Resistência dos Materiais, MA, IST,

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1 11ª Aula Flexão Flexão elástica recta Define-se barra ou peça linear como todo o corpo cujo material se confina à vizinhança de uma linha do espaço a que se chama eixo. Segundo o Vocabulário de Teoria das Estruturas trata-se dum corpo que se pode considerar gerado por uma figura plana, de forma e dimensões não necessariamente constantes, cujo centro de gravidade se desloca ao longo de uma linha de grande raio de curvatura à qual a figura se mantém perpendicular e cujo deslocamento é largamente superior às dimensões da figura. O eixo da peça linear é pois a trajectória do centro de gravidade da sua figura geradora, denominando-se fibra a trajectória percorrida por qualquer ponto da figura. Por outro lado a secção resultante da intersecção da peça linear por um plano normal ao seu eixo denomina-se secção transversal da peça linear. A peça linear é pois uma estrutura redutível a um modelo unidimensional (o eixo). Os esforços, e, determinados no centróide da secção são estaticamente equivalentes à distribuição de tensões na mesma secção, ou seja: BP BP 1

2 Admitindo com válido o princípio da sobreposição dos efeitos pode calcular-se separadamente o efeito de cada um dos esforços anteriores. Neste momento já concluímos o estudo das peças lineares sujeitas a esforços normais (tracção ou compressão), iniciando-se agora o estudo das mesmas peças sujeitas a esforços de flexão. São muitos os exemplos de peças lineares sujeitas a esforços de flexão. O mais comum a viga é uma peça linear sujeita predominantemente a momento flector e esforço transverso. Referem-se como exemplos as vigas que fazem parte da estrutura de piso dos edifícios, as vigas que constituem (com as lajes) o tabuleiro das pontes, etc. Vamos estudar inicialmente a designada flexão pura ou circular (flexão sem esforço transverso). Embora seja relativamente pouco frequente encontrar casos deste tipo, os resultados obtidos podem ser parcialmente utilizados no estudo da flexão simples (flexão com esforço transverso). Considere-se então o caso da flexão pura, exemplificado com um segmento finito de uma barra sujeita a momentos (iguais) nas suas extremidades (eixo 2, eixo transversal relativamente ao qual a secção é simétrica, eixo 1, eixo que define fibras que sofrem um alongamento/encurtamento comum, e eixo 3, eixo da barra): A primeira observação é de que a viga flecte, transformando-se qualquer uma das suas fibras (originalmente rectas) num arco de circunferência. Haverá fibras, do lado côncavo, cujo comprimento diminui, assim como outras fibras, do lado convexo, cujo comprimento aumenta. Entre estas existirão fibras (fibras neutras), cujo comprimento permanece inalterado. Pode ainda introduzir-se o conceito de superfície neutra como sendo constituído por todas as fibras cujo comprimento permanece inalterado. Por conveniência considerou-se que o eixo x 1 define a superfície neutra (ou seja, as fibras x 2 =0 não sofrem alongamento ou encurtamento). BP 2

3 Analise-se agora a deformada de um segmento infinitesimal (comprimento dx 3 ). Admita-se hipótese de Bernoulli (J. Bernoulli, 1705) que as secções planas se mantêm planas, de tal forma que as secções AA e BB originalmente paralelas, se transformam nas secções CC e DD (já não paralelas, fazendo entre si um ângulo d ). Se considerarmos uma fibra genérica PP (à distância x 2 da origem do referencial) esta irá apresentar um comprimento final BP Ou seja, irá sofrer uma deformação 33 Em que representa a curvatura da barra, ou seja o inverso do raio de curvatura R Introduzindo agora as relações de elasticidade, as tensões normais 33 na secção são dadas por: sendo E o módulo de elasticidade (ou de Young) do material. Poder-se-ia ainda conclui que 3

4 sendo nulas todas as restantes componentes de deformação. Quanto ao campo de tensões, este terá todos os termos nulos, com a excepção de 33. Recuperando as relações entre os esforços e as componentes do campo de tensões, tem-se: Esforço normal (N) Em que S x1 é o momento estático da secção relativamente ao eixo x 1, pelo que se conclui que o eixo neutro (x 1 ) contém o centróide da secção, ou seja as fibras situadas à cota do centróide não sofrem alongamento ou encurtamento. Dito de outra forma o eixo neutro da secção (eixo x 1 ) contém o centróide da mesma. Momento flector (M 1 ) Em que I 1 é o momento de inércia da secção relativamente ao eixo x 1. Da equação anterior conclui-se que a curvatura (1/R) é dada por: A equação anterior é conhecida por lei de Euler-Bernoulli e ao denominador (EI 1 ) por rigidez de flexão. A curvatura (1/R) diz-nos quanto rodam (relativamente entre si) duas secções afastadas de um comprimento unitário ao longo do eixo da barra. Em particular se a barra tiver um comprimento L, a rotação relativa entre as suas extremidades é dada por: Pode ainda concluir-se que as tensões normais variam linearmente em relação ao eixo neutro, sendo determinadas por: designada por equação de Navier. 4

5 Em particular os valores extremos (mínimo e máximo) da tensão normal irão ocorrer nos pontos mais afastados da linha neutra, ou seja: Sendo W designado por módulo de flexão (da secção) e tem as dimensões [L 3 ]. Para concluir a determinação de todas as componentes dos campos de tensões e deformação falta apenas observar que: 5

6 12ª Aula 6

7 Módulo de flexão Genericamente o módulo de flexão (W) é uma característica geométrica da secção que determina o valor máximo da tensão normal para um dado valor do momento flector. Recupere-se para o efeito a equação anterior. Em que v designa a distância da fibra mais afastada do centróide (fibra na qual a tensão é máxima) relativamente ao mesmo centróide. Chama-se à atenção de que para secções não simétricas em relação à linha neutra (eixo x 1, contendo o centróide) há a considerar dois módulos de flexão distintos. Sendo v + e v - as distâncias a que situam a fibra mais afastada para baixo do centróide ou para cima do centróide, respectivamente. Considere-se agora o problema da determinação do módulo de flexão nas secções mais comuns: secção circular, rectangular e em I. Os resultados irão ser expressos em termos da altura total h da secção, permitindo assim a sua comparação. Secção circular (h=2r) Secção rectangular (bxh) Secção I I perfeito a secção I perfeita (inexistente, mas para a qual tendem as secções em I) é aquela em que não existe alma, existindo apenas dois banzos (cada um com A/2) situados a h/2 do centróide. Neste caso, ideal, tem-se (Teorema de Lagrange Steiner, etc): I real nas secções I reais tem-se: 7

8 Dos resultados anteriores conclui-se que a secção I é claramente a mais eficiente para a flexão, uma vez que tendo o maior módulo de flexão, tem também os menores valores de tensões máximas (para o mesmo momento e área da secção transversal). Aos resultados anteriores acresce o facto, óbvio, de que uma secção em I tem uma maior altura para a mesma área, acentuando dessa forma a eficiência relativa da secção I. Problema BEER 4.3 R: M=243,2 knm 8

9 Resistência dos Materiais, MA, IST, Equação da elástica 13ª Aula Designa-se por elástica (ou linha elástica) a linha que representa a evolução ao longo do eixo da barra (coordenada x 3 ) dos deslocamentos transversais da linha média da mesma barra. Essa linha corresponde à função u 2 (x 3 ) quando se trata da flexão em torno do eixo x 1, ou, simplificadamente, u(x). Da geometria sabe-se que a curvatura de uma função y=f(x) é dada por: BP em que ( ) Na análise da flexão de barras é comum admitir-se a hipótese dos pequenos deslocamentos (os deslocamentos apresentados pela barra são de reduzida dimensão quando comparados com o seu comprimento) e rotações (as rotações das secções são muito menores que a unidade), de que resulta podendo a equação da curvatura ser rescrita da seguinte forma: Recuperando a lei de Euler-Bernoulli e introduzindo uma mudança de sinal a momentos positivos corresponde uma curvatura negativa, com a concavidade virada para cima tem-se: ou, abstraindo-nos dos índices: 9

10 equação designada por equação da elástica. Trata-se de uma equação diferencial linear de 2ª ordem, cuja solução u(x) nos dá a deformada da linha média da barra. Tendo em conta as relações diferenciais existentes entre o momento flector, o esforço transverso V(x) e a carga distribuída transversal p(x), a equação anterior pode ter as seguintes formas alternativas (formas alternativas da equação da elástica): Resumindo, a equação da elástica pode ser obtida por integração de qualquer uma das equações que a relacionam com os esforços internos (momento flector, esforço transverso ou carregamento distribuído transversal). Nesse processo de integração surgem constantes (de integração) pelo que será necessário impor: condições de fronteira cinemáticas (relativas aos tipo de movimentos impedidos nos apoios), ou; condições de fronteira estáticas (relativamente ao anulamento de alguns esforços em algumas secções). BEER Exemplo 9.01 Determine a equação da elástica (e deslocamento máximo) para uma consola com uma carga na extremidade. Condições de fronteira Solução 10

11 BEER Exemplo 9.02 Idem para uma carga transversal uniformemente distribuída. Condições de fronteira Solução Outro exemplo: Deformada de viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída. Condições de fronteira Solução 11

12 Equação da elástica (cont.) 14ª Aula A integração da equação da elástica (no formato convencional, momento-curvatura, ou num dos seus formatos alternativos, fazendo intervir a carga transversal distribuída ou o esforço transverso) tem que ser realizada separadamente, por sub-domínios, sempre que haja mudança das condições de carregamento ou cargas concentradas. Recorde-se que nestes casos a função M(x) apresenta uma forma diferente em cada subdomínio, pelo que a sua dupla integração também será diferente. Nestes casos, para além das condições de fronteira (cinemáticas e/ou estáticas) haverá que formular as condições de continuidade (que obrigam à continuidade nos pontos comuns das várias expressões da elástica). BEER Determine a equação da elástica para o caso representado. { Interessa agora analisar a aplicação da metodologia da equação da elástica a barras exteriormente hiperestáticas. À partida a metodologia será igualmente aplicável, pois a cada ligação em excesso (que se vai reflectir na indeterminação da equação de momentos flectores, M(x), por exemplo) corresponderá uma nova condição de fronteira. Uma vez que os diagramas de esforços e, indirectamente, as reacções podem ser directamente obtidos (por diferenciação) da equação da elástica, consegue-se assim resolver este tipo de estruturas. Em alternativa, pode considerar-se o método das forças, também ilustrado no problema seguinte. 12

13 BEER 9.17 Determine a equação da elástica para o caso representado, assim como a reacção vertical em B. Equação da elástica Reacção em B (V B é esforço transverso e R B a reacção) Em alternativa poder-se-ia ter considerando o raciocínio do método das forças, ou seja: Dos estudos anteriores (consola sujeita a carga distribuída e consola sujeita a carga concentrada), tem-se: pelo que se conclui que a reacção é dada por: 13