Modelagem Matemática para Controle de Nível de um Tanque

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1 Modelagem Matemática para Controle de Nível de um Tanque Fevereiro de 2014

2 Tanque Cônico: Modelagem Matemática I Considere que se deseja controlar o nível de um reservatório cuja área da seção transversal varia com o nível, como mostrado abaixo: Atuador q in R 1 LC LT H h R 0 q out

3 Tanque Cônico: Modelagem Matemática II O balanço de massa neste sistema determina que uma variação de volume V (em m 3 ) ocorrerá devido a uma diferença entre as vazões de entrada q in e de saída q out (ambas em m 3 /s), durante um determinado intervalo de tempo t (em segundos): V = q in t q out t, (1) sendo que a variação de volume pode ser aproximada pela área da seção transversal vezes uma variação na altura V = π[r(h)] 2 h, (2) r(h) = R 0 + αh. A variação do raio do tanque cônico com a altura está associada ao valor do parâmetro α = R1 R0 H (vide figura no slide anterior).

4 Tanque Cônico: Modelagem Matemática III Assumindo-se que a vazão de entrada q in é a variável manipulada para se conseguir controlar o nível no reservatório, tem-se que q in (t) = u(t). (3) Considerando-se uma aproximação para a Equação de Bernoulli que relaciona as vazões e pressões entre o ponto superior do reservatório e a saída do tanque, pode-se escrever que: q out (t) = C v h, (4) sendo C v o coeficiente de descarga da saída do tanque.

5 Tanque Cônico: Modelagem Matemática IV Desta maneira, combinando-se as equações (1) a (4), tem-se que: π[r(h)] 2 h = u t C v h t, h t = C v h π [R 0 + αh] 2 + u π [R 0 + αh] 2. Fazendo o limite t 0, e definindo-se x = h, C v /π = a e 1/π = b, podemos escrever que: ẋ = a x [R 0 + αx] 2 + b 2 u, [R 0 + αx] (5) y = x.

6 Observações Importantes Note que mesmo para um problema de controle aparentemente simples, o sistema é não linear. A equação (5) está representada na chamada forma não linear, afim em relação à entrada u: Além disso, de modo que g(x) = ẋ = f(x) + g(x)u, (6) y = h(x). r(x) = R 0 + αx, α > 0, b [r(x)] 2 > 0, x 0.

7 Determinação da Condição de Equiĺıbrio Para se obter o modelo dinâmico linear local, em torno de um ponto de operação, antes é preciso encontrar uma condição de operação válida. Como iremos supor que o sistema se encontra relaxado, antes de se alterar/variar quaisquer entradas, uma condição de operação válida será representada por ẋ = 0 a x eq [R 0 + αx eq ] 2 + b [R 0 + αx eq ] 2 u eq = 0, e, portanto, para um valor constante de vazão de entrada u eq, o nível de equiĺıbrio será atingido quando a vazão de saída for igual à vazão de entrada, i.e. u eq = a xeq q in = C v h b }{{}. (7) q out

8 Linearização Anaĺıtica I 1 Para proceder à obtenção do modelo linear local em torno de uma condição de operação desejada (para valores dados e consistentes de vazão constante de entrada e nível correspondente do tanque), pode-se definir as variáveis desvio: δx = x x eq, δy = y y eq, δu = u u eq. (8)

9 Linearização Anaĺıtica II 2 Em seguida, obtém-se uma aproximação para a maneira como o desvio da condição de operação ocorre ao longo do tempo. A partir da equação (6), e usando o desenvolvimento em série de Taylor para as funções não lineares: d dt {δx} f(x eq) + g(x eq )u eq }{{} =0 (por definição) [ ] f + g x + u eq x=xeq x δx (9) x=xeq }{{} A + g(x eq ) δu. }{{} B

10 Linearização Anaĺıtica III 3 A partir da expressão (9), podemos escrever que { } d L dt {δx} L {Aδx + Bδu}, sx(s) AX(s) + BU(s). E tendo em vista que A R, B R, e δy = δx Y (s) = U(s), tem-se que Y (s) U(s) = B s A. (10)

11 Linearização Numérica O processo de obtenção do modelo linear local pode ser conduzido de outras duas maneiras: 1 Cálculo numérico dos coeficientes do sistema linear por meio de funções já prontas do MATLAB que retiram a informação desejada de um diagrama de simulação contendo o modelo não linear do processo; 2 Realização de um teste em malha aberta (em simulação ou, se possível, na realidade) em torno da condição de operação desejada.

12 Linearização Numérica: MATLAB I Suponha que exista um diagrama MATLAB/Simulink chamado tanque nl MA.mdl, como mostrado abaixo (note que os terminais de entrada e de saída foram explicitados):

13 Linearização Numérica: MATLAB II Obtenção da condição de equiĺıbrio: % Est. i n i c i a l para a cond. de e q u i l i b r i o x0 = 0. 5 ; % V a l o r da e n t r a d a de e q u i l i b r i o u0 = 1 ; % Nas opcoes a b a i x o informa se que % o a l g o r i t m o nao deve a l t e r a r % o v a l o r da e n t r a d a de e q u i l i b r i o % e s c o l h i d a x0 = t r i m ( tanque nl MA, x0, u0, [ ], [ ], 1 ) x0 = 4.000

14 Linearização Numérica: MATLAB III Cálculo numérico do modelo linear local, via cômputo aproximado das derivadas parciais como diferenças finitas: [ A, B, C,D] = t r i m ( tanque nl MA, x0, u0 ) A = B = C = 1 D = 0 Portanto, a partir de (10), G(s) 0,8842 s + 0,1105 = 8 9,05s + 1.

15 Linearização Numérica: Curva de Reação I Um modelo linear local pode ser rapidamente obtido, por inspeção da resposta do sistema a uma variação em degrau na variável manipulada:

16 Linearização Numérica: Curva de Reação II Do resultado obtido anteriormente, vê-se que: 1 A resposta ao degrau é típica de um sistema de primeira ordem; 2 Não parece haver tempo morto; 3 O ganho estático do processo é δy (4,82 4) lim t δu (1,1 1) = 8,2 m/(m3 /s). 4 A constante de tempo pode ser estimada como 5τ (60 5) = 55 s τ 11 s. e, portanto, o modelo linear local obtido por inspeção da curva de reação à resposta ao degrau será: G(s) 8,2 11s + 1. Comparem com a FT obtida anteriormente!