Conservação da energia em forma integral

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1 Conservação da energia em forma integral J. L. Baliño Departamento de Engenharia Mecânica Escola Politécnica - Universidade de São Paulo Apostila de aula Conservação da energia em forma integral 1 / 19

2 Sumário 1 Conservação da energia 2 Volume de controle com máquinas 3 Aplicações da equação de Bernoulli Conservação da energia em forma integral 2 / 19

3 Energia total Consideraremos as seguintes formas de energia total ê por unidade de massa: Energia interna û, devida ao estado termodinâmico da partícula (propriedade termodinâmica, û = û (p, T)). Energia cinética 1 2 V2. Energia potencial gravitacional U = g z. ê = û V2 + g z Outras formas de energia podem ser consideradas se elas variam no processo (por exemplo, reações químicas). A energia total E resulta: E = ρ ê dv CV Conservação da energia em forma integral 3 / 19

4 Lei de conservação da energia Lei de conservação da energia: a derivada material da energia total de um sistema de partículas é igual à soma da potência das forças exteriores W ext e a potência calórica absorbida pelo sistema Q: DE = W ext + Q Dt Por inspeção, resulta F E e f ρ ê. Assim, resultam: W ext + Q = (ρê) dv + ρ ê (V n) da CV t CS W ext + Q = d ρ ê dv + ρ ê (V r n) da (CV deformável) dt CV CS Conservação da energia em forma integral 4 / 19

5 Potência das forças exteriores A potência das forças de superfície pode ser calculada como: δw ext = f T V δa = (T n) V δa W ext = (T n) V da CS Potência da pressão e viscosa: W ext = W p + W v W p = p (V n) da CS W v = (τ n) V da A potência da força gravitacional já está considerada no termo de energia potencial. CS Conservação da energia em forma integral 5 / 19

6 CV com entradas e saídas e máquina Conservação da energia em forma integral 6 / 19

7 CV com entradas e saídas e máquina Consideramos um volume de controle com paredes rígidas (área A r ), um número finito de entradas e saídas (áreas A in e A out ), e paredes móveis correspondentes a uma máquina ou eixo (área A s ). O volume de controle se deforma com a velocidade das paredes móveis. Resulta: W ext + Q = d ρ ê dv + ρ ê (V r n) da dt CV CS : A r A s A in A out O termo de fluxo é zero em A r e A s pois V r = 0: ρ ê (V r n) da = ρ ê (V n) da CS A in A out CS Conservação da energia em forma integral 7 / 19

8 CV com entradas e saídas e máquina A potência W ext é zero em A r pois V = 0: W ext = W s + W in out W s = (T n) V da (potência no eixo) A s W in out = (T n) V da (potência nas entradas e saídas) A in A out Separamos as contribuições de pressão e viscosa em W in out : W in out = W p + W v W p = p (V n) da (potencia de pressão nas entradas e saídas) A in A out W v = (τ n) V da (potência viscosa nas entradas e saídas) A in A out Conservação da energia em forma integral 8 / 19

9 CV com entradas e saídas e máquina Incorporando a potência W p no termo de fluxo, resulta: W v + W s + Q = d ( ρ ê dv + ê + p ) (V n) da dt ρ CV A in A out ρ Como ê + p ρ = û + p ρ V2 + g z = ĥ V2 + g z, onde ĥ = û + p ρ é a entalpia específica, podemos escrever, finalmente: W v + W s + Q = d ( ρ ê dv + ĥ + 1 ) dt 2 V2 + g z (V n) da CV A in A out ρ Para entradas e saídas com propriedades uniformes, resulta: W v + W s + Q = d ρ ê dv dt CV [ṁ i (ĥ i + 12 )] V2i + g z i [ṁ i (ĥ i + 12 )] V2i + g z i + i out i in Conservação da energia em forma integral 9 / 19

10 CV com entradas e saídas e máquina O termo de potência viscosa nas saídas (ou entradas) é da forma W v = (τ n) V A. Como as velocidades são aproximadamente normais nas saídas ou entradas (V out = Vn n), resulta W v out = τ nn V n A; exceto problemas compressíveis, τ nn = 0, de maneira que W v = 0 para escoamentos incompressíveis. Para escoamento permanente ou periódico, o valor médio da derivada temporal é nulo. Definimos a altura piezométrica H P e a altura de energía H E como: H P = p ρ g + z H E = H P + V2 2 g = p ρ g + V2 2 g + z Conservação da energia em forma integral 10 / 19

11 CV com entradas e saídas e máquina Considerando uma entrada e uma saída e escoamento permanente e incompressível, resulta: W s + Q = ṁ (û out û in ) + ṁ g (H E out H E in ) Definindo as seguintes alturas: H s = W s (altura no eixo) ṁ g H l = Q ṁ g + 1 g (û out û in ) > 0 (altura de perdas) resulta: H s = H E out H E in + H l A relação anterior indica que parte da altura introducida no eixo é transformada em altura de energia e parte é dissipada em calor transferido ao meio externo ou aumentando a temperatura do fluido (consequência dos efeitos viscosos). Conservação da energia em forma integral 11 / 19

12 Eficiência em bombas e turbinas Como H l > 0, deve ser H s > H E out H E in. Para uma bomba, H s = H B > 0: W B = ṁ g H B > ṁ g (H E out H E in ) Eficiência da bomba: η B = ṁ g (H E out H E in ) W B < 1 Para uma turbina, H s = H T < 0: W T = ṁ g H T < ṁ g (H E in H E out ) W T Eficiência da turbina: η T = ṁ g (H E in H E out ) < 1 Para uma máquina de potência zero (dutos), W s = 0 e resulta H E in > H E out isto é, a partícula se desloca perdendo altura de energia. Conservação da energia em forma integral 12 / 19

13 Equação de Bernoulli Finalmente, para escoamentos permanentes, incompressíveis, sem máquinas e sem efeitos de dissipação viscosa, resulta H E out = H E in : H E = p ρ g + V2 + z = cte (equação de Bernoulli) 2 g A equação de Bernoulli é válida para um filamento ou linha de corrente, já que W v = 0 é zero nas paredes do filamento de corrente se desprezamos os efeitos viscosos. Conservação da energia em forma integral 13 / 19

14 Jatos livres Descarga de uma torneira: p ρ V2 + ρ g z = p ρ V2 1 + ρ g z 1 Da relação hidrostática no ar: p + ρ a g z = p 1 + ρ a g z 1 Eliminando p p 1, resulta: ( ) V 2 = V ρa g (z 1 z) ρ Desprezando ρa 1 (equivalente a ρ p = cte): V 2 = V g (z 1 z) Diâmetro do jato: V 1 D 2 1 = V D 2 D = D 1 ( V1 V ) 1/2 Conservação da energia em forma integral 14 / 19

15 Descarga de um orifício p ρ V2 1 + ρ g z 1 = p a ρ V2 + ρ g z Assumindo z 1 = z e V 1 = 0: V 2 = 2 (p1 pa) ρ As vazões no orifício [ resultam: 2 (p1 p a) Q = V A = A ρ ] 1/2 ṁ = ρ Q = A [2 ρ (p 1 p a)] 1/2 Conservação da energia em forma integral 15 / 19

16 Tubo de Pitot Medidor de velocidade local. Na linha de corrente que freia no nariz, onde V s = 0 e z 1 = z s: p ρ V2 1 = p s [ 2 (ps p 1) V 1 = ρ ] 1/2 Das relações hidrostáticas: p 1 + ρ g (z 1 h) + ρ m g h = p s + ρg z 1 p s p 1 = (ρ m ρ) g h Substituindo, [ resulta ( finalmente ) ρm V 1 = 2 ρ 1 g h ] 1/2 Conservação da energia em forma integral 16 / 19

17 Tubo de Pitot Conservação da energia em forma integral 17 / 19

18 Medidores de vazão tipo obstrução de Bernoulli Venturi Na linha de corrente no duto: p ρ V2 1 + ρ g z 1 = p ρ V2 [ 2 + ρ g z 2 p 1 p 2 + ρ g (z 1 z 2) = 1 ( ) ] 2 2 ρ V1 V2 2 1 Das relações hidrostáticas: p 1 + ρ g z 1 = p 2 + ρ g (z 2 h) + ρ m g h p 1 p 2 + ρ g (z 1 z 2) = (ρ m ρ) g h Da equação de continuidade: V 1 A 1 = V 2 A 2 V 1 V 2 = A 2 A 1 = ( ) 2 D2 D 1 = β 2, onde β = d. Resulta D finalmente: ( ) Q = V 2 A 2 = A 2 2 ρm 1 1/2 g h ρ 1 β 4 Outros exemplos: bocal. placa de orifício, Conservação da energia em forma integral 18 / 19 V 2

19 Medidores de vazão tipo obstrução de Bernoulli Conservação da energia em forma integral 19 / 19