1 A função δ de Dirac

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1 Transformadas de Laplace - Delta de Dirac Prof ETGalante Nesta nota de aula abordaremos a função (que não é bem uma função) delta de Dirac, tão importante nas equações diferenciais que modelam fenômenos de natureza impulsiva 1 A função δ de Dirac Considere uma equação diferencial da forma ay + by + cy = g(t), onde g(t) é grande em um intervalo pequeno t ɛ < t < t + ɛ e é zero nos demais pontos Tal função g(t) pode representar, por exemplo, a força aplicada por uma martelada dada em uma massa presa a uma mola, ou então a força aplicada numa numa bola de golf ao receber uma tacada, ou ainda numa bola de tênis ao levar uma raquetada Agora considere a integral I(ɛ) = g(t)dt = g(t)dt Em um sistema mecânico onde g(t) é uma força, I(ɛ) é o impulso total da força no intervalo de tempo (t ɛ, t + ɛ) Analogamente, se y é a corrente em um circuito elétrico e g(t) é a derivada da tensão em relação ao tempo, então I(ɛ) representa a tensão total no circuito no intervalo de tempo (t ɛ, t + ɛ) Em particular, vamos supor que t =, ɛ > e que g(t) é dada por: g(t) = d ɛ (t) = 1, ɛ < t < +ɛ 2ɛ, t ɛ ou t +ɛ Segue imediatamente que I(ɛ) = 1, para todo ɛ > Além disso, é interessante notar que lim d ɛ (t) =, para todo t Mais ainda: como I(ɛ) = 1 para todo ɛ, segue que: ɛ lim I(ɛ) = 1 ɛ Podemos a partir destas observações denir uma função impulso unitário δ que funciona como um impulso 1 em t =, porém é nula para todo t De um modo um tanto informal, é como se δ valesse para todo t, mas valesse exatamente em t = Escrevendo de um modo mais formal, do ponto de vista matemático, temos: (1) δ(t) =, t ; (2) δ(t)dt = 1 (3) 1

2 Note que não existe uma função, no sentido usual da palavra, que satisfaça as duas equações (2) e (3) acima - como as funções estudadas nos cursos de Cálculo, por exemplo A função δ denida por essas equações é um exemplo de algo conhecido como funções generalizadas ou distribuições Ela é chamada de delta de Dirac Figura 1: Paul Dirac ( ) Físico matemático inglês Recebeu o prêmio Nobel, junto com Schrödinger, em 1933 Seu resultado mais conhecido foi a equação relativística para o elétron, de 1928, a partir da qual ele previu o pósitron (antielétron), observado pela primeira vez em 1932 Podemos usar δ(t) para descrever um impulso unitário em qualquer t Assim como δ(t) corresponde a um impulso unitário em t =, um impulso em um ponto arbitrário t = t é dado por δ(t t ): δ(t t ) =, t t ; δ(t t )dt = 1 2 Transformada de Laplace de δ(t) A função δ não satisfaz as condições do teorema da existência da transformada de Lpalace (teo 21 da Aula 2), mas apesar disso sua transformada pode ser calculada formalmente Como δ(t) é denida como o limite de d ɛ (t) quando ɛ, é natural denir a transformada de Laplace de δ(t) como um limite análogo da transformada de d ɛ (t) Assim, supondo t > : Por outro lado, L{δ(t t )} = lim ɛ L{d ɛ (t t )} L{d ɛ (t t )} = e st d ɛ (t t )dt = Substituindo d ɛ (t t ) pela fórmula (1), temos: e st d ɛ (t t )dt 2

3 Portanto: L{d ɛ (t t )} = e st ( 1 2ɛ ) dt = 1 2ɛ = 1 t+ɛ 2sɛ e st = 1 2sɛ e st (e sɛ e sɛ ) e st dt L{d ɛ (t t )} = senh(sɛ) e st sɛ Aplicando a regra de L'Hospital (derivando em relação a ɛ) na expressão acima, nos permite calcular o limite: Conclusão: senh(sɛ) L{δ(t t )} = lim L{d ɛ (t t )} = lim ɛ ɛ sɛ s cosh(sɛ) = lim e st = 1 e st = e st ɛ s e st L{δ(t t )} = e st Este último resultado nos permite enunciar e demonstrar o seguinte teorema: Teorema 21 Seja δ(t) a função delta de Dirac Então a sua transformada de Laplace é dada por: L{δ(t)} = 1 Demonstração Como já vimos, L{δ(t t )} = e st, para todo t > Assim, passando ao limite t chegamos a L{δ(t)} = lim {δ(t t t )} = lim t e st = 1, como queríamos demonstrar Agora demonstraremos um resultado a respeito da função δ que é um corolário do: Teorema 22 (Teorema do Valor Médio para Integrais) Sejam as funções f, p : [a, b] R, tais que f é contínua, p integrável e p(x) para todo x [a, b] Então existe c [a, b] tal que b a f(x)p(x)dx = f(c) b a p(x)dx Enunciamos o teorema acima sem exibir aqui sua demonstração, a qual pode ser encontrada em diversos livro de Análise Iremos, no entanto, demonstrar um corolário dele que dene o produto da função δ por qualquer função contínua f Tal resultado será útil na resolução de certos exercícios envolvendo EDO's 3

4 Corolário 23 Seja δ(t) a função delta de Dirac e seja f uma função contínua Então: Demonstração Note que δ(t t )f(t)dt = f(t ) δ(t t )f(t)dt = lim Daí, aplicando a denição de d ɛ obtemos ɛ d ɛ (t t )f(t)dt = 1 2ɛ d ɛ (t t )f(t)dt f(t)dt Agora, do teorema (22) temos que existe t (t ɛ, t + ɛ) tal que: 1 2ɛ f(t)dt = 1 2ɛ 2ɛ f(t ) = f(t ) Agora devemos passar ao limite ɛ, mas note que isso implica em t t Concluímos então que: δ(t t )f(t)dt = f(t ) Corolário 24 (Propriedade da escolha) Seja δ(t) a função delta de Dirac, f uma função contínua e t > Então: δ(t t )f(t)dt = f(t ) Demonstração Como t > e δ(t t ) = para t t então = OBS: Se δ(t t ) fosse uma função no sentido usual do termo - como as estudadas em Cálculo 1, por exemplo - então jamais teríamos integrais como: δ(t t )dt = 1, ou ainda, δ(t t )dt = 1, muito pelo contrário, essas integrais certamente valeriam Apesar de que seu uso produzisse resultados corretos, como a função delta de Dirac não se comporta como uma função comum, houve inicialmente severas restrições em relação a ela por parte dos matemáticos Todavia, na década de 194, a contestada função de Dirac foi formalizada de maneira rigorosa pelo matemático francês Laurent Schwartz Essa formalização gerou um ramo inteiramente novo na matemática: a teoria das distribuições ou funções generalizadas Na moderna teoria das funções generalizadas, o limite da sequência de funções d ɛ (t) não é aceitável como denição de δ(t t ); também não se fala de uma função que vale para todo t e em t = Na verdade, a 4

5 Figura 2: Laurent Schwarz ( ) Formalizou pela primeira vez a função delta de Dirac Recebeu a medalha Fields em 195 função delta de Dirac é denida em termos de seu efeito (ou ação) em outras funções Se f é contínua em [, ), então: δ(t t )f(t)dt = f(t ) pode ser tomada como denição de δ(t t ) Esse resultado é conhecido como propriedade da escolha, uma vez que δ(t t ) tem o efeito de escolher o valor f(t ) no conjunto de valores de f em [, ) 3 EDO's Exemplo Resolva o PVI: y + y = 4δ(t 2π), com y() = 1, y () = Este problema serve como modelo na descrição do movimento de um sistema massamola, liberado na posição y() = 1 com velocidade y () =, movendo-se com amortecimento desprezível, no qual em t = 2π a massa recebe uma pancada abrupta Primeiro aplicamos a transformada de Laplace a ambos os lados da EDO: L{y + y} = L{4δ(t 2π)} L{y } + L{y} = 4L{δ(t 2π)} s 2 F (s) sy() y () + F (s) = 4e s2π s 2 F (s) s + F (s) = 4e 2πs F (s) = s s e 2πs s Aplicando a transformada inversa e usando o teorema do deslocamento, obtemos a solução do PVI: { } s L 1 {F (s)} = L 1 s e 2πs s { } { } s 4e y(t) = L 1 + L 1 2πs s s y(t) = cos(t) + 4u 2π (t)sen(t 2π) 5

6 Exemplo (Checar exercício 7 da pág 269 do Boyce) Resolva o PVI: y + y = δ(t 2π)cos(t), com y() =, y () = 1 Primeiro aplicamos a transformada de Laplace a ambos os lados da EDO: L{y + y} = L{δ(t 2π)cos(t)} L{y } + L{y} = e st δ(t 2π)cos(t)dt Agora aplicamos o corolário 24 para a integral no segundo membro: s 2 F (s) sy() y () + F (s) = e s2π cos(2π) s 2 F (s) 1 + F (s) = e 2πs 1 F (s) = 1 s e 2πs s Aplicando a transformada inversa e usando o teorema do deslocamento, obtemos a solução do PVI: y(t) = sen(t) + u 2π (t)sen(t 2π) 6