Engenharia Biomédica EN2310 MODELAGEM, SIMULAÇÃO E CONTROLE APLICADOS A SISTEMAS BIOLÓGICOS. Professores: Ronny Calixto Carbonari

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1 Engenharia Biomédica EN310 MODEAGEM, SIMUAÇÃO E CONTROE APICADOS A SISTEMAS BIOÓGICOS Professores: Ronny Calixto Carbonari Janeiro de 013

2 Método de Elementos Finitos (MEF): Elementos de Treliça

3 Objetivo A aplicação mais tradicional de MEF é na simulação de estruturas mecânicas Os tipos de elementos mais simples e mais usados na análise estrutural mecânica são os elementos de treliça, de viga e os sólidos. Devido ao avanço do: Hardware; Formulações Numéricas. avanço da aplicação de métodos numéricos na modelagem de sistemas biomédicos MEF 3

4 Introdução 4 Sistemas contínuos: Por definição, uma estrutura contínua tem infinitos graus de liberdade e, portanto, infinitas frequências naturais (autovalores); A massa e rigidez de uma estrutura contínua são distribuídas em seu volume.

5 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça 5 posição de equilíbrio posição deformada Elemento infinitesimal t - tempo u(x,t) deslocamento na direção x F força aplicada dx deslocamento infinitesimal A área da seção transversal E módulo de elasticidade

6 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça A somatória das forças no elemento infinitesimal na direção x é: Sendo que: Portanto: F u df F A t A somatória das forças no elemento infinitesimal na direção x é: u F A x AE x F u df dx EA dx x x x u A EA u t x x 6

7 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça Por exemplo, considerando a estrutura discretizada com elementos de treliça, como mostrado abaixo:

8 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça Analisando um elemento da estrutura de treliça, temos: nó 1 nó u 1 u Adotando um polinômio de primeira ordem como função interpoladora dos deslocamento, temos: Onde: Sendo que: N 1 u N u N u x 1 1 e N x x 0 N 1 e x N x 0 N 0 e x N 1

9 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça Método de Galerkin: seja um domínio limitado, queremos obter em uma solução da equação diferencial: onde A é um operador diferencial de satisfazendo a condição de contorno Au 0 uma função de n variáveis, u 0 u x,..., 1 xn Au 0 Aux,..., 1 x 0 n Aux x é ortogonal à toda função x Se a função for solução em, então em. Consequentemente, a função,..., 1 n isto é: n Au x xdx 0 e u: u u A EA 0 t x x Solução 0 u u A EA w idx t x x 0 9

10 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça Definida a função interpoladora podemos aplicar a formulação do Método de Elementos Finitos MEF (Método de Galerkin) para um único elemento, temos: 0 u u A EA w 0 idx t x x Onde, i =1, (graus de liberdade) Integrando por partes o segundo termo da expressão acima, considerando: uv x x1 x x1 vdu w x u u dv EA dx v EA x x x i u wi du dx u u wi wi EA EA dx x 0 x x 0 10

11 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça 11 Substituindo, obtemos: 0 u u w i u Awi EA dx w iea t x x x 0 0 Considerando i 1 w N x x x u1 u 1 x u A u1 u EA dx EA u u w1 x 0 t x x 0 Agora, considerando i w N 0 x x x u1 u 1 x u A u1 u EA dx EA u u w x 0 t x x 0

12 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça 1 Após calcular as integrais e agrupar na forma matricial ambas as equações obtém-se: u x0 A 1 u1 EA 1 1 u1 x F1 EA 6 1 u 1 1 u u F x x F 1 e F são as forças de compressão ou tração na treliça; Em geral, não temos forças distribuidas em treliças, mas o carregamento correspondente seria F 1 = F ; Para modelar uma estrutua de treliças basta aplicarmos para cada elemento a equação descrito acima.

13 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça Assim, podemos escrever a equação na forma mais genérica, dada por: M e matriz de massa M U K U F U e vetor de deslocamento nodal Ṻ e vetor de aceleração nodal K e matriz de rigidez F e vetor de carregamento nodal e e e e e A matriz de massa apresentada acima, é chamada de matriz de massa consistente. Pode-se usar também uma formulação mais intuitiva de matriz de massa, chamada de matriz concentrada ( lamped ) dada por: M e A

14 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça 14 A matriz de massa concentrada é obtida aproximando-se o elemento de treliça por um sistema massa mola, ou seja: A A AE A É uma formulação utilizada somente quando se deseja reduzir o tempo computacional da análise.

15 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça Inicialmente, na dedução do MEF para treliças consideramos que os nós só movimentam na direção x, no entanto o elemento de treliça sofre apenas deformação axial, e seus nós podem deslocar nas direções x e y. Dessa forma o vetor u de deslocamento nodal, como mostrado na figura abaixo, fica: U u v u v e 1 1 t v 1 v nó 1 u 1 nó u

16 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça 16 Nesse caso, a matriz de rigidez fica: K e EA A formulação apresentada acima supõe que o elemento de treliça está alinhado com um dos eixos coordenados. No entanto, as treliça apresentam dispostas formando ângulos com um sistema cartesiano global xy, como mostrado na figura a seguir:

17 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça v u y v 1 u 1 nó nó 1 Assim, os deslocamentos nodais u e v (local) são decompostos em componentes U e V (global) na direção dos eixos globais, ou seja: u1 cos sin 0 0 u1 v 1 s in cos 0 0 v 1 u 0 0 cos sin u v 0 0 sin cos v U T U e e e 17

18 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça 18 onde a matriz [T] é chamada matriz transformação de coordenadas e θ é o ângulo de orientação do elemento. As matrizes de rigidez e massa expressas em função de u e v também devem ser transformadas de forma a serem expressas em função de U e V. Portanto, a transformação de coordenadas entre o sistema local e o global para as matrizes de rigidez e massa podem ser obtidos utilizando o conceito de energia elástica do elemento, expressa por: 1 1 t E t U K U U K U elastica e e e e e e Substituindo a transformação de coordenadas: 1 t 1 t t E U K U U T K T U elastica e e e e e e t e e K T K T

19 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça 19 ou seja: K EA cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin Dessa forma, a matriz de massa fica: M T M T e t e

20 MEF Aplicado a Estruturas de Treliça 0 Além disso, a expressão da deformação fica: u u u cos v sin u cos v sin x u1 1 v u v u cos sin cos sin

21 1 Método de Elementos Finitos (MEF): Elementos de Viga

22 MEF Aplicado a Estruturas de Viga A formulação de elemento de viga apresentada é denominada viga de Euler-Bernoulli, supõe que o plano da seção permanece sempre normal à linha neutra da viga desprezam-se os efeitos de tensões de cisalhamento na seção da viga, o que permite escrever a rotação Φ como derivada do deslocamento w, como mostraremos a seguir:

23 MEF Aplicado a Estruturas de Viga 3 A somatória das forças na direção y do elemento infinitesimal é: V x t V x, t dxv x, t f x, t dx Adx x,, w x t t A somatória dos momentos no elemento infinitesimal em relação ao ponto Q é dada por: M x, t V x, t M x, t dx M x, t V x, t dx dx x x dx f x, tdx 0

24 MEF Aplicado a Estruturas de Viga 4 Rearranjando a equação, temos:,,, M x t V x t f x t V x, t dx dx 0 x x x Assumindo que: dx 0 Temos que: V x, t M x, t x Substituindo a equação acima na somatória das forças em y, temos: M x, t w x, t dx f x, tdx Adx x t

25 MEF Aplicado a Estruturas de Viga 5 Sabendo-se que a deformação devido ao momento é dado por: M x, t EI w x, t x Portanto:, w x, t 4 w x t EI A f 4 x, t x t Definindo como função interpoladora para o deslocamento w um polinômio de terceira ordem, temos: 3 w x c c x c x c x w x x c1 cx 3c3 x x

26 MEF Aplicado a Estruturas de Viga Escrevendo os coeficientes interpoladores como função dos deslocamentos e rotações, temos: 0 0 w c w c w c c c c w c c 3c Resolvendo o sistema anterior, obtém-se: 1 3 w x H x w H x H x w H x

27 MEF Aplicado a Estruturas de Viga Onde: 3x x H1 x 1 3 x x H x x 3 3x x H3 x 3 3 x x H4 x 3 3 Essas funções de forma são chamadas funções de forma de Hermite garantem que tanto o deslocamento w como a rotação Φ sejam contínuos entre os elementos vizinhos.

28 MEF Aplicado a Estruturas de Viga Como ilustrado pela figura abaixo:

29 MEF Aplicado a Estruturas de Viga 9 Após definir a função interpoladora, aplicamos a formulação de MEF (Método de Galerkin) para um único elemento: 0, w x, t w x t EI A f x, thi ( x) dx 0 x x t onde i=1,, 3 e 4 (4 graus de liberdade). Aplicando a integração por partes duas vezes, obtém-se: 0, H ( x) w x, t w x t i EI A H ( ) i x f x, t Hi( x) dx x x t Hi ( x) VHi ( x) M 0 x 0

30 MEF Aplicado a Estruturas de Viga 30 onde V é a força cortante e M o momento fletor definidos anteriormente. Substituindo a função interpoladora de w(x) e as funções Hi(x) na equação acima, temos: w1 Hi ( x) H1 H H3 H 4 1 EI x x x x x w dx w 1 AH ( x) H H H H f x, t Hi( x) H 4( ) H (0) VH3 M VH10 M 0 x x 0 1 i w

31 MEF Aplicado a Estruturas de Viga Considerando que: H 4( ) H (0) H3 H10 1 x x Variando i de 1 à 4, temos quatro equações de integrais, que podem ser condensadas na notação matricial: H 1 x H 1 w x H1 H H3 H 4 1 EI H x x x x w 3 V1 x M 1 dx H 4 V 0 x M H1 w1 H1 H 1 H A H1 H H3 H 4 f x, t H3 w H3 H 4 H 4 31

32 MEF Aplicado a Estruturas de Viga onde os sinais de V 1, M 1, V e M se referem aos sentidos dos deslocamentos w 1, Φ 1, w e Φ indicados na figura acima. Portanto: H1 dx H1H dx H1H3dx H1H 4dx w 1 H dx H H3dx H H 4dx w H3 dx H3H 4dx 0 0 A simétrica 0 H dx H 1 H1 H H1 H3 H1 H 4 dx dx x x x dx dx 0 x x x x H H H3 H H 4 w1 dx dx dx x x x x x EI H w 3 H3 H 4 dx dx x x x 0 0 H 4 simétrica dx x 0 V1 H1 M 1 H f x, t V H 0 3 M H 4 4 3

33 MEF Aplicado a Estruturas de Viga 33 Após calcular as integrais, e agrupar as equações na forma matricial, obtém-se: Onde: M U K U F f e e e e e e K Me e EI A A matriz de massa acima é a chamada matriz de massa consistente.

34 MEF Aplicado a Estruturas de Viga 34 Assim como no caso da treliça podemos utilizar uma aproximação da matriz de massa chamada matriz de massa concentrada ( lumped ). M e A M e A Note que são matrizes diagonais, sendo computacionalmente mais fáceis de manipular do que a matriz de massa consistente que é uma matriz cheia

35 MEF Aplicado a Estruturas de Viga 35 Com relação ao vetor de carga da carga distribuída {f e }, considerando uma pressão uniforme q 0 aplicada sobre o elemento obtém-se: f e 6 q0 1 6 Já no caso de uma carga concentrada, q 0 =P 0 δ(x-x 0 ), onde é uma δ função Delta de Dirac, e é o valor da carga concentrada q 0 na posição (x-x 0 ), obtém-se: f e H H x 1 0 x 0 P0 H 3 x 0 H x 4 0

36 Referêncas 36 KIM, Nam-ho; SANKAR, Bhavani V. Introdução à análise e ao projeto em elementos finitos. [Introduction to finite element analysis and design]. Rio de Janeiro: TC Ed, c011. xii, 353 p. ISBN FISH, Jacob; BEYTSCHKO, Ted. Um primeiro curso em elementos finitos: A first course in finite elements. Rio de Janeiro: TC, 009. viii, 41 p. ISBN