Sumário e Objectivos. Mecânica dos Sólidos 10ª Aula. Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Sumário e Objectivos. Mecânica dos Sólidos 10ª Aula. Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008"

Kevin Cruz Antunes
6 Há anos
Visualizações:

1 Sumário e Objectivos Sumário: onceito de viga. Vigas Isostáticas. Equações de Equilíbrio de Forças e Momentos. Reacções de poio. Esforços Transversos e Momentos Flectores. Esforço ial. Diagramas de Esforços. Objectivos da ula: Rever a álculo Reacções de poio em Vigas Isostáticas e ser capaz de traçar os Diagramas de Esforços e Momentos Flectores. 1

2 Ilustração do Ensaio de Galileu 2

3 Ensaio em Pórtico 3

4 Estrutura de Madeira 4

5 Estrutura de Ponte 5

6 Poseidon 6

7 Viga Plana Isostática Uma peça linear pode estar sujeita a forças laterais, esforços transversos e momentos flectores, podendo ser considerada plana ou tridimensional conforme o tipo de solicitação a que está sujeita. No caso das acções estarem contidas num plano, o chamado plano de solicitação que também contém o eio da peça linear, a viga é dita viga plana. O tipo de ligações ao eterior usualmente consideradas estão representadas na figura seguinte. s peças lineares consideradas são do tipo viga plana isostática, isto é são vigas cujo eio está contido no plano de solicitação e para as quais as equações da Estática são suficientes para efeitos de cálculo das reacções de apoio 7

8 8 Tipos de poios e Esforços poio Duplo M T T M P L Encastramento P P T M M T L P poio Simples

9 Diagramas de orpo livre Encastramento poio Duplo poio Simples θ PL sen θ Pcosθ P sen θ θ Pcosθ θ P/2 sen θ P/2 sen θ 9

10 Esforços Internos e Eternos s cargas eteriores e as reacções de apoio constituem o conjunto dos esforços eternos na viga, as forças directamente aplicadas são em geral conhecidas e as reacções de apoio necessitam em geral de ser calculadas. Os esforços internos são os esforços que se desenvolvem numa secção da viga e são obtidos considerando um corte na viga passando na referida secção e impondo o equilíbrio estático de cada uma das partes em que a viga ficou dividida. 10

11 Equações de Equilíbrio Viga Isostática Plana Equações de Equilíbrio de Forças F F = 0 = 0 Equação de Equilíbrio de Momentos M z = 0 11

12 Eemplos de Vigas Isostáticas Planas p() p() P P p() P P p() P O número de equações necessárias para efeitos de cálculo das reacções são três, eventualmente duas no caso de não eistirem forças aiais. 12

13 Vigas Encastradas álculo de Reacções p()=p M P M R R L L F M = 0 R z = P = 0 M = PL F M = 0 R z = pl = 0 M = pl 2 /2 13

14 Eemplo kN/m 3.0m 2.0m 20kN M R T M M T M 20kN 8m M T 20kN R T M onsidere a viga encastrada representada na figura e determine a) s reacções de poio. b) Os Esforços Transversos e os Momentos Flectores nas Secções - e-. 14

15 Eemplo 8.1 Resolução a) álculo das Reacções de poio F M z = 0 R = 0 M = = 100kN = = 480kN.m R = 100kN ;M = 480kN.m b) álculo dos Esforças Transversos em - e - T = = 70kN T = = 40kN M = = 225kN.m M = = 60kN.m 15

16 Vigas Simplesmente poiadas álculo de Reacções P p()=p R R R R L/2 L/2 L F = 0 R + R = P Mz = 0 RL = PL/2 R = P/2; R = P/2 F = 0 R Mz = 0 R R = pl/2;r + R = pl L = p L = pl/2 2 /2 16

17 Eemplo kN/m 30kN T M 15kN/m 30kN 15kN/m 2.0m 2.0m D R T M T M 15kN/m R D 3.5m 3.5m 15kN/m 30kN M R D T R onsidere a viga simplesmente apoiada representada na figura e determine a)s Reacções de poio. b) Os Esforços Transversos e os Momemtos Flectores nas Secções - e-. 17

18 Eemplo 10.2 Resolução a) álculo das Reacções de poio F M z = 0 R + = 0 7 R R D D = = = 135kN = 472.5kN.m R = 67.5; R D = 67.5 b) álculo dos Esforças Transversos em - e - T = = 37.5kN T = = 37.5kN álculo dos Momentos flectores em - e - M = = 105kN.m M = = 105kN.m 18

19 Vigas Simplesmente poiadas com tramo em consola P p()=p R L/3 R R R L/3 L/3 2L/3 L/3 F = 0 R + R = P Mz = 0 2RL/3 = PL/3 R = P/2; R = P/2 F M = 0 R = 0 2R + R L/3= = pl = 4pL /18+ 5pL /18 R = pl/3;r = 3pL/4 z

20 Eemplo kN/m 2.0m 2.5m D 25kN 1.0m 1.0m onsidere a viga simplesmente apoiada com tramo em consola representada na e determine a) s Reacções de poio.b) Os Esforços Transversos e os Momentos T M 20kN/m M T R 20kN/m R 20kN/m M T R D R D T M 25kN 25kN Flectores nas Secções - e -. 20

21 Eemplo 8.3 Resolução a) álculo das Reações de poio F M z = 0 R + R = R D D = = 115kN = R = 33.8( 8 )kn ; R D = 81.1( 1)kN = 365kN.m b) álculo dos Esforças Transversos em - e - T = 33.88(8) 20 2 = 6,11(1)kN T = 25kN M = 33.8( 8 ) = 27.7(7 )kn.m M = 25 1 = 25kN.m 21

22 Diagramas de Esforços O diagrama de esforços é um gráfico que mostra o valor do esforço transverso em função da distância ao longo do eio da viga e o diagrama de momentos flectores é um gráfico que mostra o valor do momento flector em função da distância ao longo do eio da viga. Para traçar os diagramas de esforços é necessário considerar um corte na viga a uma distância da origem e determinar os valores dos esforços transversos e momentos flectores em função de e desenhar o gráfico das funções obtidas. 22

23 Diagrama de Esforços- onvenção de Sinais Esforços Transversos Positivos + Momentos Flectores Positivos Esforços Transversos Negativos - Momentos Flectores Negativos + 23

24 Eemplo 8.4 P M T P M L M R onsidere a viga encastrada representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. T T = P M = P 24

25 Eemplo 10.4 Resolução P + P M L T = P R PL - M =P 25

26 Eemplo 8.5 P R a b L R = Pb/L; Rc = Pa/L R R R T M P 0<<a M a<<l T onsidere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga pontual, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. 26

27 Eemplo 8.5 Resolução P Esforços Transversos + R = Pb/L R a b R R = Pa/L - L R = Pb/L; R c = Pa/L Momentos Flectores + Pab/L 27

28 Eemplo 8.6 p()=p T M R L M R M T M T = p M P 2 = /2 onsidere a viga encastrada sujeita a uma carga uniformemente distribuida, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. 28

29 Eemplo 8.6 Resolução p()=p M L pl + T = p R R = pl M = p L 2 /2 p L 2 /2 - M = P 2 /2 T=p M = p 2 / 2 29

30 Eemplo 8.7 R L p()=p R R p()=p M T M T p()=p R = PL/2; R c = PL/2 M = pl/2 p = pl/2 p onsidere a viga simplesmente apoiada, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. T 2 /2 30

31 Eemplo 8.7 Resolução Esforços Transversos T ( ) = pl / 2 p L pl/2 Momentos Flectores pl/2 M ( ) = plx / 2 p 2 / 2 R = R = pl / 2 p 2 L /8 31

32 Eemplo 8. 8 p()=p/l p()=p/l M R M R T M M R = pl/2 M = p L 2 /6 2 T = p /2L M = p 3 /6L T onsidere a viga encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída, representada na figura 2.19 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. 32

33 Eemplo 8.8 Resolução p()=p/l Esforços Transversos M R pl/2 T() = p 2 /2L R = pl/2 M = p L 2 /6 p L 2 /6 Momentos Flectores - M 3 ( ) = p /6L 2 ( p / L) / 2 = / L T = p 2 3 M = ( p / L) ( / 2) 2 / 3 = p / 6L 33

34 Eemplo 8. 9 onsidere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga linearmente distribuída, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. L p L R =2PL/6 R =PL/6 PL p T = 6 L 2 PL p M = = 6 L PL p = 6 6L 34

35 Equações de Equilíbrio Forças e Momentos ( T + dt ) T + pd = 0 p() pd dt d = p d ( 2 1 T + dt ) d ( M + dm ) + M + pd( d) = 0 M T d T+dT M+dM dm = d T 2 d M 2 d = p T M M+dM T+dT 35

36 Viga Simplesmente poiada sujeita a uma carga pontual P a L R = Pb / L; R = Pa / L d b 0 < < a p ( ) = 0 T ( ) = T (0); M ( ) = M (0) + R a < < L p( ) = 0 T ( ) = T ( a + ); M ( ) = M ( a) T ( ) d a + T Pb / L M T ( Δ / 2) M ( Δ / 2 ) M ( + Δ / 2) P d T ( + Δ Esforços Transversos dt / d = p ( ) = 0 + salto para T=P Momentos Flectores dm / d = T = Pb / L + dt / d = 0 / 2) dm / d = T = Pa / L M = Pb / L M = Pa ( L ) / L Pa/L 36

37 Viga Simplesmente poiada sujeita a carga distribuída L pl / 2 T + Esforços Transversos dt / d = p pl / 2 R = = p( ) = p pl / 2; R pl T ( ) = T (0) p / 2 M ( ) = M (0) T ( ) d 0 M Momentos Flectores dm / d = p L / 8 dm / d > 0 dm / d < 0 37

38 Viga S.. Parcial/ carregada com arga Uniformemente Dist. 6kN/m 6.0m 4.0m Reacções de poio R = 25.2 kn ; R = kn M ( ) = M ( 0 ) T T ( ) = 6 + Esforços Transversos 25.2 dt / d = 6 dt / d = Momentos Flectores M dm / d = 0 + T ( ) = M ( ) =

39 Viga Simplesmente poiada com Tramo em onsola 10kN/m 20kN T Esforços Transversos T( ) = T( ) = 20 + R 4.0m R 2.0m M Momentos Flectores ( ) = 10 5 M 2 R =10 kn; R = 50kN M( ) =

40 Problemas Propostos 1. Determine as Reacções de poio e Trace os Diagramas de Esforços e Momentos Flectores para as vigas representadas nas figuras. 10kN/m 20kN.m a) b) 20kN 20kN.m 10kN/m 2.5m 2.5m 1m 1m 1m 1.5m 40

41 Problemas Propostos a) Diagrama de Esforços Transversos 25kN 25kN Diagrama de Momentos Flectores - 20kN.m -11,3kN.m -73,8kN.m 41

42 Problemas Propostos b) 42

43 Problemas Propostos b) 43

44 Problemas Propostos 44

45 Problemas Propostos 2. Determine as Reacções de poio e Trace os Diagramas de Esforços e Momentos Flectores para as vigas representadas nas figuras. b) 50kN 30kN 20kN/m a) 30kN.m 20kN.m 20kN.m 1m 4m 1m 3m 1m 45

46 Problemas Propostos 3. Determine as Reacções de poio e Trace os Diagramas de Esforços e Momentos Flectores para as vigas representadas nas figuras. b) 15kN/m 40kN a) 20kN/m 15kN/m 1,5m 2m 1,5m 2m 1,5m 2,5m 46

Documentos relacionados

Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial

Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial 1/8 Resistência dos ateriais 003/004 urso de Gestão e Engenharia Industrial 10ª ula e 11ª ula Duração - Horas Data - 3 de Novembro de 003 Sumário: onceito de viga. Vigas Isostáticas. Equações de Equilíbrio