_PF 45,33 46,62 51,13 60,04 Autor_PE 44,98 46,59 50,97 59,02 % Diferença_PF 0,28 0,05 0,25 0,07 % Diferença _PE -0,48-0,02-0,06-1,64 Nos seguintes quadros apresentam-se os modos de vibração das frequências para os diferentes casos analisados, tanto para a placa circular como para a placa anular, finas e espessas.
16 Capítulo 4 Exemplos 69 Quadro 4-8. Placa circular de espessura constante com bordo engastado Modo D Plano
17 Capítulo 4 Exemplos 70 Quadro 4-9. Placa circular de espessura constante com bordo simplesmente apoiado Modo D Plano
18 Capítulo 4 Exemplos 71 Quadro Placa circular anular de espessura constante com bordo interno engastado e libre no bordo externo Modo D Plano
19 Capítulo 4 Exemplos 72 Quadro Placa circular anular de espessura constante com bordo interno e externo engastados Modo D Plano
20 Capítulo 4 Exemplos Análise de Instabilidade Carga Crítica Para análise comparativa da carga crítica sob compressão radial uniforme de placas circulares e anulares de espessura constante foram considerados modos axissimétricos, com quatro polinômios radiais adicionais para PF e oito para PE. Deve-se mencionar que alguns casos de placa anular os modos circunferenciais podem corresponder a cargas críticas inferiores às de modos radiais. Os resultados não apresentaram uma diferença significativa em relação aos valores teóricos, como pode-se observar nas Tabs. 4-9 e Na Tab. 4.9 foi considerada uma placa com h = 0,20 m e raio externo a = 9,00 m, e na Tab uma placa com h = 0,20 m, raio externo a = 9,00 m e raio interno b = 3,00 m. Tabela 4-10: Carga crítica de flambagem de placa circular de espessura constante Condições Fonte do Pcr / 10^5 de contorno resultado E Timoshenko_PF* 26,5622 Autor_PF 26,5585 Autor_PE 26,5043 % Diferença_PF -0,01 % Diferença _PE -0,22 S Timoshenko_PF* 7,6019 Autor_PF 7,5933 Autor_PE 7,5888 % Diferença_PF -0,11 % Diferença _PE -0,17 *Parâmetros k = 3,832 da placa engastada e k = 2,05 da placa simplesmente apoiada
21 Capítulo 4 Exemplos 74 Tabela 4-11: Carga crítica de flambagem da placa circular anular de espessura constante Condições de contorno Fonte do resultado Pcr/10^5 E - E (KOOHKAN, KIMIAEIFAR, et al., 2010)** 167,7509 Autor_PF 168,0834 Autor_PE 167,5924 % Diferença_PF 0,20 % Diferença _PE -0,09 ** Parâmetros k = 3,21 para E-E, k = 1,65 para S-S e k = 2,17 para E-S Tabela 4-12: Carga crítica de flambagem de aplaca circular anular de espessura constante Condições de contorno Fonte do resultado Pcr/10^5 E - S (KOOHKAN, KIMIAEIFAR, et al., 2010)** 76,6610 Autor_PF 76,0726 Autor_PE 75,9651 % Diferença_PF -0,77 % Diferença _PE -0,91 S - S (KOOHKAN, KIMIAEIFAR, et al., 2010)** 44,3223 Autor_PF 44,1498 Autor_PE 44,1404 % Diferença_PF -0,39 % Diferença _PE -0,41 **Parâmetros k = 3,21 para E-E, k = 1,65 para S-S e k = 2,17 para E-S 4.4 Análise comparativa da carga crítica e frequências As figuras abaixo permitem uma análise de cargas críticas e frequências de placas espessas circulares e circulares anulares para diferentes condições de contorno. Os resultados para placas circulares são apresentados em relação a resultados da literatura para placas finas (valor unitário correspondendo ao caso de placa fina), sendo que, no caso de cargas críticas, em relação às de (TIMOSHENKO e GERE, 1963) e, no caso das frequências, em relação às de (LEISSA, 1969) Fica evidenciado que quando a espessura cresce em relação ao raio, a relação entre frequências PE/PF decresce
22 Capítulo 4 Exemplos 75 significativamente, e este decréscimo se acentua nas frequências mais altas. Já a carga crítica tem um decréscimo quase imperceptível no gráfico, no caso da placa circular. Deve ser mencionado que as frequências usualmente correspondem a modos radiais-circunferenciais, enquanto a carga crítica corresponde a um modo puramente radial. Há situações em que há coincidência de frequências para modos radiais e circunferenciais. Em alguns casos com bordos simplesmente apoiados, observou-se pequena discrepância na primeira carga crítica entre o resultado da literatura e o obtido neste trabalho. Isto deverá ser investigado em futuras pesquisas. Figura 4-1: Variação dos valores de carga crítica e frequência com relação à espessura da placa circular com bordo engastado.
23 Capítulo 4 Exemplos 76 Figura 4-2: Variação dos valores de carga crítica e frequência com relação à espessura da placa circular com bordo simplesmente apoiado. Figura 4-3: Variação dos valores de carga crítica e frequência com relação à espessura da placa circular anular com o bordo interno engastado e o externo simplesmente apoiado.
24 Capítulo 4 Exemplos 77 Figura 4-4: Variação dos valores de carga crítica e frequência com relação à espessura da placa circular anular com o bordo interno e externo engastados. No caso de placas anulares a comparação de cargas críticas é feita com o trabalho de (KOOHKAN, KIMIAEIFAR, et al., 2010), enquanto as frequências são referidas ao trabalho de (LEISSA, 1969). Observa-se aqui uma queda acentuada na carga crítica relativa ao se aumentar a relação espessura/raio externo, diferentemente do ocorrido na placa circular. As frequências apresentam um comportamento decrescente com o aumento de h/a, como para o caso circular, mas em torno de h/a = 0,1 surgem reduções bruscas que desaparecem logo após. Este fenômeno parece ter origem numérica ou ser devido a uma alternância entre modos de vibração circunferenciais/radiais.
25 Capítulo 4 Exemplos Carga crítica de Flutter (drapejamento) Para o cálculo da carga crítica dinâmica, de flutter (drapejamento), sob carga radial uniforme seguidora (i.e., permanecendo tangente à superfície média durante a flambagem), que caracteriza um problema não conservativo, foram observados os pontos de coalescência das duas primeiras frequências. Esta coalescência é atingida, para placas finas, quando a estrutura é submetida a uma magnitude de carga igual aproximadamente a 4,14 vezes a da carga para carregamento de direção constante (carga estática) em placas circulares finas e de 6.32 vezes para placas anulares finas. Figura 4-5: Coalescência das duas primeiras frequências da placa circular fina.
26 Capítulo 4 Exemplos 79 Figura 4-6: Coalescência das duas primeiras frequências da placa circular espessa. Figura 4-7: Coalescência das duas primeiras frequências da placa fina circular anular.
27 Capítulo 4 Exemplos 80 Figura 4-8: Coalescência das duas primeiras frequências da placa espessa circular anular. Ao ser considerada a deformação de cisalhamento e a inércia rotatória, ou seja, utilizando a aproximação de placas espessas, observa-se uma queda no valor da carga de flambagem dinâmica em relação à carga estática de placa fina. Isto é ilustrado nos gráficos abaixo, e ocorre devido à carga dinâmica envolver também o segundo modo de vibração que é mais afetado pelas deformações de cisalhamento. Por exemplo, a redução desse fator (quando h/a atinge o valor 0,09) é de 4,14 para cerca de 3,5 no caso da placa circular e de 6,32 para cerca de 5,9 para a placa anular. Este comportamento é semelhante ao observado por (SUANNO e ROSAS E SILVA, 2009) para colunas, em que a razão Pcr(dinâmico)/Pcr(estático) é constante e igual a 8,125 para a teoria de vigas esbeltas. A pequena redução aqui observada, no caso de placas finas, parece ser devida aos cálculos terem levado em consideração a inércia rotatória também no caso de placas finas.
28 Capítulo 4 Exemplos 81 Figura 4-9: Variação da carga de flutter em relação à espessura da placa circular. Figura 4-10: Variação da carga de flutter em relação à espessura da placa circular anular.
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