MR Simulação. Simulação de Processos em Engenharia dos Materiais

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1 MR Simulação Simulação de Processos em Engenharia dos Materiais

2 MR0720 Simulação CRITÉRIO DE APROVEITAMENTO M = Prova única no final do semestre. Prova prática com consulta, realizada com o auxílio de microcomputador e software Matlab. BIBLIOGRAFIA BÁSICA - ERALD, C. F. e WHEATLEY, P. O. Applied numerical analysis Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co KREYSZIG, E. Advanced engineering mathematicas 6th ed., New York: Wiley, IRON AND STEEL INSTITUTE Mathematical models in metallurgical developments. ISI Publication nº 123, MATSUMOTO, E. Y. - Matlab 6.5 fundamentos de programação 9ª edição Ed. Érika BARBOSA, J. Jr. - Lógica Nebulosa ( Fuzzy ) Aplicada na Determinação dos Parâmetros de Trabalho de Fornos Industriais de Têmpera Contínua Para o Aço CK75 Dissertação POLI-USP set/ GARCIA, C. Modelagem e Simulação EDUSP, 1997

3 Programa Aula 1 Introdução ao curso Aula 2 Equações diferenciais e transformada de Laplace Aula 3 Modelagem utilizando a transformada de Laplace Aula 4 Exercícios Aula 5 Programação em Matlab Aula 6 Uso do Matlab para simulação de sistemas Aula 7 Uso do Simulink para simulação de sistemas Aula 8 Simulação analógica e sistemas em malha fechada Aula 9 Introdução a lógica fuzzy Aula 10 Exercícios de aplicação da lógica fuzzy Aula 11 Modelagem/simulação de um sistema real utilizando lógica fuzzy Aula 12 Exercícios Aula 13 Prova prática

4 Modelagem Os modelos podem ser físicos ou matemáticos. Neste curso focaremos a modelagem matemática, que pode ser definida como: Um modelo nada mais é do que uma abstração matemática de um processo real (Seborg et al.,1989). ou É um sistema de equações cuja solução, dado um conjunto de dados de entrada, é representativa da resposta do processo. (Denn, 1986) A equação ou conjunto de equações que compõem o modelo são uma aproximação do processo real. Um processo pode ser físico, químico, biológico, social, econômico etc.

5 Simulação É a obtenção da resposta temporal das variáveis de interesse (variáveis dependentes) de um modelo, quando se excita suas variáveis de entrada com sinais desejados e se definem os valores das condições iniciais das variáveis dependentes. Entrada; estímulo Resposta desejada Sistema ou Planta Saída; resposta Resposta real

6 Equações Diferenciais Equações de sistemas físicos Uma propriedade comum a todas as leis básicas da Física é que certas quantidades fundamentais podem ser definidas por valores numéricos. As leis físicas definem relações entre estas quantidades fundamentais que são geralmente representadas por equações. Equações diferenciais Uma classe de equações que tem ampla aplicação na descrição de leis físicas é a das equações diferenciais. Uma equação diferencial é qualquer igualdade algébrica que envolve diferenciais ou derivadas. Relacionam taxas de variação das variáveis e outros parâmetros.

7 Equações Diferenciais Exemplos A segunda lei de Newton pode ser escrita como uma relação entre a força f, a massa m e a taxa de variação da velocidade v da massa com relação ao tempo t; isto é: f = M dv dt A lei de Ohm pode ser escrita alternativamente como a relação entre a tensão v, a resistência R e a taxa de passagem da carga q em relação ao tempo através do resistor: v = R dq dt

8 Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial ordinária é uma igualdade envolvendo uma ou mais variáveis dependentes, uma variável independente e uma ou mais derivadas das variáveis dependentes com relação à variável independente. Exemplo: A segunda lei de Newton é uma equação diferencial ordinária. A velocidade v=v(t) e a força f=f(t) são variáveis dependentes e o tempo t é a variável independente. f = M dv dt

9 Equações Diferenciais Parciais Uma equação diferencial de derivadas parciais é uma igualdade envolvendo uma ou mais variáveis dependentes e duas ou mais variáveis independentes, junto com derivadas parciais das variáveis dependentes com respeito às variáveis independentes. Exemplo: A equação de difusão é uma equação diferencial de derivada parcial. C=C(x,t) é a variável dependente que representa a concentração de alguma quantidade em alguma posição e algum tempo no corpo. A variável independente x define a posição no corpo e a variável independente t define o tempo C t = 2 C D. 2 x

10 Equações Diferenciais Lineares Um termo linear é aquele no qual as variáveis dependentes e suas derivadas são do primeiro grau. Uma equação diferencial linear é uma equação diferencial consistindo na soma de termos lineares. Todas as outras são equações diferenciais não lineares. Exemplos: dy dt 2 + y = d y dt 2 0 e 2 + cos y = 0 Equações diferenciais não-lineares C t = 2 C D. 2 x Equação diferencial linear

11 Classificação dos Sistemas Estático não possui armazenadores de energia ou, mais genericamente, não possui memória, isto é, uma vez aplicada uma entrada fixa no tempo, a saída assume, instantaneamente, um valor que também ficará fixo no tempo; Dinâmico nesse sistema, ao se aplicar uma entrada fixa no tempo, a saída apresentará um transitório provocado pelos armazenadores de energia, ou memória, do sistema. Exemplos de elementos que provocam o efeito memória : capacitores, massas (inércia), indutores, tempo de cálculo de um computador que atua no processo;

12 Classificação dos Sistemas Linear uma das condições de linearidade do sistema é ser válido o princípio da superposição. Este princípio afirma que sendo u 1 (t) um sinal de entrada e y 1 (t) a correspondente saída e u 2 (t) outro sinal de entrada e y 2 (t) a outra correspondente saída, ele é linear se ao aplicarmos um sinal k 1 u 1 (t)+k 2 u 2 (t) resultar na saída k 1 y 1 (t)+k 2 y 2 (t). Para o sistema linear, a equação matemática das variáveis dependentes é do primeiro grau; Não-linear neste caso não é aplicável o princípio da superposição. Contínuos utilizam equações diferenciais para descrever o sistema;

13 Classificação dos Sistemas Discretos utilizam equações de diferenças para descrever o sistema. A relação entre entrada e saída é analisada em instantes eqüidistantes de uma unidade de tempo t que assume valores 1, 2, 3,...; Número de entradas e saídas o sistema pode ter uma ou mais entradas e uma ou mais saídas. Chama-se de SISO os sistemas que possuem uma entrada e uma saída, de MIMO os sistemas que possuem várias entradas e várias saídas;

14 Classificação dos Sistemas Invariantes no tempo sistemas invariantes no tempo são aqueles em que os parâmetros são fixos ao longo do tempo, por exemplo, a inércia do rotor de um motor não varia a medida que o motor trabalha; Variantes no tempo sistemas variantes no tempo são aqueles em que os parâmetros não são fixos, por exemplo, um foguete a medida que se desloca e queima o combustível tem seu peso diminuído.

15 Métodos de modelagem Analítico Desenvolvido usando os princípios da Física e da Química é expresso através das equações diferenciais; Heurístico Utiliza-se da observação direta dos dados operacionais do processo. Neste curso estudaremos a lógica Fuzzy Neural.

16 Classificação quanto a dificuldade de solução por métodos analíticos Equações lineares Equações não-lineares Uma Equação Algumas Equações Muitas Equações Uma Equação Algumas Equações Muitas Equações Algébrica Trivial Fácil Pratica/e Impossível Muito Difícil Muito Difícil Impossível Diferencial ordinária Fácil Difícil Pratica/e Impossível Muito Difícil Impossível Impossível Diferencial Difícil Pratica/e Impossível Impossível Impossível Impossível parcial Impossível