SISTEMAS DE CONTROLE SIC

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1 SISTEMAS DE CONTROLE SIC Parte 1 Modelagem de Sistemas Dinâmicos Professor Dr. Michael Klug 1

2 Introdução MODELOS No estudo de sistemas de controle devemos ser capazes de obter uma representação matemática da dinâmica de um sistema visando analisar o seu comportamento ao longo do tempo. Modelagem caixa branca Identificação de sistemas Um modelo matemático é uma abstração matemática de um processo real 2

3 Introdução MODELOS O conjunto de equações matemáticas (modelo) que descrevem um processo é sempre uma aproximação do comportamento real de um sistema. Não incorpora todas as características do processo real. Aproximações mais utilizadas: 1. Desprezar pequenos efeitos (reduzir o numero de variáveis) 2. Reduzir sinais externos (efeitos do ambiente) 3. Utilizar parâmetros concentrados (distribuição concentrada) 4. Linearização Compromisso entre complexidade do modelo, precisão e a aplicação para a qual o modelo se destina (e.g., simulação ou projeto de controladores). 3

4 Modelo Físico Os modelos podem envolver os mais diversos processos (físicos, químicos, biológicos, econômico, etc). Nesta disciplina: Mecânicos Elétricos Fluídicos Térmicos Considerando: Lineares e Invariantes no Tempo (Sistemas LIT) Parâmetros Concentrados Determinísticos 4

5 Função de Transferência Função de Transferência: G(s) X(s) Transformada de Laplace da entrada Y(s) Transformada de Laplace da saída 5

6 Função de Transferência em Matlab 6

7 Sistemas Mecânicos As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos são as leis de Newton Sistemas mecânicos de Translação Sistemas mecânicos de Rotação 7

8 S.M. Elementos de Translação (ΣF=ma) Elemento de Inércia (Massa) 8

9 S.M. Elementos de Translação (ΣF=ma) Elemento de Amortecimento (Amortecedor) Elemento de Elasticidade (Mola) 9

10 Sistemas Mecânicos Exemplo 1: Obtenha a equação diferencial que representa o sistema mecânico abaixo Diagrama de Corpo Livre Então: 10

11 Sistemas Mecânicos Exemplo 2: Obtenha a equação diferencial que representa o sistema mecânico abaixo 11

12 Sistemas Mecânicos Exemplo 3: Modelo de suspensão de um veículo 12

13 Sistemas Mecânicos Exemplo 4: Acelerômetro Mecânico Utilizado para medir a aceleração de um trenó foguete de teste. O trenó de teste manobra sobre um trilho guia a uma pequena distância δ. O acelerômetro fornece uma medida da aceleração a(t) do trenó, uma vez que a posição y da massa M com relação a carcaça do acelerômetro é proporcional a aceleração da carcaça (e do trenó). Projetar um acelerômetro com resposta dinâmica apropriada, y(t)=qa(t) (q sendo um constante). 13

14 Sistemas Mecânicos como ou 14

15 Sistemas Mecânicos Escolhem-se os coeficientes: eascis Para uma entrada em degrau: sendo Q(s)=P/s, onde P é a magnitude do degrau, tem-se: Em FPs: Portanto: 15

16 Sistemas Mecânicos Para P=3: 16

17 S.M. Elementos de Rotação (ΣT=Jα) 17

18 S.M. Elementos de Rotação (ΣT=Jα) 18

19 Sistemas Mecânicos Exemplo 5: Obtenha a equação diferencial que representa o sistema mecânico abaixo Função de Transferência: 19

20 Sistemas Mecânicos Exemplo 6: Obtenha a equação diferencial que representa o sistema mecânico abaixo 20

21 Engrenagens Ideais Relações: 21

22 Sistemas Mecânicos Exemplo 7: Obtenha a equação diferencial que representa o sistema mecânico abaixo 22

23 Sistemas Elétricos Leis de Kirchoff Lei de Ohm 23

24 Resistor: Sistemas Elétricos Elementos Capacitor: Indutor: 24

25 Sistemas Elétricos Exemplo 8: Obtenha as funções de transferência (Eo/Ei) dos circuitos RLC abaixo: 25

26 Analogia Elétrica x Mecânica 26

27 Analogia Elétrica x Mecânica 27

28 Analogia Elétrica x Mecânica 28

29 Sistemas Fluídicos Sistemas com fluxo e acúmulo de líquidos sendo: V(t) o volume no interior do reservatório ΔV(t) a variação de volume Δt o intervalo de tempo fi(t) e fo(t) as vazões de entrada e saída 29

30 Sistemas Fluídicos Dividindo os dois lados da igualdade por Δt e fazendo o limite para Δt 0, tem-se (equação de conservação do volume) Para reservatórios com seção transversal constante: No equilíbrio: fo(t)=? Fluxo turbulento, laminar? 30

31 Sistemas Fluídicos Resumindo (caso mais simples modelo para pequenos sinais): 31

32 Sistemas Fluídicos 32

33 Sistemas Fluídicos 33

34 Sistemas Fluídicos 34

35 Sistemas Térmicos Considera-se: Fluído com calor específico c Vazão f(t) é a mesma na entrada e na saída (volume cte) Líquidos sem mudança de fase e desprezando os componentes de energia cinética e potencial 35

36 Sistemas Térmicos Pelo balanço de energia (princípio de conservação): Para a massa m de líquido dentro do vaso, a energia é dada por (calorimetria): Para a massa de líquido em movimento: 36

37 Sistemas Térmicos A taxa de calor qe perdido pelas paredes depende da resistência térmica R das paredes e da diferença de temperatura: Então, Como Tr e m são constantes, o modelo final resulta em: 37

38 Linearização Expansão em Série de Taylor em torno do ponto de operação; Eliminação dos termos de mais alta ordem; Considere y=f(x), e o ponto de operação,, então: Desprezando os termos de maior ordem: Com e tem-se: 38

39 Linearização Para funções de várias variáveis QUADRO; Exercícios: 1) Determine a equação linearizada para (sobre o ponto x=2): 2) Linearize a equação não linear na região definida por 8<x<10 e 2<y<4 39

40 Linearização Desafio PENDULO INVERTIDO SOBRE UM CARRO: Modelar matematicamente o sistema, linearizar para o ponto (Theta=Pi), e obter a função de transferência (Considerar Theta como saída e F como entrada) 40

41 REFERÊNCIAS OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. Editora Prentice Hall, 5 Edição; MAYA, Paulo Alvaro, LEONARDI, Fabrizio. Controle Essencial. Editora Prentice Hall. Nise, Norman. Engenharia de Sistemas de Controle. LTC. 41