Aula 12 Simulação em computador

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1 Portfolio MEEC 1 Aula 12 Simulação em computador Objectivos Introdução ao conceito de modelo e simulação em computador, usando um exemplo muito simples baseado no NXT.

2 Portfolio MEEC 2 Por vezes é inadequado ou impossível realizar experiências. Razões: É muito caro (ex.: a realização de múltiplos testes arbitrários numa máquina de papel implica a produção de papel invendável) É excessivamente perigoso (ex.: treinar operadores de uma instalação nuclear para reagir a situações perigosas) O sistema ainda não existe (ex.: Ao projectar uma nova aeronave pretende-se avaliar o efeito de diferentes formas das asas nas propriedades aerodinâmicas).

3 Portfolio MEEC 3 Modelos Um modelo de um sistema é um outro sistema, construído numa tecnologia mais simples e barata cujo comportamento (evolução no tempo) é uma imagem das variáveis que queremos estudar no sistema real.

4 Portfolio MEEC 4 Modelos analógicos (ex.: modelos reduzidos de estuários)) Modelos matemáticos: Sistemas de equações diferenciais ou de diferenças.

5 Portfolio MEEC 5 Do modelo à simulação Construir um modelo: Escrever as equações cuja solução são as variáveis de interesse do sistema o Posições das juntas de um braço robot o Temperatura de um forno o... Estas equações são equações diferenciais ou de diferenças. A sua solução são funções do tempo que exprimem a evolução no tempo das variáveis físicas. Simulação: Integrar as equações para obter as variáveis.

6 Portfolio MEEC 6 Software para simulação Há software de vários tipos para a programação eficiente de simuladores. Exemplos: SIMULINK (sistemas dinâmicos e controlo) MODELICA (Uma linguagem para descrever sistemas físicos complexos) Easy 5 (Boeing) (semelhante ao MODELICA) SPICE (simulação de circuitos e sistemas electrónicos) Enquanto no SIMULINK se descrevem as equações do sistema, nos restantes ambientes de simulação descreve-se o sistema físico e as equações são descritas automaticamente.

7 Portfolio MEEC 7 SIMULINK O SIMULINK representa as equações que modelam o sistema através de diagramas de blocos.

8 Portfolio MEEC 8 MODELICA Há bibliotecas de modelos de diversos tipos que podem ser usados para construer modelos mais complexos

9 Portfolio MEEC 9 EASY 5

10 Portfolio MEEC 10 SPICE (Simulação de circuitos e sistemas electrónicos)

11 Portfolio MEEC 11 Exemplo simples: Modelo matemático do robot NXT Objectivo: Modelar o NXT a deslocar-se ao longo de uma recta, para ir para uma posição desejada num sistema de coordenadas fixado x a posição do NXT R a posição desejada Partimos o tempo às tiras de duração h Observamos a posição nos instantes 0 (posição inicial), h, 2h, 3h,..., nh,... nh representa um instante de tempo genérico em que observamos o NXT Pretendemos relacionar as posições do NXT em instantes diferentes.

12 Portfolio MEEC 12 Gráfico da posição do NXT em função do tempo x x((n-1)h) x(nh) x(0) 0 h 2h 3h 4h (n-1)h Tempo Posição actual = Posição anterior + velocidade intervalo de tempo x((n + 1)h) = x(nh) + αu(nh)h u é o comando do motor (0 a 100%); αu é a velocidade do carro nh

13 Portfolio MEEC 13 Qual o valor do parâmetro α? Fazem-se ensaios com o NXT. Observa-se que u = 100% corresponde a uma velocidade de 1 m/s Logo 100 α = 1 Logo α = 0,01

14 Portfolio MEEC 14 Modelo do movimento do NXT: x((n + 1)h) = x(nh) + αu(nh)h Descrição do algoritmo de controlo Erro de seguimento (diferença entre a posição desejada e a medida): e(nh) = R x(nh) Comando do motor u(nh) = Ke(nh) Modelo do sistema controlado (sistema em cadeia fechada) x((n + 1)h) = x(nh) + αkh(r x(nh))

15 Portfolio MEEC 15 Equações de diferenças x((n + 1)h) = x(nh) + αkh(r x(nh)) x((n + 1)h) = (1 αkh)x(nh) + αkhr Um caso concreto: α = 0,01 h = 1 K = 60 então αkh = 0,6 e 1 αkh = 0,4 A equação de diferenças fica x(n + 1) = 0,4x(n) + 0,6R Se soubermos a posição inicial x(0) e o valor da posição desejada R, podemos calcular sucessivamente x(1) a partir de x(0), x(2) a partir de x(1), x(3) a partir de x(2),...

16 Portfolio MEEC 16 x(n + 1) = 0,4x(n) + 0,6 x(0) = 0 x(1) = 0,4x(0) + 0,6 = 0, ,6 = 0,6 x(2) = 0,4x(1) + 0,6 = 0,4 0,6 + 0,6 = 0,84 x(3) = 0,4x(2) + 0,6 = 0,4 0,84 + 0,6 = 0,936 x(4) = 0,4x(3) + 0,6 = 0,9744 x(5) = 0,4x(4) + 0,6 = 0,98976 O melhor é usar um computador e uma linguagem como o MATLAB.

17 Portfolio MEEC 17 Ponto de equilíbrio Podemos calcular o valor de equilíbrio em que passou muito tempo e a posição fica constante: Para a equação Este ponto satisfaz Ou seja x(n + 1) x(n) = x x(n + 1) = 0,4x(n) + 0,6R x = 0,4x + 0,6R x = 0,6 R = R 1 0,4

18 Portfolio MEEC 18 Estabilidade Podemos mostrar que o erro tende para zero quando o tempo aumenta? Vamos obter uma equação para o erro e resolvemo-la. x((n + 1)h) = x(nh) + αkh(r x(nh)) Multiplicamos ambos os membros desta equação por 1 e somamos R a ambos os membros: R x((n + 1)h) = R x(nh) αkh(r x(nh)) Usamos a definição do erro e((n + 1)h) = e(nh) αkhe(nh) e((n + 1)h) = [1 Khα]e(nh)

19 Portfolio MEEC 19 Equação de erro e((n + 1)h) = [1 Khα]e(nh) Solução da equação de erro e(nh) = e(0)(1 Khα) n

20 Portfolio MEEC 20 Equação de erro e((n + 1)h) = [1 Khα]e(nh) Solução da equação de erro e(nh) = e(0)(1 Khα) n Condição de estabilidade 1 Khα < 1 0 < K < 2 hα Condição para que não haja oscilações 0 < K < 1 hα

21 Portfolio MEEC 21 E agora? Transformada de Laplace, pólos, zeros, estabilidade de Lyapunov,... E tudo o mais que uma alma pia Possa encontrar num manuel cristão de osteologia Guerra Junqueiro Análise Complexa e Equações Diferenciais Sinais e Sistemas Controlo Controlo em Espaço de Estados Controlo por Computador

22 Portfolio MEEC 22 Exercício Aula 12 A temperatura num reactor químico descrito pela equação de diferenças T(n + 1) = 0.5T(n) n = 0, 1, 2, 3, com condição inicial T(0) = 0 Pretende-se: a) Calcule (mostre os cálculos) o valor de T(n) quando n toma valores até 7. Represente graficamente estes valores em função de n (esboce o gráfico à mão). b) A partir da equação de diferenças, calcule o valor exacto para o qual T(n) se aproxima quando o índice n aumenta muito.