0.1 Expansão em Série de Taylor de Uma Função

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1 0. Expansão em Série de Taylor de Uma Função Numa análise de propriedade de uma função, um conceito fundamental é a expansãoemsériedetaylordeumafunção. Sejaf = f(x) uma função arbitrária, contínua e suave. Gostaríamos de estudar o comportamento desta função em torno de um certo ponto fixo, digamos x = x 0. Naturalmente o valor da função no ponto x = x 0 é f(x 0 ). Queremos saber como o valor da função varia quando x = x 0 + ε, onde ε = δx x x 0 é uma quantidade bem pequena. Para estudar este problema, vamos ver a figura abaixo. y=f(x) y=f(x 0 ) + f'(x 0 )(x-x 0 ) x 0 x Fig. Aretaindicadaéaretatangentedestafunçãonopontox = x 0.Aqui, f 0 (x 0 )= df x=x0 é a derivada no ponto x = x 0. Esta figura mostra que, quando x émuito próximo do x 0, a reta tangente praticamente coincide com a função f(x) em si. Isto é, f(x) ' f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ), ou seja definindo o novo variável ε por ε = δx = x x 0, podemos escrever f(x 0 + ε) ' f(x 0 )+f 0 (x 0 ) ε. () Exercício: Calcule o erro da expressão () nos seguintes casos: f(x) =exp(x), x 0 =0,δx=0.2 f(x) =cos(x), x 0 =0,δx=0.2 f(x) =sin(x), x 0 =0,δx=0.2

2 4. f(x) =sin(x), x 0 =0,δx=0.5 Vejamos que, de fato, a aproximação () é bastante boa enquanto δx é pequeno. Mas, naturalmente a aproximação vai piorando na medida que δx se torna maior. Para melhorar a aproximação, podemos incluir a dependência quadrática em δx como f(x 0 + ε) ' f 0 + f 0 (x 0 )ε + Cε 2, (2) onde C é uma constante a ser determindada. Naturalmente esta expressão ainda é uma aproximação e não é possível que os dois lados se tornem idênticos como função de ε. Por outro lado, a aproximação linear (Eq.(, ou os primeiros dois termos da Eq.(??) acima)jáajustavaacurvanopontox = x 0 até a derivada. Assim, para melhorar aproximação em torno de x = x 0, é interessante que o último termo na Eq.(??) ajustasse a segunda derivada da curva no ponto x = x 0. Temos e Escolhendo d 2 f(x 0 + ε) dε 2 = f 00 (x 0 ), ε=0 d 2 dε 2 f0 + f 0 (x 0 )ε + Cε 2 =2C. C = 2 f 00 (x 0 ), teremos f(x 0 + δx) ' f 0 + f 0 (x 0 )δx + 2 f 00 (x 0 )(δx) 2, (3) como uma aproximação melhor que a Eq.(). Exercício: Calcule o erro da expressão (3) nos casos do Exercício anterior. Note que o termo quadrático em ε decresce rapidamente comparado com o termo linear. Por exemplo, se ε =0., ε 2 =0, 0, masseε =0.00, então ε 2 = , etc. O procedimento acima sugere que podemos ir melhorando a aproximação até obtermos uma expressão polinomial em ε que seja idêntica à função original. Vamos então pôr f(x 0 + ε) =f 0 + f 0 (x 0 )ε + 2 f 00 (x 0 )ε 2 + c 3 ε 3 + c 4 ε c n ε n + (4) Os coeficientes c 0 is podem ser determinados requerendo que todas as derivadas em relação a ε dos dois lados no ponto ε =0devem coincidir. Por exemplo, paraaterceiraderivadanopontoε =0do lado esquerdo fica d 3 dε 3 f(x 0 + ε) = f 000 (x 0 ), ε=0 2

3 no entanto, o lado direito fica e portanto, temos 3 2 c 3, c 3 = 3! f (3) (x 0 ), (5) onde f (n) (x 0 ) representa a n esima derivada no ponto x 0.Emgeral, Assim, temos c n = n! f (n) (x 0 ). (6) f(x 0 + ε) =f 0 +! f 0 (x 0 )ε + 2! f 00 (x 0 )ε n! f (n) (x 0 ) ε n + X = n! f (n) (x 0 ) ε n. (7) n=0 Podemos escrever tambem como f (x) =f (x 0 )+! f 0 (x 0 )(x x 0 )+ 2! f 00 (x 0 )(x x 0 ) n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + A expressão acima é conhecida como a expansão em série de Taylor da função f(x) em torno de x = x 0. Exercício: Obtenha as séries de Taylor nos seguintes casos:. sin(x), cos(x), e x 2. As mesmas funções em torno de x = π/2. 3. ln( x) 4. x Exercício: Verifiqueseasrelações, d sin x =cosx, d cos x = sin x, Z x = ln( x), 0 x são válidas nas séries de Taylor correspondentes. 3

4 Exercício: Prove que Z x 0 +x 2 =tan x, (8) e usando a fórmula acima, obtenha a expansão de Taylor da função tan x (9) Quandoavariaçãodex, ε for pequena, como vimos, podemos truncar a série de Taylor dentro de uma precisão desejada. O truncamento de série de Taylor em certa ordem de ε, digamos n =2,é f(x 0 + ε) =f 0 +! f 0 (x 0 )ε + 2! f 00 (x 0 ) ε 2 + O(ε 3 ), onde O δx 3 significa da ordem de ε 3, mostrando que os termos desprezados não passam de uma quantidade pequena da ordem superior de ε 3. Ou seja, se ε =0.0, o termo de correção seria da ordem de Raio de Convergência A série de Taylor pode não convergir. Por exemplo, a série de Taylor, x =+x + x2 + x 3 + (0) não é válida para x. Ou seja, o lado esquerdo é bem definida mesmo x >,(exceto x =) mas o lado direto não é definida se x. Exercício: Calcule os dois lados da Eq.(0) para os valores de x =0., x = 2, e x =2. Paraumadadasérie,odomíniodevariávelparaoqualasérieconvergeé chamado de raio de convergência. No exemplo do exercício acima, o raio da convergência da série da Eq.(0) é x =. Os raios de convergência das séries de Taylor para sin (x), cos(x) e exp(x) são infinitas, ou seja, a série converge para qualquer valor de x Variável complexa Vamos ver um exemplo interessante da aplicação de série de Taylor. Já sabemos que sin (x) =x 3! x3 + 5! x5 7! x7 + cos (x) = 2! x2 + 4! x4 6! x6 + 4

5 e e z =+! z + 2! z2 + 3! z3 + 4! z4. Em particular, se na última expressão, temos z = ix e ix =+ix 2! x2 i 3! x3 + 4! x4 + i 5! x5 + () A inspeção das expressões acima mostra que vale a segunte relação: e ix =cos(x)+i sin (x). (2) Esta é conhecida como a relação de Euler, e é extremamente útil para tratar as funções trigonométricas. Por exemplo, mas e ix e iy = e i(x+y) =cos(x + y)+i sin (x + y). (3) e ix e iy =(cosx + i sin x)(cosy + i sin y) =cosxcos y sin x sin y + i (sin x cos y +cosxsin y) (4) Igualando as partes reais e imaginárias das equações (2) e (3), temos as fórmulas de adição, cos (x + y) =cosx cos y sin x sin y, sin (x + y) =sinx cos y +cosxsin y. Podemos obter a inversa da Eq.(2) como cos (x) = eix + e ix, 2 sin (x) = eix e ix. 2i Exercício: Prove as relaçoes acima. Exercício: Obtenha a fórmula que expressa 0..3 sin 3x em termos de polinômio de sin (x) e cos (x). 5