FESP Faculdade de Engenharia São Paulo Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr.

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1 CE2 Estabilidade das Construções II FESP Faculdade de Engenharia São Paulo Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. Nome: Matrícula: Assinale a(s) avaliação(ões) que perdeu: A1 A2 Avaliação: A3 Data: 1/nov/ 214 Duração: 85 minutos a b c ORIENTAÇÕES PARA PROVA Os símbolos a, b e c são os três últimos algarismos da matrícula no formato xxabc e devem ser utilizados nas dimensões (das cargas, elementos, comprimentos, etc.) para resolução das questões da prova. Para a adotar a 1; para b adotar b 1; para c adotar c 1; a b c 1 a QUESTÃO (valor: 3, pontos) Analise a estrutura abaixo. i) Determine a rotação nos apoios A e B e faça um esboço a viga deformada. (2, pontos) ii) Se desejássemos anular a rotação no apoio A, qual deveria ser o valor e o sentido do momento que deveria ser aplicado em B? (1, ponto) Dados: Perfil W 41x6, Módulo de elasticidade NBR 88 (ABNT, 28) item a: Ix 2177 cm⁴ E 2 MPa 1

2 Solução Primeiramente deve ser analisado separadamente o deslocamento gerado por cada carregamento na viga. Rigidez flexional: i) Rotação em A: EI (2 kn/m 2 ) ( m 4 ) knm² Substituindo os valores temos: Rotação em B: Substituindo os valores temos: θ A ql3 24EI ML 6EI (2 b) (8 + a θ A 2 )3 (4 c) (8 + a 2 ) θ B + ql3 24EI + ML 3EI (2 b) (5 + a θ B + 2 )3 (4 c) (5 + a 2 ) (1) (2) ii) Basta igualar a equação (1) a zero para obtermos o valor do momento que satisfaz essa equação: ql3 24EI ML 6EI M ql2 4 O sinal negativo indica que o momento deve gerar rotação contrária à convenção da regra da mão direita, desta forma o sentido do momento a ser aplicado para anular a rotação em A é horário. 2

3 2 a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Desenhe a Linha de Influência de Momentos na Seção S da viga abaixo. Não é necessário demonstrar os cálculos intermediários, apenas preencha a Tabela e desenhe a LIM S. Divida cada vão em quatro partes para preencher a Tabela. Usar três casas decimais. Inércia constante. VÃO AB VÃO BC Posição da Carga Móvel P 1, kn a b Lvão E D MA MB MC MS [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] (Coluna a e b da Tabela se referem às distâncias entre a posição da Carga Móvel e os apoios do vão carregado, conforme fórmulas dos Termos de Carga). FORMULÁRIO Coeficientes de Propagação: α AB L AB 2 (L AB + L BC ) α BC L BC α CB L CB 2 (L CB + L BA ) α BA L BA Momentos nos apoios do vão AB carregado: (Para obter os momentos do vão BC carregado, as fórmulas abaixo devem ser adaptadas conforme exposto em aula) M A α BA 1 (α BA α AB ) (α AB ) M B Termos de Carga α AB 1 (α AB α ) (α BA BA ) L 2 (L + b) 3 L 2 (L + a)

4 SOLUÇÃO Inicialmente deve-se calcular os Coeficientes de Propagação da viga. O apoio C não possui engastamento, assim a propagação do momento M B para M C, quando o vão AB está carregado, deve ser igual a zero, portanto: α BC O apoio A possui engastamento, assim a propagação do momento M B para M A, quando o vão BC está carregado, deve ser igual a meio, portanto: α BA,5 Os demais coeficientes devem ser calculados a partir da fórmula de Coeficiente de Propagação presente no formulário. Como exemplo adotaremos a matrícula a 7 b 5 c 8 Para a matrícula temos a seguinte dimensão da viga: Os coeficientes de propagação são: α AB L AB 4 b 4 5 2, m L BC 4 c , m L AB 2 (L AB + L BC ) α BC L BC 2 2 (2 + 32) 32,192 Portanto temos: α CB L CB 2 (L CB + L BA ) α BA L BA 32 2 (32 + 2),5 2,34 4

5 Foi imposto que cada vão fosse dividido em quatro partes para determinação dos valores da Linha de Influência na seção S (LIM s ). Para o vão AB teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 5, m ( L AB 4 Posições da Carga Móvel no Vão AB:, 5, 1, 15 e 2. 5, m) Para o vão BC teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 8, m ( L BC 4 Posições da Carga Móvel no Vão BC: 2, 28, 36, 44 e 52. Portanto, a primeira coluna pode ser preenchida: 8, m) VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1, kn [m] Os valores a e b representam a distância entre a carga e os apoios do vão L carregado, conforme fórmula dos Termos de Carga. Assim os valores a, b e L podem ser preenchidos diretamente: VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1, kn a b Lvão [m] [m] [m] [m]

6 Termos de Carga e Momentos em B para vão AB carregado: Quando a carga está na posição (sobre o apoio A) e na posição 2 (sobre o apoio B), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 5: M A M B L 2 (L + b) (2 + 15) 6,563 knm α BA 1 (α BA α AB ) (α AB α AB 1 (α AB α ) (α BA BA L 2 (L + a) (2 + 5) 4,688 knm ) ),5 (,192 4,688 6,563) 3,132 knm 1 (,5,192),192 (,5 6,563 4,688),299 knm 1 (,192,5) Posição 1: M A M B α BA 1 (α BA α AB ) (α AB α AB 1 (α AB α ) (α BA BA L 2 (L + b) 2 2 (2 + 1) 7,5 knm L 2 (L + a) 2 2 (2 + 1) 7,5 knm ) ),5 (,192 7,5 7,5) 3,352 knm 1 (,5,192),192 (,5 7,5 7,5),796 knm 1 (,192,5) Posição 15: M A M B α BA 1 (α BA α AB ) (α AB α AB 1 (α AB α ) (α BA BA L 2 (L + b) (2 + 5) 4,688 knm L 2 (L + a) (2 + 15) 6,563 knm ) ),5 (,192 6,563 4,688) 1,896 knm 1 (,5,192),192 (,5 4,688 6,563),896 knm 1 (,192,5) 6

7 Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão AB está carregado: VÃO 1 Posição da Carga Móvel Q 1, kn a b Lvão E D MA MB MC [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] ,563 4,688-3,132 -, ,5 7,5-3,352 -, ,688 6,563-1,896 -, Termos de carga para vão BC carregado: Quando a carga está na posição 2 (sobre o apoio B) e na posição 52 (sobre o apoio C), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 28: L 2 (L + b) ( ) 1,5 knm M B α CB 1 (α CB α BC ) (α BC L 2 (L + a) (32 + 8) 7,5 knm ),34 ( 7,5 1,5) 3,57 knm 1 (,34 ) Posição 36: L 2 (L + b) 32 2 ( ) 12, knm M B α CB 1 (α CB α BC ) (α BC L 2 (L + a) 32 2 ( ) 12, knm ),34 ( 12, 12,) 4,8 knm 1 (,34 ) Posição 44: L 2 (L + b) (32 + 8) 7,5 knm M B α CB 1 (α CB α BC ) (α BC L 2 (L + a) ( ) 1,5 knm ),34 ( 1,5 7,5) 2,55 knm 1 (,34 ) 7

8 Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão BC está carregado: VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1, kn a b Lvão E D MA MB MC [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] ,563 4,688-3,132 -, ,5 7,5-3,352 -, ,688 6,563-1,896 -, ,5 7,5-1,785-3, , 12, -2,4-4, ,5 1,5-1,275-2, Para determinação dos Momentos na seção S, deve-se considerar dois casos: Caso 1: Quando Vão AB está carregado Nessa condição, o vão BC está descarregado, portanto o diagrama de Momentos no vão descarregado é uma reta. Desta forma o valor do Momento no vão BC será sempre: M(x) M B + ( M C M B ) x L BC Sendo x a seção de interesse, temos x 8, m (um quarto do vão) para a Seção S. Ou pela relação entre os triângulos M B BC e M s SC, temos: M S 3 4 M B Desta forma, podemos preencher os valores na do M s Tabela quando o vão AB está carregado. 8

9 Caso 2: Quando Vão BC está carregado A partir da teoria de Estabilidade I, temos o equilíbrio da viga BC: Para equilíbrio à rotação no Ponto C, temos: +(V B,dir L BC ) M B P b Portanto: Então o Momento em S é: V B,dir +M B + P b L BC M B + b 32 M S V B,dir 8, M B ( M B + b 32 ) 8, M B Para posição 28 (b 24 e M B 3,234 )* M S ( M B + b 32 ) 8, M 3, B ( ) 8, 3,57 3,323 knm 32 *Obs.: Os valores de M B e P devem ser inseridos na fórmula em valores absolutos, pois os sinais já foram considerados no cálculo do equilíbrio à rotação no ponto C devido ao sentido apresentado no esquema estrutural da viga BC. (Equilíbrio em C: +(V B,dir L BC ) M B P b ) Para posição 36 (b 16 e M B 4,8 ) M S ( M B + b 32 ) 8, M 4, B ( ) 8, 4,8,94 knm 32 Para posição 44 (b 8 e M B 2,55 ) M S ( M B + b 32 ) 8, M B ( 2, ) 8, 2,55,87 knm 32 9

10 Preenchendo a Tabela com os valores obtidos, temos: VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1, kn a b Lvão E D MA MB MC MS [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] ,563 4,688-3,132 -,299 -, ,5 7,5-3,352 -,796 -, ,688 6,563-1,896 -,896 -, ,5 7,5 1,785-3,57 3, , 12, 2,4-4,8, ,5 1,5 1,275-2,55, Com os valores obtidos na Tabela, pode-se desenhar a Linha de Influência de Momentos em S: 1

11 3 a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Determine o diagrama de momentos da estrutura hiperestática de inércia constante: TABELA DE MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO (FEM TABLE) E TABELA KURT-BAYER 11

12 SOLUÇÃO A questão pode ser resolvida pelo Método das Forças ou pelo Método dos deslocamentos. Para exemplificar a solução usaremos a matrícula 1774 a 1 b 7 c 4 PELO MÉTODO DAS FORÇAS: A estrutura possui grau de hiperestaticidade igual a 1,. Portanto para criação do sistema básico basta tornar um dos apoios móveis em apoio fixo, desta forma teremos quatro alternativas de sistema básico: opção (a) opção (b) opção (c) opção (d) Qualquer opção apresenta a mesma metodologia para solução. Usando a opção (a) temos o seguinte diagrama de momentos fletores: 12

13 Momento do vão A-B com x no apoio A: Momento do vão C-B com x no apoio C: M (x) 47,8 x 7 x2 2 M (x) 32 x 4 x2 2 Com aplicação da força unitária em A, temos: Momento do vão A-B com x no apoio A: M 1 (x) m 1 (x),8 x Momento do vão C-B com x no apoio C: M 1 (x) m 1 (x) 1, x 13

14 Deslocamentos δ 1, 1 δ 1, m 1 M dx L EI (,8 x) (47,8 x 7 x2 2 ) ( 1 x2 ) dx + ( 1, x) (32 x 4 EI 2 ) ( 1 EI ) dx δ 1, 5746, , EI EI EI 8 δ 1,1 m 1 M 1 dx L EI 1 δ 1,1 (,8 x) (,8 x) ( 1 8 ) dx + ( 1, x) ( 1, x) EI δ 1,1 213, , EI EI EI ( 1 EI ) dx Coeficiente de proporcionalidade elástico δ 1, + X 1 δ 1, X EI EI X 1 23,85 R A,horiz 23,85 kn Com a determinação da reação horizontal, as demais reações são obtidas a partir do equilíbrio estático da estrutura (teoria de Estabilidade das Construções I). 14

15 PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Travar rotação e determinar momentos gerados pelas cargas solicitantes (M) e momentos com rotação unitária em B (M1) através da tabela de Momentos de Engastamento Perfeito. Diagrama M Diagrama M1 Coeficientes da matriz de rigidez μ 1, 32 ( 87,5) 55,5 knm μ 1,1,375EI (+,3EI),675EI μ 1, + X 1 μ 1,1 55,5 + X 1 (,675EI) X 1 82,22 EI Momentos M M + X 1 M 1 Barra A-B M B 87,5 + 82,22,3EI 62,83 knm EI Barra B-C M B 32, + 82,22 (,375EI) 62,83 knm EI 15

16 Com a determinação do momento em B, as reações são obtidas a partir do equilíbrio estático das barras (teoria de Estabilidade das Construções I). 16