Apostila de Resistência dos Materiais II

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1 Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Faculdade de Engenharia Juiz de Fora - MG Apostila de Resistência dos Materiais II Prof. Elson Magalhães Toledo (emtc@lncc.br) Prof. Aleandre Cur (aleandre.cur@ufjf.edu.br) 015

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3 Sumário 1 Teoria da Fleão Oblíqua Introdução Aplicações Caracterização da Fleão Oblíqua Caracterização das Deformações na Fleão Oblíqua Tensões Normais na Fleão Oblíqua Cálculo com M n Posição relativa: Eio de solicitação Linha Neutra Fleão reta como caso particular da eão oblíqua Tensões na Fleão Oblíqua segundo eios baricêntricos quaisquer Tensões na Fleão Oblíqua com eios principais Diagrama de Tensões Vericação da Estabilidade Máimo Momento Fletor EXEMPLO Cálculo das tensões pela fórmula σ = M nu I n 1.6. Cálculo das tensões a partir dos eios principais de inércia EXEMPLO Geometria das massas Cálculo das tensões máimas utilizando os eios principais de inércia Cálculo das tensões pela projeção de M em eios quaisquer (eios não principais de inércia) Cálculo das tensões pela projeção de M sobre a LN Diagrama de tensões EXEMPLO Geometria das massas Cálculo das tensões máimas utilizando os eios principais de inércia Cálculo das tensões pela projeção de M sobre os eios baricêntricos (eios não principais de inércia) Cálculo das tensões pela projeção de M sobre a LN Teoria da Fleão Composta 1.1 Introdução Ocorrências Usuais Distribuição de Tensões Determinação da linha neutra (nn) Equação da linha neutra Paralelismo entre as LN's da Fleão Oblíqua e da Fleão Composta Análise de tensões EXEMPLO EXEMPLO Núcleo Central de Inércia Conceito Obtenção do Núcleo Central de Inércia Propriedade Fundamental da Antipolaridade EXEMPLO Revisão de Geometria das Massas Rotação de eios Eios principais de inércia Momentos principais de inércia Roteiro i

4 ii SUMÁRIO 3 Estado Triaial de Tensões Introdução Caso da barra sujeita a esforço aial Tensão: Conceito e Denição Matriz de tensões num ponto Convenção de Sinais Simetria da matriz de tensões Vetor tensão total num plano qualquer Cálculo das tensões normal e tangencial num plano qualquer Eemplos de aplicação Eemplo Eemplo - Tratamento para o caso da barra a esforço aial Rotação do tensor de tensões Aplicação ao estado triaial de tensões Eemplo numérico Tensões Principais Conceito Determinação das tensões principais Ortogonalidade das direções principais Estacionaridade das Tensões Principais Invariantes do tensor de tensões Máima Tensão Cisalhante Cálculo das tensões tangenciais etremas Tensões Octaédricas Decomposição do tensor de tensões Eemplos numéricos Eemplo Eemplo Aplicação ao caso do Estado Plano de Tensões Introdução Caso particular do problema 3D Tensões Normais Principais Tensões Tangenciais Máimas Círculo de Mohr Estado de Deformações Introdução Deslocamentos e Medidas de Deformações Redenição da medida da deformação linear Relações Deslocamento Deformação Deformações Lineares Deformações Angulares Tensor de Deformação Cálculo de Deformações numa direção qualquer Deformações Lineares em direções quaisquer Deformações Angulares em planos quaisquer Rotação do Tensor de Deformação Deformações Principais no Estado Triaial de Deformações Eemplo Estado Plano de Deformações Deformações Normais e Cisalhantes numa Direção Qualquer Deformações Principais no Estado Plano de Deformações Círculo de Mohr para Estado Plano de Deformações Análise Eperimental - Strain-Gages Deformação Volumétrica

5 Notas e agradecimentos Esta apostila contém, em sua maior parte, as notas de aula manuscritas do Prof. Elson Toledo que dedicou, e ainda dedica, parte de sua vida acadêmica ao magistério da disciplina Resistência dos Materiais II na UFJF. Agradecemos a grande colaboração da Profa. Flávia de Souza Bastos, por ter redigido parte deste material e dos estudantes Laio Arantes pela digitalização completa dos Capítulos 3 e 4, Emerson Galdino pela produção de guras do Capítulo 1 e Lucas Teotônio pelas guras dos Capítulos 4 e 6.

6 Capítulo 4 Estado de Deformações 4.1 Introdução Neste capítulo tratamos e denimos o chamado estado de deformação de um corpo, considerando o deslocamento relativo de seus pontos com componentes nos três eios ortogonais z. Os deslocamentos aqui considerados são aqueles responsáveis pela descrição do movimento de um corpo (ou de cada um dos pontos de um corpo) quando este varia sua forma, isto é, quando são modicadas as posições relativas de seus pontos em decorrência das ações - forças e momentos a ele aplicados. Por deformação, denimos como sendo a medida do movimento relativo entre os pontos desse corpo. Ao nal deste capítulo, vericaremos que as regras de transformação das componentes da tensão devido a uma rotação de eios são válidas também para as componentes das deformações, já que tanto a tensão quanto a deformação são grandezas de mesma natureza - tensoriais Deslocamentos e Medidas de Deformações Na Fig. 4.1 apresenta-se um corpo que, sob ação de cargas - forças e/ou momentos - tem seus pontos deslocados como o ponto A. z w A' A (,, z) v A u A' (+u, +v, z+w) Figura 4.1: AA - vetor deslocamento total do ponto A. Na Fig. 4.1, u, v, w representam os deslocamentos do ponto A segundo os eios,, z, respectivamente. Para a medida da intensidade da mudança de forma de um corpo, como ocorre em peças prismáticas submetidas a esforço aial, denimos a deformação linear na direção do segmento AB de comprimento S, conforme ilustra a Fig. 4.: ε m = S S onde ε m é a deformação linear média no ponto A na direção AB ou alongamento relativo médio no ponto A na direção AB (grandeza análoga à velocidade média na cinemática v m = S t - onde S representa o espaço percorrido e t designa o tempo), isto é: S ε = lim S 0 S onde ε é a deformação linear no ponto A na direção AB ou alongamento relativo no ponto A na direção AB. 79

7 80 CAPÍTULO 4. ESTADO DE DEFORMAÇÕES Temos ainda a considerar ou observar a eistência das variações de ângulos retos formados por segmentos de retas constituidos no corpo que após o equilibrio deiam de ser retos gerando distorções que denominamos de deformações angulares denidas por: lim OC=OD 0 (CÔD C ÔD ) = γ CôD. Dizemos que γ CôD é a deformação angular ou distorção angular do ângulo CÔD ou ainda no ponto O no plano denido por CÔD. A Figura... a seguir ilustra, de forma clara, a natureza dessas medidas de deformação. B' s + Δs D' A' A s D O' O B C C' Figura 4.: Deformações lineares e angulares ou de cisalhamento em torno de um ponto. Se consideramos as direções coordenadas (segundo eios coordenados,, z ), as deformações lineares denidas nas direções desses eios coordenados seriam dadas por ε, ε, ε zz, ou ε, ε, ε z. Considerando os três planos coordenados, z e z, teríamos as distorções de ângulos retos que dão origem às deformações angulares ou de cisalhamento segundo estes planos: γ ; γ z ; γ z. Eistem várias outras medidas de deformação utilizadas em diferentes circunstâncias na modelagem de problemas de engenharia. Estas outras medidas são mais ou menos adequadas conforme a magnitude dos deslocamentos e das deformações ocorrentes - se temos grandes ou pequenas deformações, grandes ou pequenos deslocamentos ou ainda se consideramos diferentes formulações (eulerianas ou lagrangianas) na abordagem dos problemas mecânicos. Assim, temos: Deformação de engenharia: ε e = l l 0 l 0 Deformação de Green: ε g = l l 0 l 0 Deformação de Almansi: ε a = l l0 l Deformação natural ou logaritmica: ε l = l l 0 dl l = ln l l 0 Ecetuando-se a deformação logaritmica, todas estas medidas tem caráter de média, valendo, portanto, apenas para casos de estado de deformação constante em uma barra de comprimento nito - como o que ocorre com uma barra sujeita a esforço normal constante - ou para um segmento de comprimento nito de um corpo deformável, considerandose também, neste caso, um estado de deformação constante neste comprimento. Para a efetiva utilização de cada uma dessas medidas em casos de estado de deformação variavel, torna-se necessário vericar o que ocorre em torno de um ponto tomando o limite quando os comprimentos marcados a partir deste ponto tendem para zero Redenição da medida da deformação linear Inicialmente, apresentamos a denição usual da deformação linear tal como ocorre em uma barra sujeita a esforço aial constante. Neste caso, para uma barra como a mostrada na Fig. 4.3 sujeita a um esforço aial constante (N() = constante 0 l) tomamos como medida para a deformação linear o valor do alongamento (ou encurtamento) sofrido pela barra dividido pelo comprimento original da mesma. Assim, temos para este caso ε = l l. Entretanto, observando que o valor do alongamento (ou encurtamento) utilizado nesta denição é o valor do deslocamento sofrido pela etremidade livre da barra subtraido do deslocamento da etremidade impedida de se deslocar, constatamos, chamando de u o deslocamento, que nossa denição ε = l l0 l 0 pode, com a denição do deslocamento u na direção do eio ser reescrita como: ε = u( = l) u( = 0) l 0 que representa apenas a deformação média que ocorre entre o engaste e a etremidade livre da barra e que não serve para medir a deformação quando o esforço normal não for constante ao longo do comprimento da barra.

8 4.. RELAÇÕES DESLOCAMENTO DEFORMAÇÃO 81 u Δ ES A0 ΔL ΔL A1 F => u A = ΔL = FL ES = ΔL = l = = FL E ES = cte = ΔL = 0 a L L Figura 4.3: Campo de deformações lineares e de deslocamentos numa barra a esforço aial constante. Devemos, então, substituir esta denição por outra que atenda a ambos os casos - esforço normal constante ou variável. Neste caso, tomando-se em torno do ponto um trecho de comprimento desta barra, denimos a deformação média neste intervalo como: ε medio = u( + ) u() A partir desta deformação média no intervalo e +, denimos a deformação no ponto como: Logo a medida de deformação linear a ser utilizada é: u( + ) u() ε = lim 0 ε = du d Esta denição, considerada para deformações apenas numa única direção será utilizada em seguida para casos onde temos deslocamentos u, v e w presentes, como ocorre nos casos mais compleos da Mecânica dos Sólidos ou da Resistência dos Materiais no estudo de problemas envolvendo estados triaiais de tensão. 4. Relações Deslocamento Deformação Neste item apresentamos a denição formal das medidas de deformação válidas para um estado triaial de tensão e/ou deformação em regime de pequenos deslocamentos e pequenas deformações Deformações Lineares Inicialmente, consideramos o caso das deformações lineares em torno de um ponto conforme ilustrado na Fig. 4.4, onde são mostrados a projeção sobre um plano coordenado dos deslocamentos ocorrentes em 3 pontos P, A, B de um corpo sujeito a deformações. Desta gura identicamos os seguintes elementos:, v B B" B' Δ A' P' A" P Δ A Figura 4.4: Deslocamentos em torno de um ponto projetados num plano paralelo ao plano. Deslocamento de P (u P ): u(,, z), v(,, z), w(,, z)., u

9 8 CAPÍTULO 4. ESTADO DE DEFORMAÇÕES Deslocamento de A (u A ): u( +,, z), v( +,, z), w( +,, z). Deslocamento de B (u B ): u(, +, z), v(, +, z), w(, +, z). Denimos a deformação linear na direção como: ε = P A P A lim P A 0 P A Admitindo pequenas deformações, vem: e camos com: mas: ε = P A = P A P A P A lim P A 0 P A P A = P A = P A + u A u P = + u A u P logo: Analogamente, nas direções e z, temos: + u A u P ε = lim 0 u( +,, z) u(,, z) ε = lim 0 ε = u u ε = lim 0 Direção Desl. Desl. relativo Comp. inicial Deformação u u ε v v ε z w w z ε zz Tabela 4.1: Deformações nas direções z Logo, podemos denir ou adotar como medidas de deformação linear nas direções e z: v ε = lim 0 ε = v w ε zz = lim z 0 z ε zz = w 4.. Deformações Angulares Passamos, em seguida, a considerar a deformação angular no plano que denimos como sendo a medida da distorção angular sofrida por um ângulo reto neste plano. Com os valores indicados na Fig. 4.4m, denimos, então: γ = α + β (4.1) Cálculo de α e β: Admitindo pequenas rotações: tgα = AA P A tgα = α = AA P A (4.) (4.3)

10 4.. RELAÇÕES DESLOCAMENTO DEFORMAÇÃO 83 onde α é o valor médio da distorção α para valores de e nitos que vale, então: AA α = lim P A 0 P A v( +,, z) v(,, z) α = lim 0 P A + P A u v( +,, z) v(,, z) α = lim 0 + u Assumindo u 1, então: ( 1 + u ) = O que acarreta α = v. De forma análoga, concluímos que β = u v( +,, z) v(,, z) α = lim 0 obtendo então: Procedendo de modo similar nos planos z e z, obtemos: γ = v + u γ z = w + u γ z = w + v Utilizamos para compor o tensor ou matriz de deformação os seguintes valores: (4.4) (4.5) (4.6) ε = 1 γ (4.7) ε z = 1 γ z (4.8) ε z = 1 γ z (4.9) 4..3 Tensor de Deformação Com as denições vistas nas seções anteriores, ca assim denido o tensor de deformações ε: Sendo: ε = ε ε ε z ε ε ε z ε z ε z ε zz ε = u ε = v ε zz = w ε = 1 ( v + u ) ε z = 1 ( w + u ) ε z = 1 ( w + v ) (4.10) Considera-se, neste caso, que ε = ε, ε z = ε z e ε z = ε z, resultando que é um tensor simétrico, isto é ε ε (4.11) (4.1) (4.13) (4.14) (4.15) (4.16) T = ε.

11 84 CAPÍTULO 4. ESTADO DE DEFORMAÇÕES 4.3 Cálculo de Deformações numa direção qualquer Deformações Lineares em direções quaisquer Consideramos, aqui, um vetor unitário numa direção arbitrária N num ponto P de um corpo e um segmento P Q que na conguração indeformada, possui comprimento n, sendo que após deformação, P Q torna-se P Q, como indicado na Fig Nosso objetivo é calcular a deformação linear nesta direção N no ponto P. Δn Q N ~ direção n P z Figura 4.5: Deformação numa direção arbitrária N Dados ũ- Campo de deslocamentos ε- Tensor de deformações referido a um sistema, Ñ- Vetor dos cossenos diretores da direção em que deseja-se determinar a deformação linear ε nn ε = ε ε ε z ε ε ε z ε z ε z ε zz ε nn = e Ñ = [ l n l n l nz ] T δ n lim n 0 n =? δ n Variação de comprimento de um segmento P Q, que está na direção de Ñ cujo vetor diretor da direção P Q é: Ñ = [ l n l n l nz ] T direção PQ A determinação do deslocamento na direção n u n, considerando que u n é a projeção do campo ũ(,, z) na direção n (denida por seu unitário Ñ), é dada por: onde u n = ũ Ñ (Projeção de ũ sobre Ñ) ũ = [ u u u z ] T = [ u v w ] T Podemos então escrever, com ĩ, j, - unitários das direções, e z, respectivamente, que: k Da denição de deformação: u n = u (ĩ Ñ) + u (j Ñ) + u z Ñ) = u l n + u l n + u z l nz (4.17) (k ε nn = u n Q u n P lim n 0 n = du n dn onde n comprimento do segmento P Q e, e z são as projeções ortogonais de n sobre os eios coordenados. Mas: du n dn = u n d dn + u n d dn + u n dz dn Assim, a deformação linear na direção de Ñ que é a derivada direcional de ũ nesta direção Ñ, pode ser obtida substituindo na equação 4.18 a denição 4.17, sendo dada por: (4.18)

12 4.3. CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES NUMA DIREÇÃO QUALQUER 85 du n dn = [u l n + u l n + u z l nz ] d dn + [u l n + u l n + u z l nz ] d dn + [u l n + u l n + u z l nz ] dz dn (4.19) substituindo d dn, d dn e dz dn da equação 4.19 pelos cossenos diretores de Ñ: l n, l n e l nz respectivamente. teremos: ε nn = u l n + u + l n + u ( z u l nz + + u ) l n l n ) ( u l n l nz + + u z ( u + u z ) l n l nz (4.0) Podemos dizer que: ( u + u ) l n l n = 1 ( u + u ) l n l n + 1 ( u + u ) l n l n (4.1) Substituindo o quarto termo de 4.0 pela epressão 4.1 e procedendo de modo analogo para o quinto e seto termos teremos obtemos de 4.0: ε nn = u l n + 1 ( u + u ) l n l n + 1 ( u + u ) z l n l nz + 1 ( u + u ) l n l n + u l n + 1 ( u + u ) z l n l nz + 1 ( uz + u ) l n l nz + 1 ( uz + u ) l n l nz + u z l nz (4.) Introduzindo as deformações medidas com rlação aos eios z na equação 4., teremos: ε nn = ε l n + ε l n l n + ε z l n l nz +ε l n l n + ε l n + ε z l n l nz +ε z l nz l n + ε z l nz l n + ε zz l nz (4.3) que pode ser epressa na forma matricial como: ε nn = [ ] l n l n l nz ε ε ε z ε ε ε z l n l n (4.4) ε z ε z ε zz l nz ou ainda: ε nn = N T Ñ (4.5) ε É importante notar que a epressão para determinação de ε nn tem eatamente a mesma forma que aquela utilizada para a determinação de σ nn obtida no estudo do estado triaial de tensões. Considerando que Ñ possa indicar as direções de, ou z, podemos facilmente ver que as deformações lineares medidas com relação aos eios z, podem ser obtidas através desta epressão, conforme mostrado em seguida. Assim, no caso em que Ñ seja, temos imediatamente: ε = ε l + ε l l + ε z l l z +ε l n l + ε l + ε z l l z +ε z l zl + ε z a zl + ε zz l z (4.6) Esta epressão pode ser escrita como: ε = [ l l l z ] ε ε ε z ε ε ε z ε z ε z ε zz l l l z (4.7)

13 86 CAPÍTULO 4. ESTADO DE DEFORMAÇÕES Tomando n como sendo o eio rotacionado em relação a z, temos, a partir da equação 4.36: ] ε = [ l l l z ε ε ε z ε ε ε z ε z ε z ε zz l l l z (4.8) Procedendo de modo análogo para eio rotacionado z obtemos: ε z z = [ l z l z l z z ] ε ε ε z ε ε ε z ε z ε z ε zz l z l z l z z (4.9) 4.3. Deformações Angulares em planos quaisquer Podemos agora considerar duas direções ortogonais no ponto P, Ñ e S, conforme gura 4.6. Os segmentos P Q e P R tem comprimentos n e s, respectivamente, no estado indeformado. direção n direção s S~ R P P' Q R' Q' N~ configuração deformada un = u ln + u mn + uz nn us = u ls + u ms + uz ns u =[ uz] u u z configuração inicial Figura 4.6: Deformação cisalhante no plano denido por S e N Após deformação, os pontos P, Q e R tornam-se P, Q e R, com alteração do ângulo entre os segmentos denidos por estes pontos, caracterizando deformação cisalhante no plano denido por P Q e P R (ou por Ñ e ) como: S ε ns = 1 ( un s + u ) s (4.30) n Epressando u n e u s em termos das componentes de deslocamento, temos: u n = ũ Ñ = u l n + u l n + u z l nz = i u s = ũ S = u l s + u l s + u z l sz = i u i l ni u i l si (4.31) Logo, podemos escrever: ε ns = 1 [ s (u l n + u l n + u z l nz ) + ] n (u l s + u l s + u z l sz ) Entretanto: u i s = u i d ds + u i d ds + u i dz ds u i n = u i d dn + u i d dn + u i dz dn que são válidas para i =, ou z. Aplicando estas relações a Eq de ε ns e considerando-se que: d ds = l s d dn = l n d ds = l s d dn = l n dz ds = l sz dz dn = l nz

14 4.3. CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES NUMA DIREÇÃO QUALQUER 87 Onde o índice i do somatório assume os valores, e z. Substituindo as epressões em 4.31 em 4.30, camos com: { ( ) ( )} { ε ns = 1 u i l ni + u i l si = 1 u i s n s l ni + } u i n l si (4.3) i i i i onde u i s e u i n são derivadas direcionais e podem ser epressas como: u i s = u i d ds + u i d ds + u i dz ds u i n = u i d dn + u i d dn + u i dz dn (4.33) Substituindo 4.33 em 4.3, temos: { ε ns = 1 i [ ui d ds + u i d ds + u i ] dz l ni + ds i [ ui d dn + u i d dn + u ] } i dz l si dn (4.34) Utilizando as epressões de denição dos cosenos diretores das direções Ñ e S, podemos substituir na equação 4.34, realizar o somatório e reordenar os termos obtidos resultando na seguinte equação: ε ns = u l nl s + 1 ( u + u ) l n l s + 1 ( u + u ) z l n l sz + 1 ( u + u ) l n l s + u l nl s + 1 ( u + u ) z l n l sz + 1 ( uz + u ) l nz l s + 1 ( uz + u ) l nz l s + u z l nzl sz (4.35) que pode ser escrito como: ou ainda: nalmente, na forma matricial: ε ns = ε l n l s + ε l n l s + ε z l n l sz + ε l n l s + ε l n l s + ε z l n l sz + ε z l nz l s + ε z l nz l s + ε zz l nz l sz ε ns = ε l s + ε l s + ε z l sz ε l s + ε l s + ε z l sz ε z l s + ε z l s + ε zz l sz ε ns = [ l s l s l sz ] T ε ns = S T ε ε ε z ε ε ε z ε z ε z ε zz ε l n l n l nz l n l n l nz (4.36) Ñ (4.37) Tomando n e s como um par de eios rotacionados em relação a z, temos, a partir da equação 4.36: ε = [ ] ε ε ε z l l l l z ε ε ε z l (4.38) ε z ε z ε zz l z Se tomamos n e s como um par de eios rotacionados z em relação a z, temos, a partir desta mesma equação 4.36: ε z = [ ] ε ε ε z l z l l l z ε ε ε z l z (4.39) ε z ε z ε zz l z z Com n e s sendo um par de eios rotacionados z em relação a z, temos, partindo novamente desta equação 4.36: ε z = [ ] ε ε ε z l z l l l z ε ε ε z l z (4.40) ε z ε z ε zz l z z

15 88 CAPÍTULO 4. ESTADO DE DEFORMAÇÕES 4.4 Rotação do Tensor de Deformação As equações 4.7, 4.8 e 4.9, para a determinação das deformações lineares num sistema de eios z podem, imediatamente serem reescritas de forma conveniente como: ε = Ñ T ε ε = Ñ T ε ε z z = Ñ T z ε Ñ (4.41) Ñ (4.4) Ñ z (4.43) Para a determinação das deformações angulares num sistema de eios z podemos, imediatamente reescrever as equações 4.38, 4.39 e 4.40 de forma conveniente: ε = Ñ T ε ε z = Ñ T ε ε z = Ñ T ε Ñ (4.44) Ñ z (4.45) Ñ z (4.46) Matricialmente, podemos englobar esses dois conjuntos de relações cando com: l l l z ε = l l l z l z l z l z z ε ε ε z ε ε ε z ε z ε z ε zz l l l z l l l z l z l z l z z (4.47) ou de forma simplicada: ε = ε R R T (4.48) Esta epressão nos permite, dado segundo um sistema de eios z obter referido ou medido noutro sistema de eios ε ε z. tendo em vista o caráter de matriz ortogonal de pode-se concluir que: R ε = R T ε (4.49) R As epressões acima mostradas representam ou denem a mudança ou transformação de um tensor de deformação referido a um sistema de eios ortogonais quando modicamos, através de uma rotação, este sistema. Deve-se observar a semelhança com as epressões já obtidas no estudo da transformação do tensor de tensão. 4.5 Deformações Principais no Estado Triaial de Deformações Denimos direções principais do tensor de deformação como as direções segundo as quais o tensor de deformação é diagonal e denominamos essas direções por 1,, 3 (direções principais; as deformações nessas direções chamamos ε de deformações principais. Neste caso temos: ε 1 = ε 13 = ε 3 = 0 e ε = ε ε ε 3 Como no plano cuja normal é uma direção principal não eistem distorções angulares, o vetor de deformações nesse(s) plano(s) só possuirá a componente na direção normal a este plano principal, isto é, o que, como no caso do estado triaial de tensões, nos permite escrever que: ε χe = ε e χe ε χe ε e χe = ( ) 0 ε e Ĩ χe = ε 0 onde denominamos por ε e uma deformação principal e por χ a deformação principal, e como no caso da determinação e das direções principais de σ, esta equação só terá soluções diferentes da trivial se: ( ) det ε ε e Ĩ = 0

16 4.6. EXEMPLO 1 89 Logo, considerando um estado de deformações geral num ponto P do corpo para determinar as deformações principais, é preciso satisfazer esta equação, onde é o tensor de deformações, ε e é a incógnita deformação principal e I é a matriz identidade de ordem 3 3. Temos então: ε que dá origem a equação cúbica: det ε ε e ε ε z ε ε ε e ε z ε z ε z ε zz ε e = 0 (4.50) ε 3 e J 1 ε e + J ε e J 3 = 0 Equação caracteristica (4.51) onde J 1, J e J 3 são denominados de invariantes do tensor de deformação que são dados por: J 1 = ε + ε + ε zz (4.5) [ ] [ ] [ ] ε ε J = det ε ε + det z ε ε + det z ε ε ε z ε zz ε z ε zz J 3 = det ε ε ε z ε ε ε z ε z ε z ε zz (4.53) (4.54) Resolvendo a equação 4.51, cam determinadas as três deformações principais. Para determinação das respectivas direções principais, é necessário que se resolva o sistema abaio três vezes, isto é, para cada valor de deformação principal subtituindo ε e : ε ε e ε ε z ε ε ε e ε z ε z ε z ε zz ε e l n l n l nz = (4.55) Dessa forma, cam determinadas as componentes l n, l n e l nz do vetor diretor (unitário) da respectiva direção principal. 4.6 Eemplo 1 Dados dois tensores de deformação, referidos a dois sistemas de eios z e z, pergunta-se: e ε ε representam o mesmo estado de deformação? Dados: ε = z 10 6 ε = z 10 6 Solução: ε: Para que e ε ε representam o mesmo estado de deformação é necessário que seus invariantes sejam iguais. Para J 1 = J = ( ) 10 6 = 8 10 J 3 = = 17 Para ε : J 1 = J = ( ) 10 6 = Como J J e ε ε não representam o mesmo estado de deformação.

17 90 CAPÍTULO 4. ESTADO DE DEFORMAÇÕES 4.7 Estado Plano de Deformações Assim como o Estado Plano de Tensões é um caso especial do estado triaial de tensões, o mesmo ocorre aqui. Para efeito deste estudo, vamos considerar, por eemplo, o caso em que que as únicas deformações diferentes de zero sejam apenas as deformações: ε, ε e ε. Supomos, neste caso, um tensor de deformação da seguinte forma: ε ε 0 ε = ε ε Deformações Normais e Cisalhantes numa Direção Qualquer Supondo que sejam conhecidas as deformações ε, ε e ε em torno de um ponto P, sendo as demais componentes de deformação nulas, para avaliar as deformações ε, ε e ε, com rotacionados de um ângulo θ em relação a conforme gura 4.7, basta aplicar as equações 4.4 e ' ' Figura 4.7: Rotação dos eios e Estas equações, reescritas abaio, determinam as deformações lineares e angulares nas direções Ñ e S e tomando a direção nn como sendo uma direção e ss como sendo uma direção podem ser aplicadas ao caso particular aqui considerado. Neste caso ε nn ε e ε ns ε. Sabemos que: ε nn = Ñ T εñ e ε ns = S T Ñ ε Essas epressões reduzem-se deste modo, neste caso particular, às seguintes relações: ε ε A epressão para a determinação de ε substituimos θ por θ + π, resultando em: = ε + ε = ε ε + ε ε senθ + ε cos θ cos θ + ε senθ (4.56) pode ser facilmente obtida a partir da primeira destas relações quando ε = ε + ε ε ε cos θ ε senθ (4.57) 4.7. Deformações Principais no Estado Plano de Deformações Para a determinação das deformações principais neste caso utilizamos: [ ] ε ε det e ε = 0 ε ε ε e onde ε e são as deformações principais. O cálculo do determinante acima resulta em: (ε ε e )(ε ε e ) ε = 0 ε e (ε + ε )ε e + ε ε ε = 0

18 4.8. ANÁLISE EXPERIMENTAL - STRAIN-GAGES 91 ε e = ε + ε ε 1, = ε + ε Assim,cam denidas duas deformações principais. ± ± (ε ε (ε ε ) + ε (4.58) ) + ε (4.59) Para localizar as direções principais em relação aos eios com deformações conhecidas, partimos da derivada da epressão de ε com relação a θ que igualada a zero nos fornece o ângulo segundo o qual temos um valor etremo para ε. A partir deste ângulo podemos determinar os valores das deformações principais com esta mesma epressão de ε. Obtemos então: tgθ = ε (4.60) ε ε Esta equação trigonometrica possui duas soluções θ p1 e θ p = θ p1 + π nos fornece as deformações principais. que, substituídas na primeira das equações Círculo de Mohr para Estado Plano de Deformações Do mesmo modo como ocorre no estudo do estado plano de tensões, as duas equações 4.56, que determinam um conjunto de deformações, sugerem a utilização do circulo de Mohr para a representação gráca do estado de deformação em torno de um ponto. Neste caso, na abscissa são representadas as deformações normais e na ordenada as deformações cisalhantes. Vericamos isto procedendo de modo similar ao caso do estado plano de tensões denidas no capítulo anterior: ε = ε + ε + ε ε cos θ + ε senθ que podem ser reescritas como: ε = ε ε ε ε m = ε ε senθ + ε cos θ cos θ + ε senθ ε = ε ε senθ + ε cos θ Elevando ao quadrado ambos os membros das duas equações acima e somando-os obtemos: ( ) (ε ε m) + ε = ε ε + ε (4.61) com ε m = ε + ε. A Eq é a equação de uma circunferência com centro no eio dos ε no ponto de abcissa ε m e cujo raio é: (ε ε R = ) + ε No círculo de Mohr (Fig. 4.8, do mesmo modo que no caso do estudo do estado de tensões em torno de um ponto, podemos representar as deformações principais em torno do ponto, bem como a máima deformação cisalhante. Além disso, todos os pares de deformação linear e cisalhante para o conjunto de todas as direções no plano considerado podem ser considerados. 4.8 Análise Eperimental - Strain-Gages As relações das deformações em direções quaisquer em função das componentes do tensor de deformação em problemas planos, permite-nos resolver questões da análise eperimental de estruturas, já que torna possível, a partir de medidas de deformações, estabelecer os valores das tensões ocorrentes em um ponto. As deformações lineares em torno de um ponto podem ser medidas por dispositivos denominados de strain-gages ou etensômetros a partir da variação de sua resistência elétrica.

19 9 CAPÍTULO 4. ESTADO DE DEFORMAÇÕES '' R C '' e m e1 Figura 4.8: Circulo de Mohr para o Estado Plano de deformações Os strain-gages são constituídos por um lamento no, normalmente protegido por plástico ou folha metálica, que é rmemente colado no ponto da superfície livre de um corpo onde deseja-se medir deformações. Após aplicação do carregamento, o corpo se deforma, assim como o etensômetro, provocando neste uma variação de sua resistência elétrica, que pode ser correlacionada com a variação de seu comprimento. Utilizando as relações de um circuito elétrico denominado Ponte de Wheatstone, essa variação da resistência pode ser determinada e a deformação linear na direção do strain-gage pode ser conhecida. A partir das medidas das deformações lineares medidas em três direções, podemos determinar o estado de deformação no ponto considerado. Para tanto, utiliza-se um agrupamento de três desses dispositivos organizados em um conjunto denominado roseta. As guras 4.9(a) e 4.9(b) mostram três rosetas bastante utilizadas, nas quais são medidas deformações em direções variando de 0 o a 10 o. Deve-se notar que as rosetas são pequenas em relação ao corpo o suciente para que suas deformações representem o estado de deformação em um ponto. (a) Roseta 0/45 o /90 o (b) Roseta 0/60 o /10 o (c) Roseta 10 o /10 o /10 o Figura 4.9: Tipos comerciais de rosetas de strain-gages Para o cálculo de ε, ε e ε, considerando que foram medidos os valores das deformações ε 1, ε e ε 3 em três diferentes direções indicadas por suas posições θ 1, θ, e θ 3, na equação 4.56, obtem-se um sistema de três equações e três incógnitas que, resolvido, fornece-nos o estado de deformação em torno do ponto. ε 1 = ε + ε ε = ε + ε ε 3 = ε + ε + ε ε + ε ε + ε ε cos θ 1 + ε senθ 1 (4.6) cos θ + ε senθ (4.63) cos θ 3 + ε senθ 3 (4.64) Assim, cam denidas ε, ε e ε, permitindo que as deformações principais sejam calculadas. 4.9 Deformação Volumétrica Além das medidas de deformação que compõe o tensor de deformação, uma outra medida de interesse é a chamada deformação volumétrica que mede a variação relativa de um cubo de arestas d, d e dz retirado em torno de um ponto. Para um cubo de arestas d, d e dz, após o equilíbrio, estas arestas variam seu comprimento de acordo com: d = d(1 + ε ) d = d(1 + ε ) dz = dz(1 + ε zz ) O volume inicial do cubo é V 0 = dddz, enquanto o volume deformado é dado por V 1 = d d dz e podemos então denir uma nova medida de deformação que é a deformação volumétrica dada como: ε V = V 1 V 0 V 0 Ficamos então com: ε V = d(1 + ε )d(1 + ε )dz(1 + ε zz ) dddz dddz

20 4.9. DEFORMAÇÃO VOLUMÉTRICA 93 ou: ε V = ε + ε + ε zz + ε ε + ε ε zz + ε ε zz + ε ε ε zz Para pequenas deformações, podemos armar que: ε V = ε + ε + ε zz Deformação volumétrica em termos de tensão Usando a Lei de Hooke Generalizada(?), temos: ε V = σ E ν E (σ + σ zz ) + σ E ν E (σ + σ zz ) + σ zz E ν E (σ + σ ) Logo: e: ou: com = σ + σ + σ zz. trσ ε V = 1 E (σ + σ + σ zz ) ν E (σ + σ + σ zz ) ε V = 1 ν E (σ + σ + σ zz ) ε V = 1 ν E trσ Constatamos então que, para tensores com trσ = 0 não eistem variações de volume no sólido, mas apenas mudança de forma.