UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

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1 UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO e 2 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 6//26 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES:. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis; 3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Duração: 2 HORAS. 5. Nas questões discursivas EXPLICITAR os cálculos. Questão ( pontos). Avalie: a) b) c) d) x lim x x Resposta: b) Usando a definição do valor absoluto, para valores próximos ao zero temos, x lim x x = lim = x Questão 2 ( pontos). Considere a sequência a n = n(+n 2 ) p. Para quais valores de p a série é convergente? a) p (, ) b) p (, ] c) p (,) d) p (,) n= a n Resposta: a) Usando o teste da integral temos x(+x 2 )dx = 2 u p du

2 a qual é finita quando p <. Questão 3 ( pontos). Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região x 2 y x com x [.2]. a) 4π b) 2π c) 3π d) 8π Resposta: a) Note que as funções x 2 e x se cruzam em x =, assim o volume é dado pelas integrais V = π (x 2 x 4 )dx+π 2 (x 4 x 2 )dx = 4π. Questão 4 ( pontos). Considere função f(x,y) = x 2 xy 3, se x = u 2 v + w 3 e y = v+ucos(w), calcule f w para u =, v = e w =. a) 3 b) 3 c) d) 2 Resposta: b) Usando a regra da cadeia obtemos f w = 6 ( u 2 v+w 3) w 2 3w 2 (v+ucos(w)) 3 +3 ( u 2 v+w 3) (v+ucos(w)) 2 usin(w) avaliando nos valores dados temos f w = 3 Questão 5 ( pontos). Calcule π/2 cos(x)sen (2x)dx a) 2 3 b) c) 3 d) 2 3 Resposta: a) 2

3 Vamos calcular a integral π/2 π/2 cos(x)sen (2x)dx = 2 cos 2 (x)sen (x)dx = 2 3. Questão 6 ( pontos). Avalie xdx x 4 Resposta: Calculando via frações parciais temos xdx x 4 = 4 ln(x )+ 4 ln(x+) 4 ln( x 2 + ) +C onde C é uma constante arbitrária. Questão 7 ( pontos). Avalie lim (x,y) (,) e x2 +y 2 x2 +y 2 Resposta: Por qualquer caminho o denominador vai a zero por valores positivos, enquanto o numerador tende a, logo a função tende a +. Questão 8 ( pontos). Sabendo que n= n 2 = π2 6. Calcule Resposta: n=3 (2n) 2 Primeiramente, n= (2n) 2 = 4 n= (n) 2 = π2 24 3

4 e ainda, n=3 (2n) = 2 (2n) = π n= Questão 9 ( pontos). Para x [,π], determine o ponto de mínimo da função f(x) = sen (x)+cos(x). Resposta: A derivada é dada por f (x) = cos(x) sen (x) e está definida para todo valor de x, se anulando, no intervalo do enunciado, quando x = π, logo este valor de x é ponto crítico de f. Avaliando, a função no ponto crítico e 4 nas extremidades do intervalo temos ( π f() =, f = 4) 2, f(π) =. Logo, o ponto de mínimo é x = π. Questão ( pontos). Avalie π 2x 3 cos(x 2 )dx. Resposta: Resolvendo a integral indefinida obtemos, 2x 3 cos(x 2 )dx = cos(x 2 )+x 2 sen (x 2 )+C, logo, π 2x 3 cos(x 2 )dx = 2 4

5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ FÍSICA PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 6//26 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: Prova sem consulta. 2 Duração: 2 HORAS ) Uma partícula descreve um movimento unidimensional ao longo do eixo x. A força resultante sobre essa partícula é dada por F = k x. Supondo que o valor da constante k seja 3, N/m, o trabalho realizado por essa força quando a partícula vai da posição x =,2 m até a posição x =,4 m é: a),6 J. b),8 J. c) zero. d),8 J. e),6 J. Solução: Alternativa (b). 2) Um pêndulo simples é constituído por uma esfera de massa M presa a um fio inextensível de comprimento L, como mostra a figura ao lado. O pêndulo é solto a partir do repouso quando o fio faz um ângulo com a vertical e passa a oscilar livremente sem atrito, descrevendo um movimento circular cujo centro é o ponto O. Quando a esfera passa pelo ponto mais baixo da trajetória, movendose da direita para a esquerda, seu momento angular em relação ao ponto O é: a) horizontal e aponta para a esquerda da figura; b) horizontal e aponta para a direita da figura; c) vertical e aponta para a parte de cima da figura; d) perpendicular ao plano do papel; e) nulo. O Solução: Alternativa (d).

6 3) A figura abaixo mostra seis imagens sucessivas que registram a posição de um cubo que se desloca da esquerda para a direita ao longo de uma superfície horizontal plana. Considerando que o tempo decorrido entre uma imagem e a seguinte seja o mesmo, que a força resultante sobre o cubo seja constante e que o eixo x esteja orientado para a direita, é correto afirmar que: a) A velocidade inicial do cubo e sua aceleração são positivas. b) A velocidade inicial do cubo e sua aceleração são negativas. c) A velocidade inicial do cubo é positiva e sua aceleração é negativa. d) A velocidade inicial do cubo é negativa e sua aceleração é positiva. e) A velocidade inicial do cubo é positiva e sua aceleração é nula. Solução: Alternativa (c). À medida em que o tempo passa, o cubo se desloca para a direita e a distância entre duas posições sucessivas é cada vez menor. Logo, a aceleração é negativa e a velocidade inicial é positiva. 4) A figura ao lado mostra o movimento de um projétil. Supondo que seja possível desprezar o efeito da resistência do ar, é correto afirmar que no ponto mais alto da trajetória: a) A aceleração e a velocidade são nulas. b) A aceleração é nula, mas a velocidade é diferente de zero. c) A velocidade é nula, mas a aceleração é diferente de zero. d) A aceleração e a velocidade são diferentes de zero. e) É impossível saber se a aceleração e a velocidade serão nulas ou não. Solução: Alternativa (d). Em qualquer ponto da trajetória a aceleração do projétil é a aceleração da gravidade e o componente horizontal da velocidade sempre será diferente de zero. Portanto em qualquer ponto da trajetória tanto a aceleração quanto a velocidade do projétil serão diferentes de zero.

7 5) Uma haste delgada, homogênea, de comprimento L e massa M pode girar em torno do eixo z, que é perpendicular a seu eixo de simetria. O momento de inércia em cada uma das situações mostradas na figura abaixo é dado por I, I2 e I3. A partir dessas informações é correto afirmar que: a) I > I2 > I3. b) I > I3 > I2. c) I2 > I > I3. d) I2 > I3 > I. e) I3 > I2 > I. I I2 I3 Solução: Alternativa (a).

8 6) Considere as seguintes situações: I. Um automóvel de massa m viaja com uma velocidade de 9 km/h em uma estrada retilínea e horizontal quando colide com uma carreta que estava em repouso. II. Um automóvel idêntico a esse, inicialmente em repouso, cai de uma altura h e colide com o chão. Supondo que a resistência do ar possa ser desprezada, calcule qual deveria ser a altura h para que o momento linear do automóvel imediatamente antes da colisão fosse o mesmo nas duas situações. Adote g = m/s 2. Solução: Se os automóveis são idênticos, eles têm a mesma massa. Se o momento linear for o mesmo nas duas situações, então a velocidade também será a mesma. Assim, basta calcular a altura h tal que a velocidade do segundo automóvel seja de 9 km/h imediatamente antes da colisão:

9 7) Um ônibus viaja ao longo de uma estrada retilínea com uma velocidade constante de 72 km/h enquanto um passageiro caminha ao longo corredor com uma velocidade constante de m/s em relação ao piso do ônibus. Calcule a velocidade desse passageiro em relação à estrada quando: a) o passageiro sai da primeira fila junto ao motorista e vai para o fundo do ônibus; b) o passageiro sai da última fila e vai até a frente do ônibus. Solução: 8) Uma caixa sem tampa tem o formato de um cubo. Todas as suas cinco faces (o fundo da caixa e as quatro faces laterais) são idênticas, têm lado L e massa M. Supondo que a espessura das faces possa ser desprezada, calcule a distância entre o fundo e o centro de massa da caixa. Solução: Adotando um sistema de coordenadas em que o fundo da caixa esteja no plano x y e que a coordenada z da abertura da caixa seja positiva, vem:

10 9) Um torque constante é aplicado a um disco homogêneo de 4 g, inicialmente em repouso, que pode girar em torno de um eixo vertical que passa por seu centro. Depois de 5, segundos sua velocidade angular chega a 3 rotações por minuto. Sabendo que o raio do disco é de 2 cm, calcule: a) a aceleração angular do disco; b) o torque aplicado a ele. Dado: Idisco = (m r 2 )/2 Solução: Como o torque e o momento de inércia são constantes, a aceleração angular também será constante. Então: (a) (b)

11 ) Duas caixas A e B estão conectadas por uma corda inextensível, como mostra a figura acima. A caixa B é puxada para a direita com uma força constante de 2 N. Supondo que não haja atrito entre as caixas e o solo, que a massa de A seja 2, kg e que a massa de B seja 3, kg, calcule: a) A aceleração da caixa A. b) A tração na corda que une as duas caixas. Solução: