Construir o elo de ligação entre o estado de tensão e o estado de deformação.

Transcrição

1 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Curso de ngenharia Civil Disciplina: Mecânica dos Sólidos 2 Código: CIV3 Professor: duardo Nobre Lages Relações Constitutivas Maceió/AL

2 Objetivo stado de Tensão stado de Deformação [ ] yx zx xy yy zy xz yz zz Relações Constitutivas [ ] yx zx xy yy zy xz yz zz Construir o elo de ligação entre o estado de tensão e o estado de deformação. duardo Nobre Lages CTC/UFAL

3 xemplo Ilustrativo P Bloco rígido k k 2 k 3 Qual o deslocamento do bloco? Quais as forças internas nas molas? quação de equilíbrio P f + f 2 + f 3 3 P f f 2 f 3 Relações constitutivas f k u f 2 k 2 u 2 f 3 k 3 u 3 2 Deslocamento vs. deformações u u u 2 u u 3 u Solução 2 3 u P/(k +k 2 +k 3 ) f k u f 2 k 2 u f 3 k 3 u 2 3 duardo Nobre Lages CTC/UFAL

4 Relações Constitutivas Caracterizam as propriedades associadas à rigidez e à resistência dos materiais Comportamento macroscópico: escala de trabalho na engenharia Comportamento microscópico: atenção na microestrutura do material P P P D H D 2 H 2 P D < D 2 H H 2 u u D D 2 H < H 2 duardo Nobre Lages CTC/UFAL

5 Relações Constitutivas P A(D) Curva única para os dois corpos de prova u H Observação: m situações reais poderá haver uma dependência da relação tensão-deformação com as dimensões do corpo de prova. Há portanto uma necessidade de padronização dos ensaios. duardo Nobre Lages CTC/UFAL

6 Curvas típicas tensão vs. deformação Metais: aço, alumínio etc p : tensão de proporcionalidade e : tensão de escoamento u : tensão última/limite u e p ruptura duardo Nobre Lages CTC/UFAL

7 Curvas típicas tensão vs. deformação Materiais friccionais: concreto, rocha, cerâmica etc duardo Nobre Lages CTC/UFAL

8 Propriedades dos Materiais Metais Dúcteis Comportamento semelhante na tração e compressão Não apresentam vazios a nível macroscópico Boa reprodução nos resultados dos ensaios Rigidez e resistência são independentes da tensão de confinamento O volume não varia quando submetido ao cisalhamento Friccionais Frágeis na tração Comportamento diferenciado na tração e compressão Propriedades variáveis c/ o índice de vazios ou porosidade Maior dispersão nos resultados dos ensaios Rigidez e resistência são dependentes (aumentam) da tensão de confinamento Variação significante do volume quando cisalhado duardo Nobre Lages CTC/UFAL

9 Propriedades dos Materiais Comportamento Linear e Não Linear Linear Não linear No comportamento linear observa-se a proporcionalidade entre a tensão e a deformação. Comportamento lástico e Inelástico lástico Inelástico O comportamento inelástico leva a diferentes curvas de carregamento e descarregamento, podendo apresentar deformações residuais. duardo Nobre Lages CTC/UFAL

10 Propriedades dos Materiais Fragilidade e Ductilidade Frágil Dúctil A ductilidade caracteriza-se pela presença de grandes deformações antes da ruptura ndurecimento e Amolecimento Amolecimento ( softening ) ndurecimento ( hardening hardening ) Com o softening observa-se o acréscimo de deformação com o decréscimo de tensão. duardo Nobre Lages CTC/UFAL

11 Propriedades dos Materiais Anisotropia (Isotropia): dependência (independência) das propriedades mecânicas com a direção da solicitação Materiais isotrópicos: xemplos: Metais, concreto não fissurado etc Materiais anisotrópicos: xemplos: madeira, concreto fissurado, concreto armado etc Observação: A anisotropia pode ser decorrente de um estado de plastificação do material duardo Nobre Lages CTC/UFAL

12 Propriedades dos Materiais Heterogeneidade (Homogeneidade): variação (invariância) pontual das propriedades mecânicas Material heterogêneo: xemplo: laminado de fibra de vidro Material homogêneo: xemplos: aço, concreto etc Observação: A resistência à tração do concreto apresenta variações pontuais, levando a um comportamento heterogêneo duardo Nobre Lages CTC/UFAL

13 Modelos Idealizados Uniaxiais lástico linear (Hooke) stabelecido pelo inglês Robert Hooke em 676 e publicado em 678 Proporcionalidade entre a tensão e a deformação A deformação é reversível A inclinação da reta tangente define este comportamento (d/d que é chamado de módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young) duardo Nobre Lages CTC/UFAL

14 Modelos Idealizados Uniaxiais lástico não linear (Hencky) Modelo Hiperbólico + Parâmetros: e L L L Utilizado na modelagem de solos arctg() Duncan & Chang (97) Nonlinear analysis of stress and strain in soils. Journal of Soil Mechanics and Foundation Division, ASC, vol 96, no. SM5, September. duardo Nobre Lages CTC/UFAL

15 Modelos Idealizados Uniaxiais Modelo de Popovics p p m m + p m p.75.5 m 3 m 2 Parâmetros: p, p e m.25 m 4 Permite a representação do softening Popovics, S. (973) A numerical approach to the complete stress strain curve for concrete. Cement and Concrete Research, 3(5), p duardo Nobre Lages CTC/UFAL

16 Modelos Idealizados Uniaxiais Rígido plástico perfeito (Saint Venant) lástico perfeitamente plástico Frágil duardo Nobre Lages CTC/UFAL

17 Modelos Idealizados Uniaxiais Viscoso ideal (Newtoniano) & Quase-viscoso (Stokes) & duardo Nobre Lages CTC/UFAL

18 Modelos Idealizados Uniaxiais Modelo de Maxwell, () nsaio de relaxação (t) e t (t) () t,25, 4, duardo Nobre Lages CTC/UFAL

19 Modelos Idealizados Uniaxiais Modelo de Maxwell, nsaio de fluência () / (t) t + (t) () t,25, 4, duardo Nobre Lages CTC/UFAL

20 Modelos Idealizados Uniaxiais Modelo de Kelvin, nsaio de relaxação () (t) duardo Nobre Lages CTC/UFAL

21 Modelos Idealizados Uniaxiais Modelo de Kelvin nsaio de fluência (t) ( ).5 () (t) e t 5 5 t,,25, 4, duardo Nobre Lages CTC/UFAL

22 Modelos Idealizados Uniaxiais Sólido Linear Padrão, nsaio de relaxação (t) ( ) 3 2 (t) 2 3 t () + e + 2, + t +,75 +,5 + 3, duardo Nobre Lages CTC/UFAL

23 Modelos Idealizados Uniaxiais Sólido Linear Padrão nsaio de fluência (t) 2 3 () + e (t).5, 5 ( ) t t,5, 2,, duardo Nobre Lages CTC/UFAL

24 feito Térmico e stado Geral de Tensões Material Isotrópico lástico Linear Homogêneo Variação da temperatura ambiente conhecida yy zz α T α: coeficiente de dilatação linear do material duardo Nobre Lages CTC/UFAL

25 feito Térmico e stado Geral de Tensões nsaio uniaxial Medições experimentais y z x : módulo de elasticidade longitudinal ν: coeficiente de Poisson yy zz ν ν ν ν duardo Nobre Lages CTC/UFAL

26 feito Térmico e stado Geral de Tensões stado multiaxial Superposição dos efeitos yy zz yy zz ν ν ν ( + ) yy ( + ) ( + ) zz zz yy duardo Nobre Lages CTC/UFAL

27 feito Térmico e stado Geral de Tensões nsaio simples de cisalhamento y xy yx z x Medições experimentais xy γ G: módulo de elasticidade transversal γ yx xy G yx G duardo Nobre Lages CTC/UFAL

28 feito Térmico e stado Geral de Tensões stado múltiplo de cisalhamento Superposição dos efeitos γ γ γ xy xz yz γ γ γ yx zx zy G G xz yz G xy G G zx zy G yx duardo Nobre Lages CTC/UFAL

29 feito Térmico e stado Geral de Tensões Relação entre o coeficiente de Poisson e os módulos de elasticidade longitudinal e transversal y y x x Relacionando as informações para os sistemas xy e x y mostra-se que: G 2( + ν) duardo Nobre Lages CTC/UFAL

30 feito Térmico e stado Geral de Tensões Notação compacta [ ] [ ] yx zx yx zx yy xy yy xy zy zy xz yz zz xz yz zz SIMTRIA SIMTRIA { } { } γ γ γ yy zz xy yz xz yy zz xy yz xz duardo Nobre Lages CTC/UFAL

31 duardo Nobre Lages CTC/UFAL feito Térmico e stado feito Térmico e stado Geral de Tensões Geral de Tensões { } [ ]{ } { } T D α + [ ] ν ν ν ν ν ν G G G D { } α α α α Combinando Combinando-se todas as contribuições se todas as contribuições

32 duardo Nobre Lages CTC/UFAL feito Térmico e stado feito Térmico e stado Geral de Tensões Geral de Tensões { } xy yy { } γ xy yy [ ] ν ν G D { } α α α stado Plano de Tensões stado Plano de Tensões

33 nergia specífica de Deformação O trabalho realizado pelas tensões durante o processo de deformação é armazenado sob a forma de energia potencial elástica, podendo apresentar também alguma dissipação, por exemplo, sob forma de calor. d( dw) dydz dxd força deslocamento d dv dw f d x dv duardo Nobre Lages CTC/UFAL

34 nergia specífica de Deformação A energia específica de deformação é dada pela razão entre o trabalho realizado no ponto material pelas tensões e o volume do paralelepípedo infinitesimal associado, ou seja, f x Para um material que atenda ao comportamento linear, a curva tensão versus deformação se linear transforma numa reta e a energia específica de deformação é dada por U f 2 f duardo Nobre Lages CTC/UFAL dw d U dv

35 nergia specífica de Deformação Para os materiais inelásticos materiais inelásticos solicitados além do limite elástico, o trabalho das tensões durante o processo de deformação em parte é dissipado e o restante transforma-se em energia potencial elástica, a qual é recuperada no descarregamento. duardo Nobre Lages CTC/UFAL

36 nergia specífica de Deformação Para os materiais elásticos e lineares, isotrópicos ou não, a energia específica de deformação, para um estado geral de tensões e deformações, é dada por U 2 yy ou yy zz zz xy xy Quando o material é isotrópico, chega-se a U U n yy zz xy yz xz 2G 2 ij ij yy yz yz zz xz yy xz zz duardo Nobre Lages CTC/UFAL