O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO A PROBLEMAS PLANOS

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1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO A PROBLEMAS PLANOS Muitos problemas práticos (que são tri-dimensionais) podem ter sua formulação simplificada quando introduz-se algumas hipóteses. Alguns deles podem resultar em uma modelagem envolvendo problemas bi-dimensionais. Estes são os casos dos chamados problemas planos: estado plano de tensões (plane stress), estado plano de deformações (plane strain) e problemas aissimétricos. Ocorre estado plano de tensões quando as tensões segundo um dos eios é desprezível perante as restantes (que agem em um plano normal a este eio), isto é, podem ser consideradas nulas. Fisicamente, tal estado ocorre em uma placa fina, com apoios e carregamentos no próprio plano de definição da placa, conforme mostra esquematicamente a figura 8.1. Se tomarmos um sistema de eios coordenados de tal maneira que os eios e y coincidam com o plano médio da placa, o eio z será normal a tal plano. Devido as estas restrições previamente assumidas, o movimento dos pontos do plano médio da placa estarão restritos a deslocamentos no próprio plano, sendo assim, funções apenas dependentes de e y. Consequentemente, as componentes de tensões também não terão seus valores alterados na espessura, ou seja, serão funções apenas dependentes de e y. Como a placa não está carregada transversalmente, as tensões na superfície na direção z são nulas e sendo a placa fina, poderão ser assumidas como nulas em toda ela. Poderá, no entanto, pelo efeito de Poisson, ocorrer deformação na direção z. σ = 0 z y z Figura 8. A - Eemplo de estado plano de tensões 1

2 No entanto, ocorre estado plano de deformações quando as deformações segundo um dos eios podem ser consideradas nulas. Fisicamente, tal estado ocorre em estruturas longas com carregamento uniforme com mostra esquematicamente a figura 8.2. Se tomarmos um sistema de eios coordenados de tal maneira que o eio z coincida com a direção do maior comprimento, o movimento dos pontos do plano normal a z estarão restritos a deslocamentos no próprio plano, sendo assim, funções apenas dependentes de e y. Consequentemente, as componentes de tensões também não terão seus valores alterados com a variação de z, ou seja, serão funções apenas dependentes de e y. Para garantir tal estado, as tensões na direção z não são nulas, pelo efeito de Poisson. ε = 0 z y z Figura 8. B - Estado plano de deformações. Problemas aissimétricos são uma particularização do estado plano de deformações em coordenadas cilíndricas (Orθz). Neste caso eiste um eio (eio z) de simetria aial do corpo, conforme mostra esquematicamente a figura 8.3. As deformações segundo o eio θ podem ser consideradas nulas. O movimento dos pontos do plano Orz estarão restritos a deslocamentos no próprio plano, sendo assim, funções apenas dependentes de r e z. Consequentemente, as componentes de tensões também não terão seus valores alterados com a variação de θ, ou seja, serão funções apenas dependentes de r e z. Para garantir tal estado, as tensões na direção θ não são nulas, pelo efeito de Poisson. 2

3 z Figura 8. C - Problemas aissimétricos REVISÃO DE CONCEITOS DA TEORIA DA ELASTI- CIDADE E DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS: ESTADO PLANO DE TENSÕES: Estudaremos o caso de uma placa fina (corpo B), de espessura t, composta de material isotrópico, elástico linear, com Módulo de Young E e Coeficiente de Poisson ν, submetida a um carregamento atuante na direção do plano médio da placa Ω, composto pelo sistema de cargas F={b,p} (onde b é uma carga de corpo, distribuída no plano médio da placa e calculada por unidade de comprimento normal ao plano e p, uma carga de linha, atuando em um contorno lateral a placa que chamaremos de contorno Γ) e a prescrição de deslocamentos homogêneas do tipo bilateral u j =0 em pontos Γ j do contorno. Supõe-se que ocorre uma transformação, ou seja, os pontos da placa sofrem deslocamentos. -SISTEMA DE COORDENADAS DE REFERÊNCIA: escolhemos um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas Oyz cujo plano Oy coincide com o plano médio da peça. - CINEMÁTICA: Hipóteses simplificadoras: -Fibras paralelas ao plano médio ou se alongam ou se encurtam; -Seções planas e normais ao plano médio da peça permanecem planas e normais a tal plano após a deformação e paralelas às posições indeformadas; -Seções paralelas permanecem paralelas após a deformação. Campo de deslocamentos: r 3

4 Para este modelo cinemático, ou seja, quando se adotam as hipóteses cinemáticas simplificadoras listadas acima, o campo de deslocamentos possível é o que admite que o ponto distante e y da origem, após a transformação tomará a posição +u (,y) e y+u y (,y) ou seja, as componentes u e u y do vetor deslocamento segundo os eios e y serão funções dependentes apenas de e y. Na forma vetorial fica u = { u (,y) u y (,y)} T Falta identificar quais os tipos de restrições que, por hipótese, poderão ser impostas ao campo de deslocamentos. Por simplicidade, adotamos apenas restrições bilaterais e homogêneas. Por restrições bilaterais entende-se aquelas que, se o deslocamento está impedido em uma direção, também estará impedido na direção oposta. Por restrições homogêneas entende-se aquelas que impõe deslocamentos nulos, nos pontos de impedimentos j. Componentes infinitesimais de deformação: A Teoria Infinitesimal, segundo GREEN, é aquela na qual assume-se que as componentes do vetor de deslocamento (neste caso, as componentes u e u y ) e suas derivadas em relação aos eios coordenados e y e em relação ao tempo t são pequenas, de forma que pode-se negligenciar os termos não lineares se comparados com os termos lineares. Assume-se que as componentes do vetor deslocamento podem ser representadas por funções contínuas na forma u = u (,y) u y = u y (,y) Toma-se um paralelogramo infinitesimal de arestas paralelas aos eios coordenados com comprimentos d e dy, conforme mostra a figura 8.4. Com a deformação do contínuo, ocorre uma variação no comprimento de suas arestas e nos ângulos entre elas. Como os deslocamentos variam ponto a ponto no contínuo e supondo-se conhecido o deslocamento d M do ponto M, (ponto este de coordenadas (, y)) e igual a d M = u (,y) i + u y (,y)j onde i e j são os vetores unitários segundo as direções e y, respectivamente. Pode-se, por utilização da fórmula de Taylor, obter os valores dos deslocamentos em pontos próimos a M. Assim, no ponto B de coordenadas (+d, y+dy), as componentes do vetor do deslocamento ficam 4

5 u (,y) + u (,y) d + u (,y) dy u (,y) d +1 2 u (,y) dy + y 2! 2 2! y 2 u y (,y) + u y (,y) d + u y (,y) dy u y (,y) d +1 2 u y (,y) dy + y 2! 2 2! y 2 Negligenciando-se os termos de ordem superior perante os lineares, as componentes do vetor deslocamento neste ponto tomam a forma u (,y) + u (,y) d + u (,y) dy y u y (,y) + u y (,y) d + u y (,y) dy y y C B dy M A j d i Figura 8. D - Paralelogramo infinitesimal Estas relações são lineares e portanto retas paralelas são transformadas em retas paralelas. Assim o paralelogramo infinitesimal no estado final continuará sendo um paralelogramo. Já que trata-se de Teoria Linear vamos separar cada componente de deformação específicas normais ε e ε y e de corte γ y : -estudando-se inicialmente um paralelogramo sujeito a alongamento na direção, conforme mostra a figura 8.5 Como o deslocamento do ponto M é e o deslocamento do ponto A d M = u (,y) i + u y (,y) j 5

6 d A = [u (,y)+ u (,y) d ] i + [u y (,y) + u y (,y) d ] j Então d A -d M é dado por d A - d M= [ u (,y) d] i Da análise da figura 8.5, verifica-se que o segmento M'A' vale enquanto o segmento MA vale M'A' = d i + (d A - d M ) = d + u (,y) d MA = d i. Da Resistência dos Materiais sabe-se que a deformação, ou seja, o alongamento segundo a direção é dado por ou seja, ε = L = M'A' - MA = (d + u (,y)/ d) - d L MA d ε = u (,y) Fazendo o mesmo procedimento, somente que considerando agora o alongamento na direção y, tem-se ε y = u y (,y) y 6

7 C B C' B' M A M' A' y d M d A d d M - d A Figura 8. E - Paralelogramo infinitesimal antes e após a transformação. u y y dy u dy y C' B' C B M' A' u y d y M A u d Figura 8. F- Paralelogramo infinitesimal submetido a distorção angular. Na Teoria Infinitesimal as componentes de deformação específica de corte são as distorções dos ângulos retos formados pelas arestas. No problema plano, a componente não nula é γ y. Neste caso, como o deslocamento do ponto M, d M, é conhecido e vale d M = u (,y) i + u y (,y) j então o deslocamento dos pontos A, C e B serão d A = [u (,y) + u (,y) d] i + d C = [u (,y) + u (,y) dy] i + y [u y (,y) + u y (,y) d] j [u y (,y) + u y (,y) dy] j y 7

8 d B = [u (,y)+ u (,y) d+ u (,y) dy] i + [u y (,y)+ u y (,y) d+ u y (,y) dy] j y y Levando-se em conta que as deformações são infinitesimais γ y 90 - <A'M'C' = γ 1 + γ 2 e como tem-se γ 1 tg γ 1 u y (,y)/ d d γ 2 tg γ 2 u (,y)/ y dy dy γ y = u y (,y)+ u (,y) y Pode-se escrever as relações deformações-deslocamentos na forma matricial: e = D u onde e = { ε ε y ε y } T ε y = γ y/2 u = {u (,y) u y (,y) } T 2 / 0 D = 1/2 0 2 / y / y / - ESFORÇOS INTERNOS: A eistência de esforços interiores fica evidente quando observa-se que ao submeter-se um corpo deformável a ações de forças eternas, suas partículas permanecem unidas. Portanto alguma força interna deve ser responsável por este fenômeno. A título de ilustração, analisemos como se age quando se quer saber se uma correia está adequadamente tensionada. Para tal, tratamos de deslocá-la da posição inicial, e portanto impomos um alongamento da correia (ou seja, uma deformação virtual) que nos permitirá ter uma idéia da tensão na 8

9 correia através do trabalho realizado para eecutar este movimento. Portanto para o problema plano de tensões, vamos introduzir o conceito de trabalho realizado pelos esforços internos W i,, em consequência de um campo de deformações virtuais gerado a partir de um campo de deslocamentos virtuais, pela seguinte definição: W i = - (σ δε + σ y δε y + τ y δε y )db = - (σ δε + σ y δε y + τ y δε y ) dz d dy = = - t (σ δε + σ y δε y + τ y δε y ) d dy para toda (qualquer) deformação virtual δε. δε y e δε y. Na forma vetorizada: W i = - s δe d dy onde s = { σ σ y τ y } T - EQUAÇÃO CONSTITUTIVA: para um material isotrópico elástico linear submetido a processos isotérmicos e adiabáticos: s = D e sendo 1 ν 0 D= E/(1-ν 2 ) ν (1-ν) - FORÇAS EXTERNAS Imaginemos que uma determinada caia encontra-se no piso desta sala. Para termos uma idéia do seu peso, tentamos levantá-la. Portanto tal avaliação é feita através do trabalho realizado para levantar a caia. Ou seja, introduzindose um deslocamento virtual em contraposição a posição natural de repouso, pode-se avaliar o trabalho realizado e consequentemente a força necessária para levantar a caia e finalmente seu peso. Para formalizar a idéia anterior, no problema em questão, introduzimos o conceito de trabalho eterno W e realizado pelas forças eternas F={b,p} em consequência de um campo de deslocamentos virtuais δu, pela seguinte definição: W e = b δu d dy + p δu dγ 9

10 para todo (qualquer) deslocamento virtual δu e onde a carga de corpo b está distribuída na superfície b = {b (,y) b y (,y) } T e a carga de linha p está aplicada no contorno da placa Γ p = {p (,y) p y (,y) } T - EQUILÍBRIO: Para definição de equilíbrio adota-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais, ou seja Diz-se que um corpo plano B encontra-se em equilíbrio com o sistema de forças F(b,p), se para todo deslocamento virtual δu, que satisfaça as condições cinemáticas de contorno, a distribuição de tensões s, associada ao sistema de cargas, é tal que W i + W e = 0, para todo δu ou na forma eplícita: -t s δe d dy + b δu d dy + p δu dγ= 0, para todo δu onde s é a tensão associada a deformação e pela equação constitutiva; ou seja, o trabalho virtual dos esforços internos generalizados e das cargas aplicadas é nulo para toda ação virtual de deslocamento admissível. Usando-se as relações anteriormente introduzidas s = D e e e = D u tem-se para epressão do P.T.V. -t (D u) D D δu d dy + b δu d dy + p δu dγ= 0, para todo δu ou ainda na forma matricial -t (D u) T D D δu d dy + δu T b d dy + δu T p dγ= 0, para todo δu 10

11 TENSÕES PRINCIPAIS: Admitindo-se como conhecidas as componentes em um paralelepípedo infinitesimal com faces paralelas aos eios coordenados, pode-se facilmente obter as componentes de tensão que agem em um plano com inclinação qualquer, cuja normal é dada por n = cos i + sen j τ σ σ dy ds τ y d y τ y σ y Figura 8. G - Tensões em uma face com normal n. Se ds é o comprimento da face normal a n então tem-se as relações d = ds cos dy = ds sen Se o corpo está em equilíbrio, então o somatório das forças (por unidade de comprimento normal ao plano) nas direções normais e tangenciais às faces são F n = σ ds - σ cos 2 ds - σ y sen 2 ds - 2τ y sen cos ds = 0 F t = τ ds - τ y (cos 2 - sen 2 ) ds - (σ y - σ ) sen cos ds = 0 11

12 σ d = σ cos ds σ cos 2 ds τ y = sen ds d = τ y y a) face paralela ao eio sen τcos ds y τsen y cos ds σ y sen 2 ds σ y dy = σ sen y ds τ y dy = sen τds y b) face paralela ao eio y Figura 8. H - Decomposição das forças na direção da normal n. σ d = σ cos ds σ cos sen ds τ y τ y cos ds d = τ y cos 2 ds y a) face paralela ao eio τsen y ds 2 σ y dy = σ sen ds y τ y dy = sen τds y σ y sen cos ds b) face paralela ao eio y Figura 8. I - Decomposição das forças na direção da normal n. e portanto 12

13 σ = σ cos 2 + σ y sen 2 + 2τ y sen cos τ = (σ y - σ ) sen cos - τ y (cos 2 - sen 2 ) Usando-se as seguintes relações trigonométricas cos 2 = (1 + cos 2)/2 sen 2 = (1 - cos 2)/2 cos 2 = cos 2 - sen 2 sen 2 = 2 sen cos e reagrupando-se os termos, obtém-se σ = (σ + σ y )/2 + ((σ - σ y ) cos2)/2 + τ y sen2 τ = τ y cos2 - ((σ y - σ ) sen2)/2 Verifica-se que estas componentes de tensão são funções de uma única variável e como as funções trigonométricas seno e cosseno variam de -1 a 1, estas funções passarão por valores máimos e mínimos. Procura-se então os etremos da função tensão normal σ e para tal, introduz-se a seguinte condição de valor estacionário dσ/d = 0 ou seja (σ - σ y ) sen2-2 τ y cos2 = 0 que substituída na epressão da tensão tangencial, nos fornece τ = 0 isto é, quando as tensões normais tem valores etremos, as tensões tangenciais se anulam. Da equação anterior tira-se tg 2 = 2 τ y /(σ - σ y ) Já que tg 2 = tg (p + 2) = duas direções principais perpendiculares podem ser encontradas, o que mostra que σ assume um valor mínimo ao longo de uma direção e máimo ao longo da outra. Estas direções são chamadas direções principais e suas correspondentes tensões tensões principais. Usualmente, em um estado tridimensional de tensões, estas tensões são chamadas de σ 1, σ 2 e σ 3. Suas magnitudes são obtidas por substituição e manipulações algébricas 13

14 σ 1 = σ ma = (σ + σ y )/2 + { [(σ - σ y ) 2 + 4τ y2 ]}/2 σ 1 = σ ma = (σ + σ y )/2 - { [(σ - σ y ) 2 + 4τ y2 ]}/ CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO: É necessário definir-se critérios para os quais as tensões são admitidas como elásticas. a. CRITÉRIO DE MISES OU CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO: Este critério se baseia na determinação da energia de distorção (isto é, energia relacionada a mudanças na forma) do material. Neste critério, estamos interessados na tensão equivalente σ eq = [(σ 1 - σ 2 ) 2 ]/2 Figura 8. J - Elipse de Mises. e o material é considerado no regime elástico enquanto σ eq σ Y 14

15 onde σ Y é a tensão de escoamento do material, tensão esta determinada em um ensaio de tração. Graficamente esta relação é representada pela figura 8.10, onde cada ponto, de coordenadas σ 1, σ 2 representa o estado de tensões em um ponto do corpo. A região interna a elipse de Mises indica que o ponto do corpo encontra-se no regime elástico. O contorno indica plastificação e a região eterna é inacessível. CRITÉRIO DE TRESCA OU DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO: Este critério se baseia na hipótese de que o escoamento dos materiais dúcteis é causado por deslizamento do material ao longo de superfícies oblíquas, deslizamento devido principalmente a tensões cisalhantes. Neste caso, as tensões são admitidas no regime elástico enquanto se σ 1 σ 2 > 0 σ 1 σ Y σ 2 σ Y se σ 1 σ 2 < 0 σ 1 - σ 2 < σ Y As relações acima são representadas graficamente através da figura Novamente, a região interna indica que o ponto do corpo encontra-se no regime elástico. O contorno indica plastificação e a região eterna é inacessível. σ 2 σ Y + σ Y - σ Y + σ 1 σ Y - Figura 8. K - Heágono de Tresca. 15

16 8.2 - SOLUÇÕES APROXIMADAS: O Princípio dos Trabalhos Virtuais, que é um Princípio Variacional, está definido no conjunto dos deslocamentos que cumprem as condições de contorno, ou seja, dos deslocamentos cinematicamente admissíveis. Em particular, tais conjuntos são espaços vetoriais de dimensão infinita. Para obtermos soluções aproimadas, podemos defini-los em espaços de dimensão finita. Para isto, designemos por {φ i } com i=1,..., ao conjunto de funções vetoriais coordenadas ou funções de base completas para o conjunto dos deslocamentos cinematicamente admissíveis. O anterior é equivalente a dizer que, dado ε>0, arbitrariamente pequeno, sempre será possível estabelecer um número N tal que é possível definir n>n escalares A 1, A 2, A n tais que u - Σ A i φ i < ε. Portanto, para cada n gera-se um espaço aproimado de dimensão finita contido no espaço dos deslocamentos cinematicamente admissíveis. Com estas definições podemos reformular tal princípio variacional, somente que agora em espaços de dimensão finita o que nos conduzirá à resolução de sistemas de equações PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS APROXIMADO: Relembrando o Princípio dos Trabalhos Virtuais: Diz-se que um corpo plano B encontra-se em equilíbrio com o sistema de forças F(b,p), se para todo deslocamento virtual δu que satisfaça as condições de contorno, a distribuição de tensões s, associada ao sistema de cargas, é tal que W i + W e = 0, para todo δu ou na forma eplícita: -t (Du) T D Dδu d dy + δu T b d dy + δu T p dγ= 0, para todo δu ou seja, o trabalho virtual dos esforços internos generalizados e das cargas aplicadas é nulo para toda ação virtual de deslocamento admissível. 16

17 Propondo-se as interpolações: u = Σ A i φ i δu = Σ C j φ j i onde os coeficientes A i e C j são escalares arbitrários. Substituindo-se as relações acima no P.T.V. tem-se Σ Σ-t (D A i φ i ) T D D C j φ j d dy + (C j φ j ) T b d dy + (C j φ j ) T p dγ= 0 i j para todo escalar C j, j=1,2,...,n. Reagrupando-se, tem-se Σ{ Σ [-t (D φ i ) T D D φ j d dy] A i + φ jt b d dy + φ j T p dγ} C j = 0 i j para todo escalar C j, j=1,2,...,n.isto indica que cada termo entre colchetes {} deve ser nulo, obtendo-se finalmente o seguinte sistema Σ [t (D φ i ) T D D φ j d dy] A i = φ jt b d dy + φ j T p dγ i para j=1,...,n. Chamando-se k ij = t (D φ i ) T D D φ j d dy f j= φ jt b d dy + φ T j p dγ chega-se a Σ k ij A i = f j para j=1,...,n. ou ainda, matricialmente i K A = F A matriz K de dimensões [nn] é simétrica e em virtude da matriz da constantes elásticas D ser positivo definida, K é positivo definida. Portanto, eiste sua inversa K -1 e os coeficientes da solução aproimada são A = K -1 F No caso em que estamos estudando (problemas planos), as funções coordenadas φ i deverão ser funções contínuas com derivadas primeiras contínuas por partes, ou seja, o espaço dos deslocamentos cinematicamente admissíveis deverá ser um espaço de Hilbert contendo funções contínuas com derivadas primeiras quadrado integráveis. Além disso, as funções coordenadas deverão ser nulas na fronteira Γ. Se o problema fosse de outra natureza e ao invés de deslocamentos tivéssemos deslocamentos generalizados (rotações, curvatura, etc), como é o j 17

18 caso de fleão de vigas, placas e cascas, a matriz de operadores D envolverá derivadas de segunda ordem e a epressão do P.T.V. envolverá termos quadráticos em suas derivadas. Teremos assim que o conjunto dos deslocamentos será um espaço de Hilbert contendo funções contínuas com derivadas primeiras e segundas quadrado integráveis. Convém ressaltar que a variável independente que foi interpolada nesta formulação foi o deslocamento. Desta maneira ao construir-se as funções de base para o Método dos Elementos Finitos, chama-se esta formulação de Método dos Deslocamentos em contraposição ao modelo em forças ou esforços que se obtém via Princípio dos Trabalhos Virtuais Complementar. Como pudemos apreciar, a determinação das soluções aproimadas nos Princípios Variacionais anteriormente colocados recaem na solução de um sistema de equações algébricas. Para a determinação deste sistema se requer: construir funções coordenadas cujas combinações lineares definem as funções aproimantes admissíveis; para determinas os coeficientes da matriz do sistema se requer integrar uma forma bi-linear simétrica; (D φ i ) T D D φ j d dy Esta integração pode ser feita de forma analítica ou numérica; a determinação dos coeficientes do termo independente requer a interpolação de formas lineares do tipo φ jt b d dy + φ jt p dγ que também pode realizar-se de forma analítica ou numérica; é necessário ressaltar aqui que a determinação da função aproimante u pode ser uma das maiores dificuldades. Em particular, no Método dos Elementos Finitos a determinação destes aproimantes é uma tarefa simples. 18