Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira Ordem. Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 1 / 46

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1 Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira Ordem Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 1 / 46

2 Roteiro 1 Sistemas de Primeira Ordem Função de Transferência de Sistemas de Primeira Ordem Puramente Capacitivo ou Integrador Puro 2 Resposta Transiente de Sistemas de Primeira Ordem Resposta ao Degrau Resposta ao Impulso Resposta Senoidal 3 Exemplos Dois Tanques de Nível Resposta ao Pulso Resposta Senoidal 4 Atividades Complementares Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 2 / 46

3 Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Primeira Ordem (ou retardo de primeira ordem ou estágio exponencial simples) é aquele cuja resposta y(t) é descrita por uma equação diferencial de primeira ordem: Se a 0 0, então Fazendo a 1 dy dt + a 0y = bu, y(0) = 0 a 1 a 0 dy dt + y = b a 0 u, y(0) = 0 a 1 a 0 = τ p e b a 0 = K p tem-se dy τ p dt + y = K p u, y(0) = 0 que é a forma padrão de representar um sistema de primeira ordem, Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 3 / 46

4 Sistemas de Primeira Ordem onde τ p constante de tempo do sistema: indica a rapidez com que a resposta do sistema reage a uma perturbação em uma certa entrada K p ganho estacionário ou ganho estático ou ganho do processo: é a razão entre os valores finais da resposta e de uma determinada entrada considerada K p = y (degrau em u), ou u K p = lim [G p (s)] s 0 Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 4 / 46

5 Função de Transferência de Sistemas de 1 a Ordem Aplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial de um sistema de primeira ordem, obtendo τ p sy (s) + Y (s) = K p U(s) (τ p s + 1)Y (s) = K p U(s) G p (s) = Y (s) U(s) = K p τ p s + 1, E = C H = A *? I 7 I F ; I J F I Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 5 / 46

6 Puramente Capacitivo ou Integrador Puro Caso Particular: Se a 0 = 0 dy dt = b a 1 u = K pu G p (s) = Y (s) U(s) = K p s diz-se que o sistema é puramente capacitivo ou integrador puro. Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 6 / 46

7 ) K Sistemas de Primeira Ordem (CP1) Figura: Perturbação degrau DEQ/UFSCar 7 / 46 J Resposta ao Degrau As respostas transientes de sistemas de 1 a ordem são apresentadas para três tipos de perturbações diferentes, bastante comuns no estudo experimental e teórico do controle de processos. Resposta ao Degrau A função degrau de amplitude A é expressa por u(t) = Au (t), t 0 onde u (t) é a função degrau unitário 7 I ) I

8 Resposta ao Degrau Combinando a função de transferência de um sistema de 1 a ordem e a Transformada de Laplace da função degrau com amplitude A, Y (s) = K p A τ p s + 1 s cuja transformada inversa de Y (s), y(t), será igual a y(t) = K p A(1 e t/τp ) Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 8 / 46

9 Resposta ao Degrau A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y(t)/k p A contra o tempo adimensional t/τ p : 1 Sistema de Primeira Ordem: resposta ao degrau y/k p A t/τ p Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 9 / 46

10 Resposta ao Degrau Destacam-se nessa resposta: 1 o valor de y(t) alcança 63,2% do seu valor final após decorrido um intervalo de tempo igual a uma constante de tempo, τ p. Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida será a resposta do sistema. A resposta é essencialmente completa após 3 a 5 constantes de tempo tempo decorrido τ p 2τ p 3τ p 4τ p 5τ p [y(t)/y( )] ,2 86, ,2 99,3 Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 10 / 46

11 Resposta ao Degrau 2 a inclinação da curva resposta em t = 0 é igual a 1 d[y(t)/k p A] ) d[t/τ p ] = (e t/τp = 1 t=0 t=0 se a velocidade inicial de variação de y(t) fosse mantida, a resposta seria completa após uma constante de tempo 3 o valor final da resposta é igual a K p A y u = K p y(t ) K p A Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 11 / 46

12 Resposta ao Impulso ) > K > J ) K J Resposta ao Impulso Matematicamente, a função impulso de intensidade A é definida por u(t) = Aδ(t), t = 0 onde δ(t) é a função impulso unitário > 7 I ) Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 12 / 46

13 Resposta ao Impulso A resposta impulsional de um sistema de primeira ordem, perturbado por um impulso de intensidade A, pode ser expressa por: Y (s) = K p τ p s + 1 A A transformada inversa de Y (s), y(t), será igual a y(t) = K pa e t/τp τ p Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 13 / 46

14 Resposta ao Impulso A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y(t)τ p /K p A contra o tempo adimensional t/τ p : 1 Sistema de Primeira Ordem: resposta ao impulso 0.9 yτ p /K p A Note que a resposta cresce imediatamente para 1, 0 e, após decai exponencialmente t/τ p Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 14 / 46

15 Resposta Senoidal Resposta Senoidal Matematicamente, a função perturbação senoidal é representada pela equação u(t) = A sen(wt), t 0 onde A é a amplitude e w é a frequência angular (igual a 2πf, f =frequência em ciclos por tempo). A Transformada de Laplace de u(t) é U(s) = Aw s 2 + w 2 Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 15 / 46

16 Resposta Senoidal Combinando-a com a função de transferência de um sistema de 1 a ordem, encontra-se Y (s) = K p Aw τ p s + 1 s 2 + w 2 Calculando a transformada inversa de Y (s), obtém-se y(t) = K pawτ p τ 2 p w e t/τp + φ = arctg( wτ p ) K p A τp 2 w sen(wt + φ) Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 16 / 46

17 Resposta Senoidal Observe o comportamento da entrada senoidal e a resposta do sistema de 1 a ordem a ela Sistema de Primeira Ordem: resposta senoidal u y y t Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 17 / 46

18 Resposta Senoidal Pode-se verificar as seguintes características da resposta senoidal: 1 a resposta é também uma onda senoidal com frequência w igual à onda senoidal do sinal de entrada 2 quando t, resta apenas a solução periódica final, algumas vezes chamada de solução estacionária y(t) s = K p A sen(wt + φ) τp 2 w φ = arctg( wτ p ) (o primeiro termo tende a zero, sendo responsável pelo comportamento transiente da resposta de y(t)) Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 18 / 46

19 Resposta Senoidal 3 a razão entre as amplitudes da resposta (solução estacionária) e da entrada é a chamada razão de amplitude, AR AR = K q pa τp 2 w 2 +1 A = K p τ 2 p w Se AR < 1, diz-se que o sinal é atenuado. O mesmo é válido para a razão de amplitude normalizada, AR N, obtida quando divide-se AR pelo ganho do processo, K p AR N = AR K p = 1 τp 2 w < 1, portanto atenuado AR N apresenta apenas o efeito da dinâmica do processo, τ p, sobre a resposta senoidal Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 19 / 46

20 Resposta Senoidal 4 a resposta atrasa em relação à entrada por um ângulo φ. O atraso sempre ocorrerá, pois o sinal de φ é sempre negativo (φ < 0, atraso de fase; φ > 0, avanço de fase) Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 20 / 46

21 D D D. Dois Tanques de Nível Exemplo Dois tanques de armazenamento de líquido são mostrados a seguir.. ). ) 6 = G K A 6 = G K A Figura: Dois tanques de nível Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 21 / 46

22 Dois Tanques de Nível Exemplo () Para o Tanque 1, a vazão de saída é calculada como F = 8 h. Para o Tanque 2, a variação do nível h não afeta a vazão de saída, F. Ambos os tanques de armazenamento possuem seção reta uniforme com área A = 0, 3 m 2 e encontram-se em estado estacionário, com nível de líquido igual h s = 1 m. No tempo t = 0, a vazão de entrada, F o, é aumentada para 10 m 3 /min. Para cada tanque, determine: (a) a função de transferência H(s)/F o (s) (b) a resposta transiente h(t) (c) os níveis no novo estado estacionário (d) se cada tanque tem altura nominal h n = 2 m, qual dos tanques transbordará? E quando? Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 22 / 46

23 Dois Tanques de Nível Solução Tanque 1 Modelo Linearizado dh dt = F o A k 2A h, h(0) = 0 h s Função de Transferência A função de transferência entre a variável de saída, H(s) e a variável de entrada, F o (s) é: G p (s) = H(s) F o (s) = K p = 2 h s k τ p = 2A h s k K p τ p s + 1, onde = (2)(1) (8) = = 0, 25 m/(m 3 /min) (2)(0, 3)(1) (8) = 0, 075 min Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 23 / 46

24 Dois Tanques de Nível Função de Transferência Substituindo os valores numéricos de K p e τ p tem-se: G p (s) = H(s) F o (s) = 0, 25 0, 075s + 1 Resposta ao Degrau A entrada F o sofre um perturbação degrau de amplitude F o = 10 (8)(1) = 2 }{{} m3 /min. A transformada inversa de F s=8 h s H(s) = K p F o τ p s + 1 s será igual a ( ) h(t) = K p F o 1 e t/τp = (0, 25)(2) (1 e t/0,075) = 0, 50 (1 e t/0,075) Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 24 / 46

25 Dois Tanques de Nível Resposta ao Degrau Em variável absoluta h(t) = 1 + 0, 50 (1 e t/0,075) Após a perturbação, a altura do tanque irá para h(t ) = 1 + 0, 50 = 1, 50 m < 2 m não transbordará Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 25 / 46

26 Dois Tanques de Nível Resposta ao Degrau A resposta estacionária final também pode ser obtida do modelo nãolinear, calculando-se o seu valor após a variação (degrau) em F o : no EE: F os k h s = 0 ( ) 2 Fos h s = k ( ) 10 2 h s = = 1, 56 m < 2 m não transbordará 8 Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 26 / 46

27 Dois Tanques de Nível Tanque 2 Modelo Linear(izado) dh dt = F o A F A, h(0) = 0 Função de Transferência A função de transferência entre a variável de saída, H(s) e a variável de entrada, F o (s) é: sh(s) = F o(s) A F (s) A G p (s) = H(s) F o (s) = 1/A s Substituindo o valor numérico de A tem-se G p (s) = H(s) 3, 33 = F o (s) s Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 27 / 46

28 Dois Tanques de Nível Resposta ao Degrau A entrada F o sofre um perturbação degrau de amplitude F o = 10 (8)(1) = 2 }{{} m3 /min. A transformada inversa de F s=8 h s será igual a Em variável absoluta H(s) = 1/A F o s s h(t) = F o A t = (2) t = 6, 67t (0, 3) h(t) = 1 + 6, 67t Após a perturbação, a altura do tanque irá variar linearmente com o tempo, sem atingir novo valor final. Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 28 / 46

29 Dois Tanques de Nível Resposta ao Degrau O tanque irá transbordar quando h(t b ) > h n 2 = 1 + 6, 67t b t b = 2 1 = 0, 15 min 6, 67 transbordará Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 29 / 46

30 Dois Tanques de Nível Resposta ao Degrau 2.2 Altura de Líquido no Tanque 2 h (m) hlinear hcapacitivo hnominal t (min) Figura: Resposta ao degrau de dois tanques de nível Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 30 / 46

31 Resposta ao Pulso Exemplo Um tanque de nível de seção reta uniforme de área A = 0, 3 m 2 e vazão de saída calculada como F = 8 h, encontra-se em estado estacionário, com nível de líquido igual h s = 1 m. No tempo t = 0, a vazão de entrada é aumentada bruscamente para 9 m 3 /min, durante 0,1 min, pela adição uniforme de 0,10 m 3 de líquido no tanque. Mostre a resposta do sistema no tempo e compare-a com a resposta impulsional. Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 31 / 46

32 Resposta ao Pulso D D Exemplo (). ). Figura: Tanque de nível Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 32 / 46

33 Resposta ao Pulso Solução Função de Transferência A função de transferência entre a variável de saída, H(s) e a variável de entrada, F o (s) é: G p (s) = H(s) F o (s) = K p = 2 h s k τ p = 2A h s k K p τ p s + 1, onde = (2)(1) (8) = = 0, 25 m/(m 3 /min) (2)(0, 3)(1) (8) = 0, 075 min Substituindo os valores numéricos de K p e τ p tem-se: G p (s) = H(s) F o (s) = 0, 25 0, 075s + 1 Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 33 / 46

34 Resposta ao Pulso ' & % Perturbação Pulso A entrada F o sofre um perturbação pulso de amplitude F o = 9 (8)(1) = 1 }{{} m3 /min e duração de F s=8 h s 0,1 min. Esta perturbação pode ser representada como dois degraus iguais e consecutivos, mas de sinais opostos.! E J.! E! J E A I L E Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 34 / 46

35 Resposta ao Pulso Perturbação Pulso F o (t) = F o [u(t) u(t t o )] com t o = 0, 1 min e cuja Transformada de Laplace é ( ) 1 F o (s) = F o s e tos s Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 35 / 46

36 Resposta ao Pulso Solução no Tempo Resolvendo a equação no domínio da Transformada ( ) K p 1 H(s) = τ p s + 1 F o s e tos s [ 1 H(s) = K p F o s(τ p s + 1) e tos s(τ p s + 1) cuja transformada inversa será igual a {( ) ] } h(t) = K p F o 1 e t/τp u(t) [1 e (t to)/τp u(t t o ) ] Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 36 / 46

37 Resposta ao Pulso Solução no Tempo Ou { ( ) Kp F h(t) = o 1 e t/τ p {( ) [ ]} K p F o 1 e t/τ p 1 e (t t o)/τ p { ( ) Kp F h(t) = o 1 e t/τ p [( t < t o K p F o e t o/τ p 1 ) e t/τp] t > t o t < t o t > to Substituindo pelos valores numéricos h(t) = { (0, 25)(1) ( 1 e t/0,075 ) = 0, 25 ( 1 e t/0,075) t < 0, 1 min (0, 25)(1) [( e 0,1/0,075 1 ) e t/0,075] = 0, 698e t/0,075 t > 0, 1 min Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 37 / 46

38 Resposta ao Pulso Solução no Tempo Comparando com a resposta impulsional de intensidade F o t o h(t) = K p F o t o τ p e t/τp = (0, 25)(1)(0, 1) e t/0,075 = 0, 33e t/0,075 (0, 075) Em variável absoluta { ( 1 + 0, 25 1 e t/0,075 ) t < 0, 1 min h(t) = 1 + 0, 698e t/0,075 t > 0, 1 min h(t) = 1 + 0, 33e t/0,075 Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 38 / 46

39 Resposta ao Pulso Solução no Tempo Pulso e Impulso em F 0 resposta ao pulso resposta ao impulso h (m) t (min) Figura: Resposta impulsional e ao pulso Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 39 / 46

40 Resposta Senoidal Exemplo A composição de alimentação de um reator varia com uma amplitude maior que o aceitável. Deseja-se instalar um tanque pulmão para reduzir a variação na composição de alimentação, como mostrado na figura: F F F C A0 C* A0 C A V C* A0 Tanque Pulmão Reator Figura: Reator com tanque pulmão Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 40 / 46

41 Resposta Senoidal Exemplo () Deseja-se, então, saber qual o volume mínimo requerido do tanque pulmão para que a variação da composição na corrente de entrada do reator seja menor ou igual a ±20 g/m 3? Analise e discuta a solução. Considere uma vazão de alimentação F = 1 m 3 /min e uma concentração de alimentação C A0 variando segundo uma senóide com amplitude de 200 g/m 3 e período de 5 min, na vizinhança de um valor médio de 200 g/m 3. Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 41 / 46

42 Resposta Senoidal Solução Modelo Linear dc A0 dt = F V (C A0 C A0 ), C A0 (0) = C A0s Função de Transferência A função de transferência entre a variável de saída, C A0 (s) e a variável de entrada, C A0 (s) é obtida a partir do modelo linear escrito na forma padrão de primeira ordem e em variável desvio: dc A0 dt + F V C A0 = F V C A0 G p (s) = C A0 (s) C A0 (s) = K p τ p s + 1, onde K p = F /V F /V = 1 e τ p = 1 F/V = V /F min Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 42 / 46

43 Resposta Senoidal Resposta à Senóide A entrada C A0 comporta-se como uma perturbação senoidal A sen(wt) com amplitude A = 200 g/m 3 e frequência angular w = 2πf = 2π/T = 2π/5 = 0, 4π min 1. A transformada inversa de CA0 (s) = K p Aw τ p s + 1 s 2 + w 2 será igual a C A0 (t) = K pawτ p τ 2 p w e t/τp + φ = arctg( wτ p ) K p A τp 2 w sen(wt + φ) Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 43 / 46

44 Resposta Senoidal Solução Estacionária Após um transiente inicial, considera-se apenas a chamada solução estacionária: CA0 (t) = K p A sen(wt + φ) τp 2 w φ = arctg( wτ p ) Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 44 / 46

45 Resposta Senoidal Solução Estacionária Deseja-se que a amplitude da senóide na entrada do reator seja reduzida de A = ±200 g/m 3 para A = ±20 g/m 3 ; isto é, projetar um tanque pulmão com volume V suficiente para atenuar o sinal original C A0 (t) para CA0 (t). Desta forma, a amplitude do sinal C A0 (t) será igual a: A K p A = τp 2 w A K p A = (V /F) 2 w V = F (Kp ) A w A 1 = 1 0, 4π V = 2, 4 m 3 [(1)(200) 20 ] 1 Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 45 / 46

46 Leitura I Leitura Complementar Próxima aula: apostila do Prof. Wu a, capítulos 11 (volume I) e 12 (volume II). livro do Stephanopoulos b, capítulos 11 e 12. livro do Seborg et al. c, capítulos 5 e 6. a Kwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB. Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, b Stephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, c Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1 st Edition, John Wiley, New York, USA, Sistemas de Primeira Ordem (CP1) DEQ/UFSCar 46 / 46