2 Fundamentos Teóricos

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1 8 Fundamentos Teóricos Todos os elementos estruturais correspondem a domínios tridimensionais, mas podem ter sua formulação simplificada quando se introduem algumas hipóteses, tais como: a. fibras paralelas ao plano médio se alongam ou se encurtam; b. fibras normais ao plano médio da peça permanecem retas e normais a tal plano após a deformação; c. fibras normais ao plano médio não sobrem alongamento. stas hipóteses podem resultar em uma modelagem bidimensional, ou mesmo unidimensional. Quando forças são aplicadas em uma chapa fina em seu próprio plano, o estado de tensão e deformação na chapa pode ser considerado plano de tensão (plane stress). Neste caso, somente as dimensões do plano da chapa são necessárias para as análises. Por outro lado, um longo sólido prismático, ou ainda um sólido prismático contido nas etremidades, sujeito a uma condição constante de carregamento normal no eio pode ser analisado como uma sucessão de fatias bidimensionais de espessura unitária. ste problema é identificado como plano de deformações (plane strain). Os estados aissimétricos correspondem a situações que podem ser consideradas como bidimensionais, para efeitos de análise, pois as variáveis de interesse são funções apenas de duas coordenadas, radial e aial. Neste capítulo, são apresentadas as equações básicas da Teoria da lasticidade. O stado Plano de Tensão PT, o stado Plano de Deformação PD e o stado Aissimétrico são discutidos em detalhes. O MF e Raleigh- Rit aplicados a tais problemas também são discutidos... quações Básicas Quase todos os materiais usados na ngenharia apresentam, até um certo grau de solicitação, a propriedade da elasticidade. Se as forças eternas que

2 9 produem deformação não ecederem certo limite, a deformação desaparece quando as forças cessam de atuar (Timoshenko e Goodier, 97). Na Figura - representa-se um elemento infinitesimal em coordenadas cartesianas, onde os lados são de comprimento d, d e d. Tensões normais e cisalhantes são indicadas por setas nas faces do elemento. As tensões normais são σ, σ e σ ; e as tensões cisalhantes são, e assim por diante, equação -. Na ausência de momentos distribuídos, através do equilíbrio do elemento, as seguintes relações entre as tensões cisalhantes são estabelecidas: - Figura - Tensões em um elemento infinitesimal. Relacionadas com as tensões indicadas na Figura - têm-se as deformações lineares (, e ) e angulares (, e assim por diante), dadas pela equação -: u v w ; ; - u v v w w u + ; + ; + onde u, v e w correspondem às componentes do campo de deslocamento ao longo das direções cartesianas, e, respectivamente. Podem-se representar as seis tensões independentes e suas correspondentes deformações como vetores, equação -3:

3 σ σ σ σ -3.. Aplicações a stados Planos e Aissimétricos Pode ser considerado como estado bidimensional de tensão o indicado na Figura -, o elemento infinitesimal de tamanho d por d com tensões normais σ e σ agindo nas direções e, respectivamente. Têm-se, ainda, as tensões de cisalhamento, no qual age na borda e na direção, que é acompanhado por uma tensão de cisalhamento complementar, agindo na borda e na direção. Figura - Tensões bidimensionais. (Weaver e Johnston, 984) Para este estado plano de tensões pode-se organiar os três tipos independentes de tensão em forma matricial, como segue: σ σ σ t -4 As deformações, e, são deformações lineares nas direções e, respectivamente, e é a deformação cisalhante ou angular. stas deformações estão relacionadas com tensões normais e tensão de cisalhamento. São

4 apresentadas, ainda, as relações entre deformação-deslocamento epressando as deformações em função das componentes do campo de deslocamento, u e v. As deformações podem ser escritas em forma matricial, equação -5: onde Lu -5 e L -6 t u u v -7 Define-se o estado plano de tensão quando as tensões segundo um dos eios são despreíveis perante as restantes (que agem em um plano normal a este eio), isto é, podem ser consideradas nulas. Fisicamente, tal estado ocorre em uma chapa fina, com apoios e carregamentos no próprio plano de definição da chapa, conforme mostra esquematicamente a Figura -3. Os eios e de uma chapa devem estar dispostos de tal modo que coincidam com o plano médio da chapa. O eio deverá ser normal a tal plano. Assim, o movimento dos pontos do plano médio da chapa estará restrito a deslocamentos no próprio plano, sendo estes funções dependentes apenas de e. Conseqüentemente, as componentes de tensões também não terão seus valores alterados na espessura, ou seja, serão funções de e. Como a chapa não está carregada transversalmente, as tensões na superfície na direção são nulas e, sendo a chapa fina, poderão ser assumidos como nulas em toda ela. Poderá, no entanto, pelo efeito do coeficiente de Poisson, ocorrer deformação na direção. Com isso tem-se que: σ ; ; -8

5 Figura -3 stado plano de tensão. screvendo as deformações em termos de tensões, introduindo o módulo de elasticidade longitudinal,, e o coeficiente de Poisson,, obtem-se as equações -9, -,- e -: ( σ σ ) -9 ( σ σ ) + - G ( + ) Invertendo-se as relações anteriores, obtem-se as equações -3, -4 e -5: ( ) σ + ( ) σ + ( σ σ ) ( + ) v λ -5.

6 3 Pode-se escrever a relação deformação-tensão em forma matricial como mostra a equação -6: Cσ -6 onde ( ) + C -7 Para a relação inversa tem-se σ -8 ou σ σ -9 tal que λ C - a matri é a matri constitutiva e representa a relação tensão-deformação para o estado plano de tensão. O estado plano de deformação é definido quando as deformações segundo um dos eios podem ser consideradas nulas. Fisicamente, tal estado ocorre em estruturas alongadas em uma direção, com carregamentos atuantes nas demais direções, que não variam na direção longitudinal, como mostrado na Figura -4. Figura -4 stado Plano de Deformação.

7 4 O eio deve coincidir com a direção de maior comprimento, faendo com que o movimento dos pontos do plano normal a esteja restrito a deslocamentos no próprio plano, sendo estes funções de e. Conseqüentemente, as componentes de tensões também não terão seus valores alterados ao longo de, ou seja, serão funções apenas dependentes de e. Nota-se que a tensão normal na direção não é nula, pelo efeito de Poisson, equação -: ; ; σ - As deformações são escritas em termos de tensões na forma Da q. -5 decorre que ( σ σ σ ) - ( σ + σ σ ) + -3 ( ) + -4 ( σ σ + σ ) -5 ( σ σ ) σ + -6 Como σ é linearmente dependente de σ e σ, substitui-se σ em e em, obtendo-se + [( ) σ σ ] [ σ + ( ) σ ] Como foi feito anteriormente, pode-se obter as tensões σ,σ e em termos das deformações correspondentes como segue: ( )( ) ( ) + [ ] σ + σ [ + ( ) ] ( + )( ) + ( )

8 5 chegando-se ao operador tensão-deformação e + C -3 C -33 ( + )(. ) Problemas aissimétricos são similares ao estado plano de deformação epresso em coordenadas cilíndricas. Neste caso, eiste um eio (eio ) de simetria aial do corpo, conforme mostra esquematicamente a Figura -5. Figura -5 Problemas Aissimétricos. Um sólido aissimétrico é definido como um corpo tridimensional que é desenvolvido pela rotação da seção plana sobre o eio central (Weaver e Johnston, 984). Coordenadas cilíndricas r,, e θ fornecem um quadro apropriado de referência, como indicado na Figura -6. Supõe-se que o corpo é aissimétrico com respeito ao eio. ste elemento pode ter várias formas de seções transversais, mas, se as cargas são aissimétricas, pode-se analisar o anel usando somente uma representação de seção bidimensional.

9 6 Figura -6 lemento Aissimétrico. (Weaver e Johnston, 984). Para alguns pontos na seção transversal de um anel aissimetricamente carregado os deslocamentos genéricos são t u u v -34 Translações u e v ocorrem nas direções r e, respectivamente, como indicado na Figura -6. Para este caso a translação w na direção θ e as deformações cisalhantes são nulas. Ainda são indicados os quatro tipos de deformações diferentes não nulas, que podem ser organiadas na forma por [ ] t -35 r θ As relações entre estas deformações e os deslocamentos genéricos são dadas que levam ao operador diferencial r u r -36 r v -37 π ( r + u) πr θ πr u r -38 u v r r

10 7 r L -4 r r As quatro tensões relacionadas com as deformações do problema [ σ σ σ ] T σ -4 r A relação tensão-deslocamento pode ser epressa em forma matricial. Com θ como direção principal, o operador da equação -8 é dado por: onde, θ r e e -4 ( + ) e e e3 e -43 e -44 e e Método dos lementos Finitos m ngenharia de struturas, o Método dos lementos Finitos tem sido empregado como uma ferramenta numérica visando-se a determinação do estado de tensão e deformação de um sólido de qualquer geometria. Quando eiste a necessidade de projetar uma estrutura, é habitual proceder-se a uma sucessão de análises e modificações das suas características, com o objetivo de alcançar uma solução satisfatória, quer em termos econômicos, quer na verificação de prérequisitos funcionais e regulamentares. Com o grande desenvolvimento que o MF teve na década de 6 e com a banaliação do recurso ao computador, passou a ser prática corrente a análise de estruturas de geometria arbitrária, constituídas por múltiplos materiais e sujeitas a qualquer tipo de carregamento.

11 8 O MF consiste não apenas em transformar o sólido contínuo em uma associação de elementos discretos e escrever as equações de compatibilidade e equilíbrio entre eles, mas também em admitir funções contínuas que representem, por eemplo, o campo de deslocamentos no domínio de um elemento. ste enfoque caracteria o método puro de deslocamentos, assumido neste trabalho; há diversas outras formas que buscam interpolar outras variáveis, gerando métodos baseados em tensões e mistos. A partir daí, pode-se obter as deformações correspondentes que, com uso das relações constitutivas do material, permitem definir as tensões em todo o elemento. ste estado de tensões é transformado em esforços internos que têm de estar em equilíbrio com as ações eternas. sta formulação corresponde ao método de Raleigh-Rit que se baseia na minimiação da energia potencial do sistema, escrita em função de um campo predefinido de deslocamentos (métodos dos deslocamentos). O método dos elementos finitos teve sua formulação estabelecida da forma como hoje é conhecida com a publicação do trabalho de Turner, Clough, Martin e Topp, em 956 (Assan, 3). O método de Raleigh-Rit se iniciou em 87 com estudos de problemas de vibração por Lord Raleigh. le usou um campo de aproimação que contivesse um único grau de liberdade. m 89, Rit generaliou o método construindo um campo de aproimação com diversas funções, cada uma satisfaendo as condições de contorno, e cada uma associada a um grau de liberdade. Rit aplicou o método a problemas de equilíbrio e a problemas de autovalores. O método dos elementos finitos comumente utiliado é baseado no método de Raleigh-Rit e prevê a divisão do domínio de integração, contínuo, em um número finito de pequenas regiões denominadas elementos finitos, transformando o problema contínuo em um problema discreto. Os deslocamentos em qualquer ponto do elemento contínuo são escritos em termos de um número finito de deslocamentos nos pontos nodais, através de funções aproimadoras apropriadas. Se o campo de deslocamentos é descrito por funções aproimadoras e o princípio da mínima energia potencial é empregado, as incógnitas são as componentes dos deslocamentos nodais e tem-se a versão em deslocamentos do MF (método da rigide direta).

12 9 Se o campo de tensões ou esforços internos é representado por funções aproimadoras as incógnitas são tensões ou esforços internos nodais e obtém-se o MF em forma de forças (método da fleibilidade), sendo aí utiliado o princípio da mínima energia complementar. É possível generaliar a formulação do MF a partir da forma geral do funcional que representa a energia potencial total. Se u representa o vetor que contém as funções aproimadoras das componentes dos deslocamentos para cada elemento, caso o problema estudado é formado por elementos que têm deslocamentos apenas no seu plano, como mostra a Figura -7a, então: { } T u plano, então: { u v w} T u v ; se houver deslocamentos transversais ao seu u conforme a Figura -7b e Figura -7c. Figura -7 lementos Finitos: a) de chapa; b) de placa; c) de casca. A generaliação de um elemento bidimensional com n nós é simples. Duas relações, uma para a geometria do elemento e outra para os deslocamentos do elemento, são requeridos. m muitos problemas práticos de estruturas, em particular na ngenharia Civil, os elementos de estado plano se ligam a elementos sofrendo fleão, que requerem graus de liberdade de rotação. Para que haja total compatibilidade dos deslocamentos nodais, interessa estudar elementos planos (chapas) em que haja graus de liberdade de rotação.