MOVIMENTO EM UMA LINHA RETA

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1 MOVIMENTO EM UMA LINHA RETA

2 MOVIMENTO EM UMA LINHA RETA Objetivos de aprendizagem: Descrever o movimento em uma linha reta em termos de velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea. Interpretar gráficos de posição, velocidade e aceleração em relação ao tempo. Como resolver problemas envolvendo movimento em uma linha reta com aceleração constante.

3 DESLOCAMENTO, TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA.

4 Como descrever o movimento de um corpo? Podemos estudar a variação de sua posição em um dado intervalo de tempo. Vamos procurar encontrar equações que relacionam a posição do corpo com o tempo.

5 Um carro se move em uma linha reta Como descrever o movimento do carrinho?

6 O carro começa a se mover no INÍCIO, passa pelo ponto P 1 depois de 1,0 s e pelo ponto P 2 após 4,0 s. P 1 está a 19 metros do início e P 2 está a 277 metros do início.

7 Sistema de coordenadas

8 Origem do sistema Sistema de coordenadas Indicação da coordenada e o sentido positivo

9 Origem do sistema Sistema de coordenadas Posição: é o local em que um corpo se encontra em um certo instante do tempo Indicação da coordenada e o sentido positivo

10 Deslocamento: é a diferença entre a posição em um certo instante t 2 e a posição em um instante anterior t 1. x=x 2 x 1

11 Velocidade média Definimos velocidade média como a razão entre o deslocamento de um objeto pelo intervalo de tempo decorrido. Se o objeto está na posição x 2 no instante t 2 e na posição x 1 no instante t 1, teremos v med x = x 2 x 1 = x t 2 t 1 t

12 Velocidade média No nosso exemplo: v med x = 277 m 19m 4 s 1 s = 258 m 3 s =86 m/ s Sinal positivo indica deslocamento no sentido positivo do eixo x. A unidade da velocidade média é distância por tempo.

13 Representação gráfica do deslocamento Gráfico da trajetória

14 Representação gráfica do deslocamento Note que a inclinação muda se considerarmos t=1s e t=3s. Isto quer dizer que a velocidade média entre estes dois instantes é diferente.

15 Representação gráfica do deslocamento De fato, a velocidade média vai mudando conforme vamos escolhendo instantes distintos para o tempo posterior..

16 Representação gráfica do deslocamento Você é capaz de responder se, ao mudarmos o instante posterior de t =4s para valores menores, a velocidade média irá aumentar, permanecer constante ou diminuir?

17 Velocidade instantânea

18 Velocidade instantânea

19 Velocidade instantânea Algebricamente: v med x = x x 2 1 = x t 2 t 1 t O que fizemos foi fazer o intervalo de tempo cada vez menor. No último gráfico, fizemos o intervalo de tempo tender a zero. Ao resultado chamamos velociddade instantânea no instante t 1 v x =lim t 0 x t

20 Exemplo Um carro se move de acordo com a equação: x=20 m 5 m/ s 2 t² Encontrar a velocidade média entre t = 1 s e t = 2s, t = 1s e t = 1,1 s, t=1 s e t= 1,01 s, t=1s e t=1,001s. A partir destes resultados, infira qual deve ser a velocidade instantânea em t=1s.

21 Exemplo Solução: x=20 m 5 m/ s 2 t² Entre t=1s e t=2s: x 2 x 1 v med x = m 2 1 s v med x = 15m 1s =15 m/ s

22 Exemplo Solução: x=20 m 5 m/ s 2 t² Entre t=1s e t=1,1s: v med x = , m 1,1 1 s v med x = 1,05 m 0,1 s =10,5 m/ s

23 Exemplo Solução: x=20 m 5 m/ s 2 t² Entre t=1s e t=1,01s: v med x = , m 1,01 1 s v med x = 1,005 m 0,01 s =10,05 m/ s

24 Exemplo Solução: x=20 m 5 m/ s 2 t² Entre t=1s e t=1,001s: v med x = , m 1,001 1 s v med x = 1,0005 m 0,001 s =10,005 m/ s

25 Exemplo Resumo: t=1 s t=0,1 s t=0,01 s t=0,001 s v med x =15m/ s v med x =10,5 m/ s v med x =10,05m/ s v med x =10,005 m/ s Podemos inferir, deste resultado, que a velocidade instantânea, calculada quando o intervalo de tempo é nulo, valerá 10 m/s.

26 Exemplo Demonstração: vamos considerar um instante inicial t e um intervalo arbitrário: v med x = 20 5 t t t 2 t t t v med x = 5 t t 2 5 t 2 t v med x = 5 t² 2 t t t 2 5t 2 t

27 Exemplo Demonstração: v med x = 5 t 2 2t t t t v med x = 5t 2 10 t t 5 t 2 5t 2 t

28 Exemplo Demonstração: v med x = 5t 2 10 t t 5 t 2 5t 2 t v med x = 10t t 5 t 2 t =10 t 5 t

29 Exemplo Logo, considerando o instante inicial t e o final t + Δt, a velocidade média é dada por v med x =10 t 5 t Agora, vamos considerar o limite em que o intervalo de tempo vai a zero: v x =lim t 0 10 t 5 t =10 t Para t =1s: v = 10 m/s

30 x v x =lim t 0 t = dx dt Lemos a derivada de x em relação a t.

31 Aceleração Média e Aceleração instantanea

32 Velocidade: mede a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Aceleração: mede a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.

33 Aceleração média Em t 1 : velocidade v 1 Em t 2 : velocidade v 2 a med, x = v 2x v 1x t 2 t 1 = v x t

34 Aceleração instantanea Aceleração média: a med, x = v 2x v 1x t 2 t 1 = v x t Aceleração instantanea: v a x =lim t 0 t = dv x dt

35 Aceleração instantanea: representação gráfica

36 Movimento com aceleração constante Acontece em várias situações de interesse, a principal sendo o movimento dos corpos próximo a à superfície da Terra quando med x a resistência do ar pode ser desprezada. a Característica principal: como a aceleração é constante, a aceleração média, a med x é a mesma que a x.

37 Como teremos Equação para a velocidade a med x = v t = v 2x v 1x t 2 t 1 a x = v t = v 2x v 1x t 2 t 1 então v 2x =v 1x a x t 2 t 1

38 Equação para a velocidade v 2x =v 1x a x t 2 t 1 v 0x =0 s Velocidade do objeto quando t= 0 s v x =v 0x a x t Velocidade do objeto no instante t

39 Equação para a velocidade v 2x =v 1x a x t 2 t 1 v 0x =0 s Velocidade do objeto quando t= 0 s v x =v 0x a x t Note que esta equação vale apenas quando a aceleração é constante Velocidade do objeto no instante t

40 Interpretação gráfica

41 Interpretação gráfica Área total: retângulo: A q =v 0x t triângulo: A t = 1 2 a x t t Área total: A T =v 0x t 1 2 a x t 2 v med, x = v 0, x v 2

42 Interpretação gráfica Área total: retângulo: A q =v 0x t triângulo: A t = 1 2 a x t t Área total: A T =v 0x t 1 2 a x t 2 v med, x = v 0, x v 2

43 Equação para a posição v med, x = x 2 x 1 t 2 t 1 v med, x= x x 0 t v med, x = v 0, x v 2

44 Equação para a posição v med, x = v 0, x v 2 v med, x =v 0, x a x t 2 v med, x = v 0, x v 0, x a x t 2

45 Equação para a posição v med, x = x x 0 t v med, x =v 0, x a x t 2 x=x 0 v med, x t x=x 0 v 0, x t 1 2 a xt 2

46 Corpos em queda livre Corpos em movimento nas proximidades da superficie da Terra quando a resistência do ar e a rotação da Terra podem ser desprezadas. g=9,8 m/ s 2 Aponta para baixo

47 Queda livre Exemplo 1 Uma moeda é jogada do topo da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e cai em queda livre. Encontre sua posição e velocidade após 1,0 s; 2,0 s; 3,0 s.

48 Queda livre Exemplo 1 Equações: y= y 0 v 0y t 1 2 a yt 2 v y =v 0y a y t

49 Queda livre Exemplo 1 Equações: y= y 0 v 0y t 1 2 a yt 2 v y =v 0y a y t Valores iniciais: y 0 =0 v 0y =0

50 Queda livre Exemplo 1 Equações: y= 1 2 a y t 2 v y =a y t a y Valor para?

51 Queda livre Exemplo 1 Equações: y= 1 2 a y t 2 v y =a y t a y Valor para? a y = 9,8 m/s 2 = g Sinal negativo: a aceleração aponta contraria ao sentido positivo do eixo y..

52 Queda livre Exemplo 1 Equações: y= 1 2 g t 2 v y = g t

53 Queda livre Exemplo 1 Equações: y= 1 2 g t 2 v y = g t Substituindo os valores para o tempo, chegamos aos valores da figura ao lado.

54 Queda livre: Exemplo 2 Você joga uma bola verticalmente para cima de um prédio alto com velocidade inicial de 15,0 m/s. A bola sobe e cai até atingir o chão. Considerando que a bola esteja em queda livre, encontre a sua posição e velocidade depois de 1,0 s; 4,0 s.

55 Queda livre: Exemplo 2 Equações? y= y 0 v 0y t 1 2 a yt 2 v y =v 0y a y t Valores iniciais: v 0y = 15,0 m/s y 0 =0

56 Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: y=15t 1 2 a y t 2 v y =15 a y t Valor para aceleração?

57 Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: y=15t 1 2 a y t 2 v y =15 a y t Valor para aceleração? a y = 9,8 m/s 2 = g A aceleração aponta para baixo, o sentido positivo é para cima, logo a aceleração tem sentido contrária e carrega o sinal negativo..

58 Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: y=15t 1 2 a y t 2 v y =15 a y t Valor para aceleração? a y = 9,8 m/s 2 = g INDEPENDENTE SE O CORPO SOBE OU DESCE, A ACELERAÇÃO É A MESMA, SENDO SEMPRE CONTRÁRIA À ORIENTAÇÃO ESCOLHIDA PARA O EIXO Y E LOGO CARREGA O SINAL NEGATIVO.

59 Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: y=15t 1 2 g t 2 v y =15 g t

60 Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: y=15t 1 2 g t 2 v y =15 g t para t = 1,0 s y= + 10,1 m v = + 5,2 m/s

61 Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: y=15t 1 2 g t 2 v y =15 g t para t = 4,0 s y= -18,4 m v = - 24,2 m/s

62 Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: y=15t 1 2 g t 2 v y =15 g t Você e capaz de encontrar o instante t em que a bola atinge o topo de sua trajetória? Qual a altura que ela sobe?