TENSÕES NOS SOLOS CONCEITO DE TENSÕES NO SOLO

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1 CONCEITO DE TENSÕES NO SOLO Aplicação da Mecânica dos Sólidos Deformáveis aos solos conceito de tensões num meio particulado os solos são constituídos por partículas e as forças são transmitidas de partícula a partícula e suportadas pela água dos vaios. Transmissão de esforços entre as partículas Partículas granulares transmissão de forças através do contato direto grão a grão; Partículas de argila pode ocorrer através da água adsorvida A transmissão se dá por áreas muito reduidas. Ao longo de um plano horiontal no solo tem-se esforços decompostos em componentes normais e tangenciais. Conceito de tensão total em um meio contínuo Conceito de tensão normal: Conceito de tensão tangencial: N área T área Tensões de contato (> 700MPa) >>>> tensões totais assim definidas (< 1 MPa) áreas de contato muito pequenas (< 1% da área total) τ

2 TENSÕES NA MASSA DE SOLO Tensões devido ao peso próprio Tensões devido a propagação de cargas externas aplicadas ao terreno. Tensões devido ao peso próprio do solo Caso geral - terreno inclinado Semi-espaço infinito, solo homogêneo acima do NA, elemento de solo de espessura unitária. Por equilíbrio: Σ F H 0 E e E d Σ F V 0 W R W peso do elemento unitário de solo W bo 1 γ b cosi γ v tensão atuante na base do elemento de solo v R b γ cosi v Caso particular - terreno horiontal e plano, com constância horiontal nas camadas e ausência de cargas externas - tensões geostáticas tensões cisalhantes nos planos horiontal e vertical são nulas v γ solo estratificado camadas uniformes de espessuras 1,,..., com pesos específicos γ 1, γ,... v γ γ γ n n

3 Exemplo de cálculo Pressão neutra (ou poropressão) - u ou u w Pressão na água dos vaios dos solos corresponde a carga pieométrica da lei de Bernoulli. u γ w w Tensões efetivas - Z w altura da coluna d água Teraghi estabeleceu que abaixo do NA a tensão normal total em um plano qualquer soma de duas parcelas: Tensão transmitida pelos contatos entre as partículas tensão efetiva ( ) - extremamente difícil mensuração! Pressão na água dos poros (u w ) Num caso mais genérico (solo não saturado): Pressão no ar dos poros (u a )

4 Para um elemento de solo tem-se a seguinte condição de equilíbrio: A ' A para solo saturado: w tensão total tensão efetiva u w poropressão na água (pressão neutra) u a poropressão no ar c A ' A c + u + u w A w A w + u a A A área total A c área de contato A w área de água A a área de ar Como A c <<<<< A impossível mensuração definido pelo Princípio das tensões efetivas a Princípio das tensões efetivas: A tensão efetiva (solos saturados) pode ser expressa por: ' u Todos os efeitos mensuráveis das variações de tensões (deformações e resistência ao cisalhamento) são devido a variações na tensão efetiva - associados ao deslocamento relativo das partículas de solo. Experiência que ilustra o conceito de tensão efetiva

5 Implicações do conceito de tensões efetivas Na prática da Mecânica dos Solos define-se tensão efetiva como a tensão que efetivamente atua nos contatos grão a grão, respondendo pelas características de deformabilidade e resistência ao cisalhamento dos solos. A tensão deixa de ser calculada pela equação equilíbrio de esforços, mas continua sendo conceitualmente considerada a tensão no esqueleto mineral; Ao passo que, com poucas exceções, toda a deformação nos solos está relacionada a variação na tensão efetiva, o solo pode sofrer deformação sem sofrer acréscimo de tensão total, basta que haja variação da pressão neutra; Solos argilosos podem apresentar comportamento viscoso, sujeitos a creep (adensamento secundário), manifestando deformações lentas a tensão efetiva constante; A resistência ao cisalhamento dos solos é em parte devido ao atrito entre as partículas, função das tensões de contato entre as partículas. Cálculo da tensão efetiva

6 Exemplo de cálculo No caso geostático, as tensões horiontais associadas às tensões verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo no repouso (K 0 ). Relação entre tensões efetivas horiontal ( h ) e vertical ( v ) No caso geostático as tensões horiontais associadas às tensões verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo no repouso (K 0 ). K ' 0 ' v O valor de K 0 varia entre 0,3 e 3 dependendo do tipo de solo, história de tensões, plasticidade,... VALORES TÍPICOS: Tipo de solo K 0 areia fofa 0,50 areia densa 0,40 argila de baixa plasticidade 0,50 argila muito plástica 0,65 argila pré-adensada > 1 solos compactados > 1 h

7 Efeito da capilaridade Por efeito da tensão superficial entre a água e a superfície das partículas a água consegue subir acima do nível freático a uma altura maior quanto menor forem os vaios. Tensão superficial da água e tensões capilares T (água a 0 o C) 0,073 N/m h c T r γw Distribuição das poropressões u u w (?) + u a (?) u w - (γ w ) Exemplo de cálculo u w γ w

8 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Tensões devido a cargas externas - propagação e distribuição Tensões devido a cargas externas Além do peso próprio da massa de solo, as tensões no solo podem ser originadas por carregamentos externos. A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são instaladas obras de engenharia. Distribuição das tensões Experiências dos primórdios da Mecânica dos Solos: os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a área de projeção da área carregada; o somatório dos acréscimos de tensões verticais é constante em profundidade; como a área de atuação aumenta o valor das tensões verticais diminuem com a profundidade.

9 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Bulbos de tensões Bulbos de tensões ou isóbaras são superfícies unindo pontos de mesmo acréscimo de tensões. Para efeito de projetos convenciona-se 0,1 0 como o bulbo de tensões mais afastado superfície mais distante sob efeito da carga externa. Método do espraiamento das tensões Simplificadamente o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com umângulo de espraiamento de 30 o. Ex: para um carregamento ao longo de uma faixa de carregamento infinito: v 0 L L + tg30 o

10 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos O método do espraiamento não satisfa o princípio da superposição dos efeitos. Método empírico de Kögler e Scheidig para a propagação e distribuição das tensões Kögler e Scheidig ( ) experimentos com o carregamento de placas de diferentes formas e medindo-se por instrumentação as tensões verticais no interior de substratos de areia compactada. Soluções propostas: Para cargas em faixas de largura B B 0 B + tgθ Para cargas aplicadas em placas circulares de raio R R 0 (R + tgθ) Para cargas aplicadas em placas quadradas de lado A A 0 (A + tgθ) Para cargas aplicadas em placas retangulares de lados A e B 0 A B (A + tgθ) (B + tgθ) θ 30 o para solos predominantemente argilosos e pouco rígidos θ 45 o para solos predominantemente granulares e compactos

11 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Aplicação da Teoria da Elasticidade Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utiliadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke (material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo). Considerações sobre hipóteses da teoria da elasticidade A aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos solos é questionável, pois os mesmos não satisfaem os requisitos das hipóteses: Comportamento linear (relação tensão-deformação linear) e elástico (deformações reversíveis) para que seja válida os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas deformações) tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura. Resulta válido o Princípio da Superposição dos Efeitos; Homogeneidade (mesmas propriedades em todos os pontos) foge a realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua naturea e também apresenta relações tensãodeformação variáveis com a tensão de confinamento, logo variável com a profundidade; Isotropia O solo é em muitos casos anisotrópico pela naturea e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição de isotropia é válida para em terrenos onde o solo mantém constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vees a menor dimensão da área carregada. Para estas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade é também válido o Princípio de Saint-Venant Desde que as resultantes de dois carregamentos sejam as mesmas, o estado de tensões numa região suficientemente afastada da aplicação do carregamento independe da forma com que o carregamento é aplicado. Soluções com base na Teoria da Elasticidade Solução de Boussinesq para carga concentrada Boussinesq determinou tensões, deformações e deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície horiontal, devido a uma carga puntual aplicada na superfície deste semi-espaço.

12 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos 3 P π Acréscimo de tensão vertical cos 5 θ ou P N B onde N B 3 π r 5 Para pontos na vertical abaixo da carga (/r 0) 0,48P r P π t Acréscimo de tensão horiontal radial [3cos 3 cos θ θsen θ (1 ν) ] 1+ cosθ Acréscimo de tensão transversal P (1 ν) π [cos 3 cos θ θ ] 1+ cosθ

13 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos O coeficiente de Poisson Tensão cisalhante P τ π 3 4 cos θsen θ ε ν ε x se relaciona ao coeficiente de empuxo no repouso ν K0 1 ν Solução de Melan para carga ao longo de uma linha de extensão infinita Melan (193) integração em linha da equação de Boussinesq 3 Q x π ( + x ) Q π x ( + x ) ou de outra forma Q cos π 4 θ Q em kn/m Solução de Carothers-Teraghi para carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de extensão infinita A partir da equação de Melan. β ângulo entre a vertical e a bissetri de α α ψ - θ β θ + α Q (sen α cos β + α) π x Q ( sen α cos β + α) π y 4Q ν α π onde ν: coeficiente de Poisson e α é expresso em radianos Q em kn/m

14 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Solução gráfica

15 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Solução de Osterberg para carga distribuída na forma de trapéio retangular em uma faixa de extensão infinita Solução gráfica para sob a faixa de carregamento: A solução apresenta o efeito da semi-largura do carregamento. Por sobreposição dos efeitos: 0 ( I lado esquerdo I lado direito) + γ espessura do aterro onde no caso de um aterro: 0 aterro Para pontos situados fora da projeção da faixa de carregamento usar a solução para carga uniformemente distribuída de Carothers-Teraghi.

16 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Solução de Carothers para carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão infinita Solução gráfica (ν 0,45) para acréscimos de tensão vertical ( 1 ) e de tensão horiontal ( x 3 ):

17 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Solução de Love para carga uniforme sobre superfície circular A fórmula de Love (Love, 199) obtida a partir da integração da solução de Boussinesq permite o cálculo do acréscimo de tensão vertical ao longo da vertical que passa pelo centro de uma placa circular uniformemente carregada: 0 1 [ ] 1+ ( R ) 3 Soluções gráficas (para ν 0,45) 1

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19 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular Solução de Newmark Newmark (1933) a partir da integração da equação de Boussinesq, solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço infinito de superfície horiontal por carregamento uniformemente distribuído numa área retangular. Equação: 0 4π a m Solução gráfica: 0,5 [ m n (m + n + 1) ] + n + 1+ m n b n (m + n + ) m n (m + n + 1) + arctg ) (m + n + 1) m + n + 1 m n (m entrada: m e n tem-se I 0 Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela. I 0,5

20 Solução de Steinbrenner Tensões no vértice do retângulo a uma profundidade. Equação: onde: e a > b Solucão gráfica: entrada /b e a/b saída π R ) (a ) (R a b b ) (R ) (R ) b (a ) (R a ) b (a a b arctg 0 b a R i DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos

21 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer - Método dos quadradinhos (Ábaco circular de Newmark) Esta solução tem por base a equação de Love e o Princípio da Superposição dos Efeitos. Quando é aplicada uma carga uniformemente distribuída sobre uma superfície, a tensão gerada a uma dada profundidade é igual ao somatório dos efeitos dos carregamentos em áreas parciais Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo acréscimo de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma profundidade corresponde a 10%, 0%, 30%,... da carga total aplicada. Logo, cada um dos anéis apresenta I 0,1. Da equação de Love: ( ) R 3 I ( R ) 3 Como I f(r/) o traçado dos círculos segue a seguinte tabela: O ábaco é ainda dividido em 0 setores de igual área, originando trapéios circulares ( quadradinhos ) cuja unidade de influência I0,005

22 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Uso do ábaco É desenhada a planta da área carregada na mesma escala de construção do ábaco (AB ), sendo este centrado no ponto onde deseja-se determinar o acréscimo de tensões; Conta-se o número de quadradinhos n abrangidos pela área de carregamento (devem ser contabiliadas de maneira fracionada os quadradinhos ocupados parcialmente); O acréscimo de tensão vertical será dado por: 0 sendo I 0,005 n I É necessário repetir os procedimentos para cada profundidade que se deseja conhecer as tensões porque modifica a escala do desenho. Exemplo:

23 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Soluções de Mindlin (1936) e Antunes Martins (1945) para carga distribuída ao longo de um elemento vertical inserido na massa de solo As soluções consideram a transmissão de carga por uma estaca através do atrito ao longo do fuste e pela ponta para uma massa de solo homogênea, isotrópica e semi-infinita. Mindlin (1936) parcela de acréscimo de tensão transmitida pela ponta P P p - parcela da carga transmitida pela ponta p p K K p - coeficiente de influência (ábaco - lado C direito) Antunes Martins (1945) parcela de acréscimo de tensão transmitida pelo fuste, admitindo atrito uniforme ao longo do comprimento da estaca. Pa P a - parcela da carga transmitida pelo fuste a K K a - coeficiente de influência (ábaco - lado C esquerdo)

24 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cear Bastos Outras soluções Soluções elásticas específicas ou soluções numéricas (p.ex. método dos elementos finitos). Bibliografia: Poulos e Davis Elastic solutions for soil and rock mechanics. Simplificações práticas com base na aplicação do Princípio de Saint-Venant Para uma área retangular carregada, para cotas > 3 b, a influência pode ser considerada igual a de uma carga puntual aplicada no centro de gravidade da área; A simplificação acima também é válida quando o raio vetor R da equação de Boussinesq é maior que 5x o lado menor b da superfície retangular; Para uma superfície retangular de lado maior > que 10x o lado menor, pode-se aplicar soluções para carga em faixa (p.ex. formulação de Carothers - Teraghi). Considerações sobre o emprego da Teoria da Elasticidade a solos não homogêneos As soluções apresentadas, baseadas na Teoria da Elasticidade, indicam acréscimos de tensões verticais que independem do Módulo de Elasticidade (E) e Coeficiente de Piosson (ν), visto as simplificações quanto a isotropia e principalmente homogeneidade. Na verdade o subsolo se apresenta em estratos constituídos por solos de variados módulos ou mesmo quando formados por um único material apresentam tendência natural a valores de módulos crescentes com profundidade necessidade de soluções mais elaboradas ou uso de soluções numéricas (métodos computacionais) uso difundido em Mecânica dos Pavimentos. Entretanto, apesar das reconhecidas limitações da Teoria da Elasticidade, as soluções aqui apresentadas ainda têm sido empregadas (mesmo para solos não homogêneos). A justificativa para tal é o fato de conduirem a resultados com raoável aproximação às medições experimentais.