RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II CARREGAMENTO AXIAL PARTE I

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1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II CARREGAMENTO AXIAL PARTE I Prof. Dr. Daniel Caetano

2 Objetivos Conhecer o princípio de Saint-Venant Conhecer o princípio da superposição Calcular deformações em elementos submetidos a esforço normal Calcular reações em problemas estaticamente indeterminados simples

3 Material de Estudo Material Apresentação Acesso ao Material (Resistência dos Materiais II Aula 3) Material Didático Resistência dos Materiais (Hibbeler), págs Biblioteca Virtual Resistência dos Materiais

4 RELEMBRANDO: FORMA X DEFORMAÇÃO

5 Características das Figuras Planas Perímetro, Área... Momento Estático equilíbrio Momento de Inércia estabilidade ao giro Mas o que tem a ver isso com resistência? Vamos voltar um pouco...

6 Calcular o alongamento da barra 10m kN Como fazer? A = 0,1m 2 E = 50GPa σ = F/A σ = E ε σ = /10 1 σ = Pa

7 Calcular o alongamento da barra 10m kN Como fazer? σ = E ε σ = Pa A = 0,1m 2 E = 50GPa ε = σ/e ε = / ε =

8 Calcular o alongamento da barra 10m kN Como fazer? A = 0,1m 2 E = 50GPa ε = 0,002 m/m δ = ε. L δ = 0, δ = 0,02 m

9 Alongamento com Tensão Média σ = E ε σ = F/A Pressupostos? A deformação é livre kN 5mm A = 0,1m 2 E = 50GPa δ = 0,02 m #comofaz?

10 Alongamento com Tensão Média σ = E ε σ = F/A Pressupostos? A deformação é livre A área é constante 10m kN A = 0,1m 2 E = 50GPa

11 Alongamento com Tensão Média σ = E ε σ = F/A A deformação é livre A área é constante Tensão é uniforme e... gera deformação uniforme! σ = F/A Pressupostos? Vamos começar com esse último! F

12 O PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT

13 Simplificação x Realidade

14 Princípio de Saint-Venant Distorção na deformação: próxima à carga Distorção próxima à carga Distorção próxima ao apoio (reação!)

15 Princípio de Saint-Venant Distorção na deformação: próxima à carga Distorção próxima à carga Longe das cargas e apoio... Permanecem paralelas Distorção próxima ao apoio (reação!)

16 Princípio de Saint-Venant A tensão é igual em a-a, b-b e c-c? A tensão se uniformiza... a-a b-b a b c a b c c-c

17 Princípio de Saint-Venant Uniformização independe da distribuição da carga! Depende da resultante! c-c c-c σ méd = P A σ méd = P A

18 Princípio de Saint-Venant Quão longe da aplicação se uniformiza? L por quê?

19 Princípio de Saint-Venant O espraiamento é em 45 o Mas não há pressuposição de posição!

20 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE CORPO EM CARGA AXIAL

21 Deformação por Carga Axial Vimos que podemos usar as relações σ = E ε σ = P/A P P δ = L ε Podemos reescrever L Como δ = L ε ε = δ/l

22 Deformação por Carga Axial Vimos que podemos usar as relações σ = E ε σ = P/A P P ε = δ/l Agora, juntemos as equações L P A = E ε

23 Deformação por Carga Axial Vimos que podemos usar as relações σ = E ε σ = P/A P P ε = δ/l Agora, juntemos as equações L P A = E ε P A = E δ L

24 Deformação por Carga Axial Reorganizando a equação: isolar o δ P P L P A = E δ L P. L A. E = δ δ = P. L E. A

25 Exercício: Alongamento da Barra 1m 100kN A = 0,2m 2 E = 30GPa δ = P. L E. A

26 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE BARRA NÃO UNIFORME EM CARGA AXIAL

27 Deformação por Carga Axial Deformação com área constante δ = P. L E. A Será que podemos superar essa limitação?

28 Deformação por Carga Axial Consideremos a viga genérica sob carga axial x dx P P L δ Como calcular δ? Vamos calcular a deformação no elemento dx P P dx dδ

29 Deformação por Carga Axial Consideremos a viga genérica sob carga axial x dx P P P P Como calcular dδ? L δ dx dδ δ = P. L E. A dδ = P. dx E. A(x) δ = 0 L P. dx E. A(x)

30 Deformação por Carga Axial Ou seja, para essa viga... P x dx P δ = 0 L P. dx E. A(x) Mas... E se a área fosse constante? δ = P E 0 L dx A δ = L P E. A δ = P E L dx 0 0 L δ dx A(x) δ = P. L E. A

31 Deformação por Carga Axial Dá para generalizar ainda mais? P1 x dx P2 L δ δ = 0 L P. dx E. A(x) δ = 0 L P(x). dx E x. A(x)

32 Deformação por Carga Axial Convenção de Sinais Trações Alongamentos + +P x x +P δ δ Compressões Contrações - -P x x -P δ δ

33 Exemplo O vão é suficiente? 10m Se o espaço for suficiente kN 5cm A = 0,1m 2 E = 50GPa δ = P L E A = = δ = m

34 Deformação por Carga Axial Barras compostas de várias seções constantes P δ = P L E A

35 Exercício Determine a deformação total m 1,5m 1,0m 10kN A 1 = 1m 2 A 2 = 0,8m 2 A 3 = 0,5m 2 E 1 = E 2 = E 3 50GPa

36 Exercício Determine a deformação total m 1,5m 1,0m 10kN A 1 = 1m 2 A 2 = 0,8m 2 A 3 = 0,5m 2 E 1 = E 2 = E 3 50GPa 1. Reações 2. Alongamentos parciais 3. Alongamento total

37 Várias Cargas Axiais R 2m 2m 2m 8kN 4kN 7kN x A reação de apoio é...? Conhecidos: E, A F x = 0 R = 0 R = 5kN Ok, mas e a deformação da barra? δ = P. L E. A

38 Várias Cargas Axiais 5kN 2m 2m 2m 8kN 4kN 7kN x Qual é o P? δ = P. L E. A Dependerá da região da barra!

39 Várias Cargas Axiais 5kN 8kN 4kN 7kN x Qual é o P? Suponhamos que a parede venha até aqui... Qual é a carga que chega no engastamento?

40 Várias Cargas Axiais 5kN 8kN 4kN 7kN x Qual é o P? E se, agora, considerarmos a parede até aqui? Qual é a carga que chega no engastamento? A partir de onde passa de -7kN para -3kN?

41 Várias Cargas Axiais 5kN 8kN 4kN 7kN x Qual é o P? Mudando a parede agora até aqui... Qual é a carga que chega no engastamento? A partir de onde passa de -3kN para +5kN?

42 Várias Cargas Axiais 5kN 8kN 4kN 7kN x Na prática, então, há um P para cada trecho

43 Várias Cargas Axiais 5kN 1 2 8kN 3 4kN 7kN x Na prática, então, há um P para cada trecho 5kN 1 5kN δ = P 1 L 1 E A + P 2 L 2 E A + P 3 L 3 E A 3kN 2 3kN P 1 = 5kN P 2 = -3kN P 3 = -7kN 7kN 3 7kN

44 DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS

45 Diagrama de Esforços Solicitantes No exemplo anterior, vimos: kN 8kN 4kN 7kN x 5kN 3kN 7kN kN 3kN 7kN Será que não tem um jeito direto de indicar os esforços reais em cada trecho?

46 Diagrama de Esforços Normais 5kN 8kN 4kN 7kN x

47 Diagrama de Esforços Normais 5kN 8kN 4kN 7kN x N:

48 Diagrama de Esforços Normais 5kN 8kN 4kN 7kN x N: - 7kN

49 Diagrama de Esforços Normais 5kN 8kN 4kN 7kN x N: 3kN - - 7kN

50 Diagrama de Esforços Normais 5kN 8kN 4kN 7kN x 5kN N: + 3kN - - 7kN

51 Diagrama de Esforços Normais 5kN 8kN 4kN 7kN x Trecho mais tracionado 5kN N: + 3kN - - 7kN Trecho mais comprimido δ = P 1 L 1 E A + P 2 L 2 E A + P 3 L 3 E A

52 Exercício: Diagrama de Normal 4kN 5kN 12kN 5kN 7kN 1m 2m 1m 1m 1m 1m Etapas 1. Corpo Livre (identificar reações) 2. Determinar o equilíbrio estático/reações 3. Traçado do Diagrama

53 PAUSA PARA O CAFÉ!

54 ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS SOB CARGA AXIAL

55 Elem. Estaticamente Indeterminados Considere a viga abaixo L H A A C P B H B L AC L CB x Reações H A e H B...? F x = 0 H A + P H B = 0 H A + H B = P F y = 0? M = 0?

56 Elem. Estaticamente Indeterminados Considere a viga abaixo H A Três Vínculos A L AC Reações H A e H B...? C L P Viga L CB F x = 0 Estaticamente B H B Três Vínculos x Indeterminada H A + P H B = 0 H A + H B = P Como superar essa F y = 0? situação? M = 0?

57 SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

58 Superposição de Efeitos Princípio da Superposição de Efeitos Subdividir o carregamento em componentes Calcular os efeitos em separado Somar os resultados P P P P

59 Exemplo: Superposição de Efeitos Diagramas 2P N: 2P P - - P P P P P P N: - N: P P - 0 N: P +P - - P +0

60 Superposição de Efeitos: Condições Carga P: relação linear com σ ou δ Exemplos: σ = P δ = A P. L E. A Não pode alterar a geometria do elemento

61 Superposição de Efeitos: Condição Carga P: relação linear com σ ou δ Exemplos: σ = P δ = A P. L E. A Não pode alterar a geometria do elemento

62 Superposição de Efeitos: Condição Neste curso... Cargas sempre proporcionais a σ ou δ Em geral, adotamos uma simplificação Pouca deformação... A menos que especificado diferentemente!

63 APLICANDO A SUPERPOSIÇÃO NO CÁLCULO DE ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS SOB CARGAS AXIAIS

64 Elem. Estaticamente Indeterminados Como já vimos... L H A A C P B H B L AC L CB x Reações H A e H B...? F x = 0 H A + P H B = 0 H A + H B = P

65 Elem. Estaticamente Indeterminados No equilíbrio, o que se pode dizer de P 1 e P 2? H A A L AC C P 1 P 2 C P 1 + P 2 = P L CB B H B Que P 1 = H A? E P 2 = H B? Isso permite calcular as deformações δ AC e δ CB Mas como isso ajuda? Observe e pense: L AC L Qual deve ser H A P H B C o valor de A B δ AC + δ CB? L CB

66 Elem. Estaticamente Indeterminados Sintentizando... L H A A C P B H B L AC L CB Aplicando a superposição H A A L AC δ AC + δ CB = 0 C H A H B C H A + H B = P L CB B H B

67 Elem. Estaticamente Indeterminados A soma da Sintentizando... variação de tamanho de cada H A trecho tem que A ser igual à variação total! L AC Aplicando a superposição H A A L AC δ AC + δ CB = 0 C C L H B H A P C A soma da carga dividida entre as barras é igual à carga aplicada no ponto! B L CB H A + H B = P L CB B H B H B

68 Elem. Estaticamente Indeterminados Calculemos... H A A L AC δ AC + δ CB = 0 C H B H A C H A + H B = P L CB B H B H A L AC E A + H B L CB E A = 0 H A = H B L CB L AC H A + H B = P

69 Elem. Estaticamente Indeterminados Calculemos... H A L AC C A δ AC + δ CB = 0 H A L AC E A Condição de Compatibilidade H A H B C + H B L CB E A H A = H B L CB L AC H A + H B = P L CB H B Condição de Equilíbrio = 0 B H A + H B = P

70 Elem. Estaticamente Indeterminados Analisando o Resultado: H A A L AC L P C H A + H B = P L CB B H B H A = H B L CB Se L L AC = L CB? AC Se L AC = 1 e L CB = 2? Se L AC = 1 e L CB = 4? H A = H B H A = 2.H B H A = 4.H B H A = P/2 H A = 2.P/3 H A = 4.P/5 1 carga, A e E ctes: H A = P. L CB /L H B = P. L AC /L

71 Exercício Exemplo Trace o diagrama de normal da viga: 10kN 5kN 4m 2m 4m Etapas 1. Corpo Livre (identificar reações) 2. Determinar o equilíbrio estático/reações 3. Compatibilizar as deformações 4. Traçado do Diagrama

72 Exemplo: 1. Corpo Livre H A 10kN 5kN H B 4m 2m 4m Não há reações verticais Não há momentos envolvidos O sentido da reação horizontal é estimado Se estiver invertido, ao final ficará com sinal -

73 Exemplo: 2. Equilíbrio Estático H A 10kN 5kN H B y x 4m 2m 4m F x = 0 H A H B = 0 F y = 0? H A + H B = M = 0?

74 Exemplo: 3. Compat. Deformações H A A C D B 10kN 5kN H B 4m H A A C? 2m 4m H A + H B = 15000

75 Exemplo: 3. Compat. Deformações H A A C D B 10kN 5kN H B 4m H A A C H A 2m 4m H A + H B = 15000? C D = H A +?? = H A

76 Exemplo: 3. Compat. Deformações H A A C D B 10kN 5kN H B 4m H A A C H A 2m 4m H A + H B = kN - H A C D?

77 Exemplo: 3. Compat. Deformações H A A C D B 10kN 5kN H B 4m H A A C H A 2m 4m H A + H B = kN - H A C D 10kN - H A? D B 5000 = (10000 H A )?? = H A 15000

78 Exemplo: 3. Compat. Deformações H A A C D B 10kN 5kN H B 4m H A A C H A 2m 4m H A + H B = kN - H A C D 10kN - H A D B H A -15kN?

79 Exemplo: 3. Compat. Deformações H A A C D B 10kN 5kN H B 4m H A A C H A 2m 4m H A + H B = kN - H A C D 10kN - H A H A -15kN D B H A -15kN H B = (H A 15000) H A + H B = 15000

80 Exemplo: 3. Compat. Deformações H A A C D B 10kN 5kN H B 4m 2m H A A C H A 4m H A + H B = kN - H A C D 10kN - H A H A -15kN D B H A -15kN Qual a deformação total δ AC + δ CD + δ DB? δ AC + δ CD + δ DB = 0

81 Exemplo: 3. Compat. Deformações H A A 4m C H A 10kN - H A C 2m D 10kN - H A H A + H B = δ AC + δ CD + δ DB = 0 H A -15kN D 4m B H A -15kN H A 4 E A + +(10000 H A ) 2 E A + (H A 15000) 4 E A 4. H A 2. H A H A E A 10. H A = 0. E. A = 0 = 0 H A = 8000N H B = 7000N

82 Exemplo: 4. Traçado dos Diagramas 8kN 10kN 5kN 7kN 4m 2m 4m N: 8kN - 2kN + + 7kN

83 EXERCÍCIO

84 Exercício Exemplo φ = 5mm E = 200GPa Qual o alongamento se fosse livre em B? δ = P L E A = , π = m Como resolver?

85 Exercício Exemplo φ = 5mm E = 200GPa Vamos admitir que vai encostar... Diagrama de corpo livre H A A 0,4m 0,8m C B H B 20kN

86 Exercício Exemplo H A 0,4m A C 0,8m 20kN Reações H A e H B...? B H B y φ = 5mm E = 200GPa x F x = 0 H A + P H B = 0 H A + H B = 20kN Para resolver: compat. de deformações δ AC + δ CB =? δ AC + δ CB = 0,001

87 Exercício Exemplo H A 0,4m A C 0,8m 20kN Decompondo as partes B H B φ = 5mm E = 200GPa H A + H B = 20kN δ AC + δ CB = 0,001m H A A C H A 20kN-H A C B 20kN-H A δ AC + δ CB = 0,001m H A 0,4 E A + (20000 H A) 0,8 E A = 0,001

88 Exercício Exemplo H A H A A A 0,4m C 0,8m 20kN C H A B H B φ = 5mm E = 200GPa H A + H B = 20kN δ AC + δ CB = 0,001m 20kN-H A C B 20kN-H A H A 0,4 E A + (20000 H A) 0,8 E A 0,4. H A E A + 0,8. H A E A = 0,001 = 0,001 1,2. H A = 0,001. E. A

89 Exercício Exemplo H A H A A A 0,4m C 0,8m 20kN C H A B H B φ = 5mm E = 200GPa H A + H B = 20kN δ AC + δ CB = 0,001m 20kN-H A C B 20kN-H A 1,2. H A = 0,001. E. A 1,2. H A = 0, π. 0, ,2. H A = π. 6, ,2. H A = π H A = (1250. π )/1,2 H A = 16,6kN H B = 3,4kN

90 Exercício Exemplo - Diagrama 16,6kN A 0,4m C 0,8m 20kN B 3,4kN 16,6kN N: + - 3,4kN

91 PARA TREINAR

92 Para Treinar em Casa Aço A-36: E = 200GPa Concreto de Alta Resistência: E = 35GPa Hibbeler (Bib. Virtual) Pág. 91 a 106 Mínimos: Exercícios 4.1, 4.5, 4.10, 4.29 Exercícios 4.31, 4.33 Extras: Exercícios 4.2 a 4.4, 4.6, 4.7, 4.21, 4.30 Exercícios: 4.34, 4.36, 4.37

93 EXERCÍCIO NO SAVA

94 Exercício Entrega Individual Calcule as reações de apoio Trace o Diagrama de Normal Calcule o deslocamento em C Dica: é a deformação da barra A! A 2m φ A = 0,5m φ B = 1m C E A = E B = 50GPa 900kN B 1m

95 CONCLUSÕES

96 Resumo Existe relação entre carga e deformação Influenciam: Elastic. (E) / Área (A) / Comprim. (L) Podemos decompor problemas (superposição) Estaticamente Indeterminados? Compatibilidade de deslocamentos Exercitar: Hibbeler / Lista Aula 3 Únicas preocupações com cargas axiais? Flambagem e Temperatura Concentração de tensão Deformação Inelástica

97 PERGUNTAS?

98 EXERCÍCIO EM SALA

99 Exercício Individual, para Agora! Calcule as reações nas paredes abaixo 5 m 5 m 5cm A = 10-5 m 2 E = 10GPa 10kN δ = P. L E. A