TESTE FINAL. x =2. Análise Avançada de Estruturas Sem consulta (excepto formulário fornecido) Duração: 3h00m

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1 ESE FINAL Análise Avançada de Estruturas Sem consulta (ecepto formulário fornecido) DEARAMENO DE ENGENHARIA CIVIL Duração: h00m SECÇÃO DE ESRUURAS - (.5 val.) Considere o elemento finito unidimensional representado na figura. O módulo de Young do material que o constitui é 0 Ga e a área da secção transversal é variável, adoptando os valores A a A 4 nos nós. Supondo uma variação polinomial da área da secção transversal, indique (justificando) quantos pontos de Gauss-Legendre é necessário utilizar para se obter os valores eactos dos termos da matriz de rigidez do elemento finito. Nota: suponha uma formulação com substituição de variável. A= A A A= A= A A= A4 4 = 6m = = m m =6m 4 - (.5 val.) Relativamente aos elementos finitos quadriláteros planos podem ser consideradas duas famílias de elementos designadas Lagrangeana e serendipity. Descreva as características de cada uma destas famílias e indique no triângulo de ascal quais são os termos que devem ser seleccionados em cada caso.

2 - (.5 val.) Com base na seguinte equação genérica relativa ao eorema dos rabalhos Virtuais δ ε σ dv = u p dl V δ L mostre que no problema aissimétrico representado na figura se tem K = π B D B ds S F = π N p p S Notas: V volume; ε campo de deformações; σ campo de tensões; L linha ou arco; u - campo de deslocamentos; p carga distribuída por unidade de comprimento circunferencial (uniforme); K matriz de rigidez; S superfície; B matriz de deformação; D matriz de elasticidade; coordenada radial; F vector solicitação; - coordenada do ponto ; N funções de forma avaliadas no ponto. 4 - (.5 val.) Considere a laje de betão armado representada na figura. A laje tem uma abertura, está encastrada no bordo AB e simplesmente apoiada no bordo CD. No ponto encontra-se ligada com continuidade a um pilar. As acções sobre a laje são o peso próprio e uma carga uniformemente distribuída. Considerando que apenas se vão utilizar elementos finitos de laje e que a análise vai ser feita pelo método dos deslocamentos: a) proponha uma malha de elementos finitos quadriláteros que permita a obtenção de resultados suficientemente rigorosos (faça o desenho na folha anea); b) descreva o modo como as ligações ao eterior devem ser tratadas ao preparar os dados relativos à análise por elementos finitos.

3 A B C D 5 - (.5 val.) Considere o elemento finito unidimensional de nós representado na figura. 00 kn =0 =4m =0m No ponto ( = 6 m) encontra-se aplicada uma carga concentrada de 00 kn. Considerando uma substituição de variável, calcule as forças nodais equivalentes à carga concentrada.

4 6 - (.5 val.) Considere o elemento finito representado na figura..0 m.0 m 4.0 m.0 m Este elemento destina-se a ser utilizado na discretização de um estado plano de tensão e apresenta espessura constante h = 0.5 m. O respectivo material tem módulo de Young E = 5 Ga e coeficiente de oisson nulo. Considerando uma transformação de coordenadas e a quadratura de Gauss, calcule o termo K 5 da respectiva matriz de rigidez. 7 - (.0 val.) Considere o elemento finito de nós representado na figura e que se destina a ser utilizado na discretização de uma viga contínua. 0.6 m 0. m =0 =4m 0. m.0 m A secção transversal é rectangular, sendo a altura variável entre 0.6 m no nó e.0 m no nó. O peso específico do material que constitui a barra é 5 kn/m. Considerando a formulação de Euler-Bernoulli sem substituição de variável, calcule as forças nodais equivalentes ao peso próprio.

5 NOME: A B C D