Deflexão em vigas e eixos

Transcrição

1 Capítulo 12: Deflexão em vigas e eixos Adaptado pela prof. Dra. Danielle Bond Deflexão em Vigas e Eixos Muitas vezes é preciso limitar o grau de deflexão que uma viga ou eixo pode sofrer quando submetido a uma carga. Portanto neste capítulo discutiremos vários métodos para determinar a deflexão e a inclinação em pontos específicos de vigas e eixos. A Linha Elástica Antes de determinar a inclinação ou deslocamento em um ponto de uma viga (ou eixo), convém traçar um rascunho da forma defletida da viga quando carregada para visualizar os resultados calculados.

2 A Linha Elástica Antes de determinar a inclinação ou deslocamento em um ponto de uma viga (ou eixo), convém traçar um rascunho da forma defletida da viga quando carregada para visualizar os resultados calculados. O diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centróide de cada área da seção transversal da viga é denominado linha elástica. A Linha Elástica Antes de determinar a inclinação ou deslocamento em um ponto de uma viga (ou eixo), convém traçar um rascunho da forma defletida da viga quando carregada para visualizar os resultados calculados. O diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centróide de cada área da seção transversal da viga é denominado linha elástica. Para traçar a LE é preciso saber como a inclinação ou o deslocamento da viga são restringidos pelos vários tipos de apoio. A Linha Elástica Os apoios que resistem a uma força, como os pinos, restringem o deslocamento; Os apoios que resistem a um momento, como parede fixa, restringem a inclinação bem como o deslocamento. Se a linha elástica de uma viga parecer difícil de se determinar, sugere-se traçar o diagrama de momento fletor da viga;

3 A Linha Elástica Para curva elástica,o momento positivo interno tende a curvar a viga com a concavidade para cima, e vice versa. Deve haver um ponto de inflexão em C, onde a curva passa de côncava para cima a côncava para baixo, visto que o momento neste ponto é nulo. A Linha Elástica Portanto, se o diagrama de momento for conhecido, será fácil representar a linha elástica. Rolete (D) e pino (B): o deslocamento é nulo. M (-) entre AC: A L.E. é côncava p/ baixo. M (+) entre CD: A L.E. é côncava p/ cima. M = 0 em C: pto de inflexão. A Linha Elástica Os deslocamentos de A e E são especialmente críticos. No pto E a inclinação é nula: a deflexão da viga pode ser máxima. Porém, o que determina se o desloc. em E é realmente maior que o de A são os valores relativos de P1 e P2 e a localização do rolete em B.

4 A Linha Elástica No ponto A está engastada: L.E. tem deslocamento e inclinação nulos nesse pto. M=zero, pto inflexão No ponto D a inclinação é nula: L.E. tem maior deslocamento ou em C. A Curva Elástica Relação Momento-Curvatura Relação entre o momento fletor interno na viga e o raio de curvatura da curva da linha elástica em um ponto; A equação resultante será usada como base para determinar a inclinação e o deslocamento da LE. A Curva Elástica Relação Momento-Curvatura Utilizando 3 coordenadas para o estudo: x, v, y. + Mede o deslocamento do centróide na área da S.T. do elemento: v Localizar o elemento diferencial, cuja largura não deformada é dx: X + Para especificar a posição de uma fibra da viga: + y

5 Para deduzir a Relação Momento Interno e Raio de Curvatura dx: porção da L.E. que intercepta o eixo neutro p/ cada S.T. Y: posição de uma fibra no elemento da viga y + L.N. ds: deformação no arco d : ângulo entre as seções transversais : raio de curvatura: É a distância de O até dx. Para mostrar como esta distorção deformará o material, isolaremos um segmento da viga em x.(deformação por flexão de um elemento reto/cap.6) Qualquer segmento de reta x localizado na superfície neutra não muda de comprimento; já s localizado em y acima da linha neutra se contrairá e se tornará s` após a deformação;. Representando essa deformação em termos de localização y do segmento e do raio de curvatura do eixo longitudinal do elemento. Visto que define o ângulo entre os lados da seção transversal:

6 Ocorrerá uma contração (- ) nas fibras localizadas acima do eixo neutro (+y); e um alongamento (+ ) nas abaixo (-y). Esta variação da deformação na S.T. é mostrada na figura: A Curva Elástica Relação Momento-Curvatura Se o material for homogêneo e comportar-se de uma maneira linear elástica, a lei de Hooke é aplicável; além disso a fórmula da flexão também se aplica:

7 A Curva Elástica ρ = raio de curvatura em um ponto específico sobre a curva da linha elástica M = momento fletor interno na viga no ponto onde ρ deve ser determinado E = módulo de elasticidade do material I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro EI = rigidez à flexão Inclinação e deslocamento por integração Na maioria dos problemas a rigidez à flexão será constante ao longo do comprimento da viga. A deflexão da L.E. é: d v d v d v EI w x dx dx dx EI V x EI M x A escolha da eq. depende do problema. É mais fácil determinar o momento interno M em função de x, integrar 2x e avaliar somente 2 ctes de integração. Convenção de sinais Ângulo da inclinação da L.E. é:

8 Inclinação e deslocamento por integração Condições de contorno e continuidade As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou deslocamento. Esses valores são chamados de condições de contorno. deslocamento inclinação Exemplo 12.1 A viga em balanço mostrada na Fig. está sujeita a uma carga vertical P em sua extremidade. Determine a eq. da linha elástica. EI é constante. Exemplo 12.1

9 Exemplo 12.2 A viga simplesmente apoiada mostrada na figura (a) suporta a carga triangular distribuída. Determine sua deflexão máxima. EI é constante. Exemplo 12.2 Exemplo 12.3 A viga simplesmente apoiada mostrada na figura (a) é submetida á força concentrada P. Determine a deflexão máxima. EI é constante.

10 Exemplo 12.3