Leandro Lima Rasmussen

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1 Resolução da lista 5 de exercícios de Resistência dos Materiais Exercício 1) Leandro Lima Rasmussen Para começar, calcula-se o CG, os momentos de inércia Iz e Iy e o raio de giração da seção. Instalando os eixos coordenados Z e Y no canto superior direito da seção, chegamos nos seguintes resultados: Área = 8 C8 = 48 cm Coordenada Z do CG = 6 cm 87 C84 Coordenada Y do CG = =5 cm 48 Cálculo dos Momentos de Inércia principais: Iz = 83 Iy = 83 C 83 C8 C8 = 7 cm 4 C 83 C85 C80 = 896 cm 4 Como sabemos I = Ar -com r sendo o raio de giração-, então o menor valor para o raio de giração será 7 dado por Iz e será igual a =.3804 cm 48 Com todos os valores obtidos acima, pode-se dar início ao cálculo da força de compressão que levará à flambagem da coluna. Do diagrama dado, é possível retirar o valor do módulo de elasticidade do material -o qual não foi fornecido- através da fórmula de Euler e dos valores de qualquer ponto do diagrama que esteja contido na hipérbole de Euler. Equações a serem utilizadas: σ fl = π E λ ; P fl = π EI ; 5= π E 80 solutions for E kn cm Para finalizar, basta utilizar a segunda equação para se calcular a força necessária para se flambar a coluna: P fl = π = kn Exercício ) Para determinarmos o maior comprimento possível para a coluna, devemos encontrar, primeiro, o maior valor possível para casos e, entre ambos, escolher o de menor valor numérico. Os casos a serem analisados serão a flambagem da coluna em relação ao eixo Z assim como a flambagem da mesma com relação ao eixo Y -sendo que neste sentido a coluna se apresenta fixa ao meio por barras-. Antes de mais nada, comecemos o exercício calculando as propriedades da seção: L fl

2 Área = 7 cm Iz = 63 Iy = 63 = 864 cm 4 = 16 cm 4 Raio de giração em relação ao eixo Z = Raio de giração em relação ao eixo Y = = cm = cm Do diagrama dado, podemos obter o valor do módulo de elasticidade do material utilizado na coluna por meio de qualquer ponto que esteja contido na hipérbola de Euler e por meio da fórmula de Euler: Equação a ser utilizada: σ fl = π E λ ; = π E 80 Solução para E kn cm Continuando, vamos, agora, calcular um dos casos, o do máximo comprimento que a coluna pode ter antes de flambar em torno do eixo Z. Equação a ser utilizada: P fl = π EI ; 7 = π Lmax L fl Solução factível para Lmáx cm Também calculemos o máximo comprimento que a coluna pode ter antes de flambar em torno do eixo Y -não se esquecendo de que, por estar fixa ao meio por barras, seu comprimento de flambagem será metade do valor esperado para uma coluna bi-articulada-. 7 = π Solução factível para Lmáx cm Lmax Por ambos os resultados acimas cairem dentro da hipérbole de Euler -conferimos isso calculando o índice de esbeltez e verificando-o com o diagrama fornecido-, então ambos os valores são aceitáveis e o máximo comprimento da coluna deve ser de cm Exercício 3) Aqui, o que deve ser feito é calcular a força máxima admissível para a estrutura, sem que a mesma rompa qualquer um dos cabos que oferece suporte a ela ou flambe a coluna que ajuda a suportar o esforço aplicado. De início, vamos calcular as propriedades da seção, depois, o módulo de elasticidade da coluna pelo diagrama fornecido e finalizando com o cálculo da distribuição das reações nos apoios em função da força aplicada P. Propriedades da seção das barras:

3 Área = 4 cm Iz = Iy = 3 = cm 4 Módulo de elasticidade da coluna: Equação a ser utilizada: σ fl = π E λ ; = π E 100 Solução para E kn cm Distribuição das reações na estrutura: Pela simetria das barras, podemos dizer que ambas as forças nelas serão iguais (F BC = F AC ), o que nos facilitará no cálculo da distribuição dos esforços. Fazendo valer a compatibilidade dos deslocamentos no ponto de aplicação da força P, obtemos: F DC 160 F BC = 1. C C1.6 Calculando > de forças verticais = 0, chega-se em: F BC 1.6 CF 1. C1.6 DCKP =0 Das relações obtidas acima, podem ser deduzidas os valores das reações dos apoios em função da força P aplicada: F DC = P F BC = P Vamos calcular a máxima força P antes de as barras se romperem: Pmáx = = kn E vamos comparar este valor com o do máximo P possível antes da coluna flambar: F DC máx = π = 6.5 kn logo Pmáx = 6.5 =.650 kn

4 Pelo fato de o segundo valor ter sido menor do que o primeiro, ele é o que deve ser empregado como o máximo valor admissível para P. Exercício 4) Antes de se preocupar com o objetivo do exercício, calculemos as propriedades da seção: Localização do CG -lógica devido às simetrias-: Área = 3 = 7 cm Zcg e Ycg se encontrarão no centro da seção. Cálculo dos momentos de Inércia principais: Iz = 3 Iy = 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C7 = 936 cm 4 C5 = 1504 cm 4 Izy = K7 5 = 680 cm 4 Utilizando o círculo de Mohr para auxiliar as contas, obtemos: 936 C1504 Ponto médio do círculo = = 0 Raio do círculo = 936 K0 C1680 = I 1 = 0 C = cm 4 I = = cm 4 Ângulo de giro dos eixos Z e Y para atingirem os eixos principais = 1680 arctan K0 = Graus no sentido antikhorário π Voltando para o exercício, calculemos o valor do módulo de elasticidade para o material da coluna através do diagrama dado: Equação a ser utilizada: σ fl = π E λ ; 3= π E Calculando E kn cm E para terminar, usando a fórmula de Euler, com o comprimento de flambagem valendo L -devido aos apoios da coluna-, calculamos o máximo comprimento factível para a estrutura: Equação a ser utilizada: P fl = π EI ; L fl 108 = π L Solução para L cm

5 Exercício 5) Uma única equação matemática será suficiente para resolver o valor procurado de Mo. Este, consistirá de uma sobreposição de casos, os quais estão contidos na lista de instabilidade de segunda ordem. Ambas as situações serão: O que deve ser feito é a calcular um Mo para que a soma das flechas máximas seja igual à metade do valor da flecha já presente na viga. Então, temos que calcular o seguinte: KMo cos Resolvendo para Mo Mo = kncm E dessa forma chega-se no momento buscado. C 1 K π = 0.5 Exercício 6) Letra a) Para o momento fletor se anular no meio do vão da viga, devemos fazer com o que o máximo momento fletor de casos, que seguem abaixo, tenham o mesmo valor em módulo:

6 Então, vamos calcular P a partir da seguinte igualdade: P 4 tan cos = P = kn aplicado de baixo para cima. Letra b) Novamente, o problema será semelhante ao anterior, só que, desta vez, usaremos as equações das flechas máximas para ambos os casos já tratados na letra a). Calculemos P a partir da igualdade de ambas as flechas máximas:

7 P 450 tan cos P = 1.88 kn aplicado de baixo para cima. =