Nota de aula 15 - Flambagem

Transcrição

1 Nota de aula 15 - Flambagem Flávia Bastos (retirado da apostila do rof. Elson Toledo) MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF 1o. semestre de 2011 Flávia Bastos RESMAT II 1/22

2 Informações sobre este documento: Estes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do rof. Elson Toledo. Flávia Bastos RESMAT II 2/22

3 Carga Crítica Flambagem 1. Carga Crítica Alguns elementos podem estar submetidos a uma carga de compressão e, caso sejam compridos e esbeltos, tal carga pode ser suficientemente grande para provocar sua deflexão lateral. Colunas Flambagem Carga Crítica cr carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está no limite da flambagem. Flávia Bastos RESMAT II 3/22

4 Coluna ideal Flambagem 2. Coluna ideal perfeitamente reta antes do carregamento; material homogêneo; carga aplicada através do centróide da seção transversal; comportamento linear-elástico; flexão plana. Flávia Bastos RESMAT II 4/22

5 Coluna ideal Flambagem Em teoria a carga axial pode ser aumentada até que a falha ocorra por fratura ou escoamento do material. Entretanto, quando a carga crítica cr é atingida, a coluna está no limite de tornar-se instável, de modo que uma pequena força lateral F, quando removida, vai fazê-la permanecer na posição fletida. Qualquer pequena redução de para menos de cr permite que a coluna fique reta e qualquer aumento de, além de cr, provoca aumento adicional da delexão lateral. A habilidade de restauração baseia-se em sua resistência à flexão. Flávia Bastos RESMAT II 5/22

6 Coluna ideal Flambagem Equação que relaciona o momento interno e sua forma fletida: EI d2 v dx 2 = M (1) M = v (2) EI d2 v = v dx2 (3) d 2 ( ) v dx 2 + v = 0 EI (4) equação diferencial homogênea de 2a ordem com coeficientes constantes. Flávia Bastos RESMAT II 6/22

7 Coluna ideal Flambagem Solução geral: v = C 1 sen ( ) ( ) EI x + C 2 cos EI x (5) Condições de contorno: v = 0 em x = 0 C 2 = 0 v = 0 em x = L sen ( ) EI L = 0 solução não trivial Flávia Bastos RESMAT II 7/22

8 Coluna ideal Flambagem L = nπ (6) EI = n2 π 2 EI L 2 n=1,2,3... (7) O menor valor de é obtido quando n = 1: cr = π2 EI L 2 carga crítica de Euler (8) v = C 1 sen πx L (9) Flávia Bastos RESMAT II 8/22

9 Coluna ideal Flambagem Com momento de inércia expresso por I = Ar 2, onde r é o raio de giração: cr = π2 E(Ar 2 ) L 2 (10) ( ) = π2 E ( A L ) 2 cr r (11) sendo λ = L r σ cr = π2 E λ 2 (12) denominado de índice de esbeltez. Flávia Bastos RESMAT II 9/22

10 Colunas com vários tipos de apoio 3. Colunas com vários tipos de apoio - Fixa na base e livre no topo; M = (δ v) (13) EI d2 v = (δ v) dx2 (14) d 2 ( ) v dx 2 + v = EI EI δ (15) equação diferencial não homogênea: solução complementar + solução particular. Flávia Bastos RESMAT II 10/22

11 Colunas com vários tipos de apoio solução: v = C 1 sen ( ) ( ) EI x + C 2 cos EI x + δ (16) condições de contorno: v = 0 em x = 0 C 2 = δ dv dx = 0 em x = 0 C 1 = 0 Flávia Bastos RESMAT II 11/22

12 Colunas com vários tipos de apoio ortanto: v = δ [ 1 cos ( )] EI x (17) v = δ em x = L cos ( ) EI L = 0 (18) quando n = 1: EI L = nπ 2 (19) cr = π2 EI 4L 2 (20) Flávia Bastos RESMAT II 12/22

13 Colunas com vários tipos de apoio A coluna com apoio fixo na base suporta apenas um quarto da carga crítica que pode ser aplicada a uma coluna apoiada por pino nas extremidades. comprimento efetivo de flambagem L fl = kl: cr = π2 EI (kl) 2 (21) σ cr = π2 E ( kl ) 2 (22) r Flávia Bastos RESMAT II 13/22

14 Colunas com vários tipos de apoio Condição dos apoios l fl Carga crítica rótula/rótula l π 2 EI l 2 engaste/ rótula 0, 7l π 2 EI (0,7l) 2 engaste/ engaste l/2 π 2 EI l 2 engaste/ livre 2l π 2 EI (2l) 2 Flávia Bastos RESMAT II 14/22

15 Fórmula da Secante 4. Fórmula da Secante Colunas nunca são perfeitamente retas; A aplicação da carga não é conhecida com grande precisão. Carga aplicada a uma distância excêntrica (e) pequena. carga axial ; momento fletor M = e; extremidades A e B apoiadas por pinos. Flávia Bastos RESMAT II 15/22

16 Fórmula da Secante Momento interno na coluna: Equação diferencial da curva de deflexão: M = (e + v) (23) EI d2 v = (e + v) (24) dx2 d 2 v dx 2 + EI v = EI e (25) Flávia Bastos RESMAT II 16/22

17 Fórmula da Secante solução particular + solução complementar: ( ) ( ) v = C 1 sen EI x + C 2 cos EI x Condições de contorno: v = 0 em x = 0 C 2 = e e (26) v = 0 em x = L C 1 = [ e 1 cos ( sen ( )] EI L ) EI L Flávia Bastos RESMAT II 17/22

18 Fórmula da Secante Identidades trigonométricas: ( ) ( 1 cos EI L = 2sen 2 EI e sen ( ) ( EI L = 2sen EI ) L 2 ) ( L cos 2 EI ) L 2 Flávia Bastos RESMAT II 18/22

19 Fórmula da Secante C 1 = e [ tg ( EI )] L 2 (27) v = e [ tg ( EI Deflexão máxima: ) ( ) ( ) ] L sen 2 EI x + cos EI x 1 (28) v = v max em x = L 2 v max = e [ sec ( EI ) ] L 1 2 (29) Flávia Bastos RESMAT II 19/22

20 Fórmula da Secante A tensão máxina na coluna é provocada tanto pela cara axial como pelo momento fletor. O momento fletor máximo ocorre no ponto médio da coluna: M = (e + v max ) (30) σ max = A + Mc I M = e sec ( EI ) L 2 ( = A e c sec I EI ) L 2 (31) (32) Flávia Bastos RESMAT II 20/22

21 Hipérbole de Euler sendo λ = L r σ cr = π2 E λ 2 (33) denominado de índice de esbeltez. λ lim σ cr = σ e onde σ e é a tensão de escoamento do material. Então: λ 2 lim = π2 E (34) σ e π λ lim = 2 E (35) σ e Flávia Bastos RESMAT II 21/22

22 Hipérbole de Euler Flávia Bastos RESMAT II 22/22