FLEXIBILIDADE E SUPORTAÇÃO AULA DEFLEXÕES

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1 FLEXIBILIDADE E SUPORTAÇÃO AULA DEFLEXÕES PROF.: KAIO DUTRA

2 Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica Deflexões de estruturas podem ocorrer de várias fontes, como cargas, temperatura, erros de fabricação, ou recalques. No projeto, deflexões têm de ser limitadas a fim de proporcionar integridade e estabilidade às coberturas, e evitar fissuras em materiais frágeis anexados como concreto, reboco ou vidro.

3 Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica A deflexão de uma estrutura é causada por seu carregamento interno como a força normal, força cortante, ou momento fletor. Muitas vezes é interessante fazer um esboço da forma defletida da estrutura quando ela está carregada a fim de conferir parcialmente os resultados. Esse diagrama de deflexão representa a curva elástica ou lugar geométrico dos pontos que define a posição deslocada do centroide da seção transversal ao longo dos membros.

4 Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica Normalmente é necessário, para facilitar a análise, que o diagrama de momento para a viga ou estrutura seja traçado primeiro. Para isto, relembramos que: Um momento positivo tende a flexionar uma viga ou membro horizontal côncavo para cima: Um momento negativo tende a flexionar a viga ou membro côncavo para baixo:

5 Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica Na figura ao lado podemos observar algumas curvas de deflexão para duas situações.

6 Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica É importante observar que a interação dos apoios com a curva elástica, conforme apresentado na tabela abaixo.

7 Teoria da Viga Elástica Quando o momento interno M deforma o elemento da viga, cada seção transversal permanece plana e o ângulo entre elas torna-se dθ.

8 Teoria da Viga Elástica Desta forma a deformação pode ser: Porem:

9 Teoria da Viga Elástica Relacionando a deformação pontual com a deformação máxima temos:

10 Teoria da Viga Elástica Para o regime elástico temos que a Lei de Hooke. Usando a Lei de Hooke na relação de deformação, temos:

11 Teoria da Viga Elástica Por definição, a força relaciona-se com a tensão da forma apresentada abaixo:

12 Teoria da Viga Elástica Por definição, a força relaciona-se com a tensão da forma apresentada abaixo: Por definição, o momento relaciona-se com a força da forma apresentada abaixo:

13 Teoria da Viga Elástica Por definição, a força relaciona-se com a tensão da forma apresentada abaixo: Por definição, o momento relaciona-se com a força da forma apresentada abaixo:

14 Teoria da Viga Elástica Aplicando a relação de tensões da definição de momento, temos:

15 Teoria da Viga Elástica Voltando para a relação de deformações, aplicando a Lei de Hooke e a tensão de flexão, temos: Na maioria dos livros de calculo é mostrado que a relação de curvatura pode ser dado por:

16 Teoria da Viga Elástica Desta forma para verificação da curva elástica é necessário resolver a equação diferencial de segunda ordem não linear ao lado: Porém esta equação pode ser simplificada tendo em vista que a inclinação da curva elástica é muito pequena, desta forma: dυ/dx 0

17 Método da Integração Dupla Convenção de sinais. Ao aplicar a equação anterior, é importante usar o sinal apropriado para M como estabelecido pela convenção de sinais que foi usada na derivação dessa equação. Também, tendo em vista que o ângulo de inclinação será muito pequeno, o seu valor em radianos pode ser determinado diretamente:

18 Método da Integração Dupla Além disso, lembre-se que a deflexão positiva, υ, é para cima, e como resultado, o ângulo de inclinação positivo θ será medido no sentido anti-horário do eixo x.

19 Método da Integração Dupla Conforme apresentado na teoria da viga elástica e usando outros resultados previamente estudados nos diagramas de momento fletor e força cortante, temos:

20 Método da Integração Dupla Condições de continuidade e contorno. As constantes de integração são determinadas avaliando as funções para inclinação ou deslocamento em um ponto em particular na viga onde o valor da função é conhecido. Por exemplo, se a viga é suportada por um rolo ou pino, então é necessário que o deslocamento seja zero nesses pontos. Também, em um apoio fixo a inclinação e o deslocamento são, ambos, zero.

21 Método da Integração Dupla Exemplo 8.3

22 Método da Integração Dupla Exemplo 8.3

23 Método da Integração Dupla Exemplo 8.3

24 Método da Integração Dupla Exemplo 8.3

25 Teorema de Momentos das Áreas Teorema 1: a mudança na inclinação entre quaisquer dois pontos na curva elástica é igual à área do diagrama M/EI entre estes dois pontos.

26 Teorema de Momentos das Áreas Teorema 2: o desvio vertical da tangente em um ponto (A) na curva elástica, com relação à tangente que se estende a partir de outro ponto (B), é igual ao momento da área sob o diagrama M/EI entre os dois pontos (A e B).

27 Teorema de Momentos das Áreas Exemplo 8.6

28 Teorema de Momentos das Áreas Exemplo 8.6

29 Teorema de Momentos das Áreas Exemplo 8.8

30 Teorema de Momentos das Áreas Exemplo 8.9

31 Teorema de Momentos das Áreas Exemplo 8.9

32 Método da Viga Conjugada A base para o método vem da similaridade de algumas equações: Ou integrando:

33 Método da Viga Conjugada A viga conjugada é carregada com o diagrama M/EI derivado da carga w sobre a viga real. Das comparações anteriores, podemos declarar dois teoremas relacionados à viga conjugada, a saber, Teorema 1: A inclinação em um ponto na viga real é numericamente igual ao cortante no ponto correspondente na viga conjugada. Teorema 2: O deslocamento de um ponto na viga real é numericamente igual ao momento no ponto correspondente na viga conjugada.

34 Método da Viga Conjugada Apoios da viga conjugada: Conforme mostrado na tabela ao lado, um apoio de pino ou rolo na extremidade da viga real proporciona deslocamento zero, mas a viga tem uma inclinação que não é zero.

35 Método da Viga Conjugada Apoios da viga conjugada: Abaixo estão apresentadas algumas transformações de vigas reais em vigas conjugadas.

36 Método da Viga Conjugada Exemplo 8.13

37 Método da Viga Conjugada Exemplo 8.13

38 Método da Viga Conjugada Exemplo 8.13

39 Método da Viga Conjugada Exemplo 8.13

40 Método da Viga Conjugada Exemplo 8.14

41 Método da Viga Conjugada Exemplo 8.14

42 Método da Viga Conjugada Exemplo 8.14

43 Método da Viga Conjugada Exemplo 8.14