UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1

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1 UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis; 3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Duração: 2 HORAS. 5. Nas questões discursivas EXPLICITAR os cálculos. Questão 1 (10 pontos). Avalie: a) 0 b) + c) d) 3 3 lim x 0 + x 2 x c) O numerador tem limite igual a 3 enquanto o denominador tem limite 0 por valores negativos, logo o resultado é. Questão 2 (10 pontos). Considere g : R R e h : R R deriváveis, supondo que f(x) = g(x cos(h(x))) encontre f (x). a) g ( xsen(h (x)) b) g (x cos(h(x))) (cos(h(x) xh (x)sen(h(x)))) c) g (xsen(h(x))) (cos(h(x) xh (x)sen(h(x)))) d) g (xsen(h(x))) (xh (x) cos(h(x)))) b) Utilizando a regra do produto e a regra da cadeia obtemos f (x) = g (x cos(h(x))) (cos(h(x) xh (x)sen(h(x)))).

2 Questão 3 (10 pontos). Considere a curva y 3 + 2xy + x 2 = 1, encontre o coeficiente angular da reta tangente para x não nulo, quando y = 1. a) 1 b) 1 c) 2 d) 2 c) Caculando a derivada implícita obtemos, Fazendo y = 1 na curva temos y 2x + 2y = 3y 2 + 2x. x 2 + 2x = 0 resolvendo para x e substituindo a raiz não nula, x = 2, temos: y = 2. Questão 4 (10 pontos). Para x [0, π], determine o ponto de mínimo da função f(x) = sen(x) + cos(x). a) π 4 b) 0 c) π 6 d) π d) A derivada é dada por f (x) = cos(x) sen(x) e está definida para todo valor de x, se anulando, no intervalo do enunciado, quando x = π, logo este valor de x é ponto crítico de f. Avaliando, a função no ponto crítico e 4 nas extremidades do intervalo temos ( π ) f(0) = 1, f = 2, f(π) = 1. 4 Logo, o ponto de mínimo é x = π. Questão 5 (10 pontos). Qual o valor de a) π 2 b) 2 c) 2 d) π π 0 2x 3 cos(x 2 )dx. b) 2

3 Resolvendo a integral indefinida obtemos, 2x 3 cos(x 2 )dx = cos(x 2 ) + x 2 sen(x 2 ) + C, logo, π 0 2x 3 cos(x 2 )dx = 2 Questão 6 (10 pontos). Estude a concavidade da função f(x) = 4x x Calculando a derivada segunda temos f (x) = 8x(x2 3) (x 2 + 1) 3 O denominador acima é sempre positivo. O numerador troca de sinal nos pontos 3, 0 e 3, logo estes pontos são os pontos de inflexão. Avaliando o sinal temos concavidade para baixo em (, 3) (0, 3) e concavidade para cima em ( 3, 0) ( 3, + ) Questão 7 (10 pontos). onde Avalie f(x) = f(x) f(0) lim x 0 x { xsen ( 1 x), se x 0 0, se x = 0. Escrevendo a expressão temos o qual não existe. ( ) 1 lim sen x 0 x Questão 8 (10 pontos). Sejam x 1 e x 2 as raízes da função f(x) = ax 2 x e sejam r 1 e r 2 as retas tangentes ao gráfico de f nos pontos x = x 1 e x = x 2, respectivamente. Para quais valores de a R as retas r 1 e r 2 são normais? 3

4 Calculando as raízes temos, x 1 = 0, x 2 = 1 a Avaliando a derivada de f, nestes pontos, temos ( ) 1 f (0) = 1, f = 1 a Logo, a equação de r 1 é da forma y = x e a equação de r 2 é da forma y = x 1/a, logo para todo valor real de a 0, estas retas são normais. No caso a = 0 não temos duas retas tangentes. Questão 9 (10 pontos). Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região x 2 y x com x [0, 2]. Note que as funções x 2 e x se cruzam em x = 1, assim o volume é dado pelas integrais V = π 1 0 (x 2 x 4 )dx + π 2 1 (x 4 x 2 )dx = 4π. Questão 10 (10 pontos). Encontre uma primitiva da função f(x) = sen(3x) cos(2x). Temos que Calcular 2sen(3x) cos(2x)dx usando, senos da diferença e soma temos 2sen(3x) cos(2x)dx = (sen(5x) + sen(x)) dx = 1 cos(5x) cos(x) + C 5 4

5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ QUIMICA BACHARELADO PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 16/10/2016 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 01 Prova sem consulta. 02 Duração: 2 HORAS 1) Os elementos químicos podem ser encontrados na natureza com diferentes massas atômicas. Para representar um determinado nuclídeo devemos apresentar o símbolo acompanhado de seu número de atômico no índice inferior e seu número de massa no índice superior. Um nuclídeo que contém 82 prótons e 126 neutrons, pode ser representado como: 208 a) 82X 126 b) 82X 164 c) 82X 290 d) 82X 82 e) 208X 2) Íons são formados quando um ou mais elétrons se transfere de um átomo neutro para outro. Partículas com cargas opostas se atraem formando os compostos iônicos. Compostos iônicos são aqueles nos quais a ligação química do tipo iônica prevalece. Assim, dos compostos: N 2O, Na 2O, CaCl 2, SF 4 quais poderiam ser classificados como iônicos? a) Na 2O e SF 4 b) Na 2O e CaCl 2 c) N 2O e SF 4 d) N 2O e Na 2O e) CaCl 2, SF 4 3) A reação CaCO 3 (s) CaO (s) + CO (2) (g) pode ser classificada como: a) combustão b) oxi-redução c) decomposição d) dupla troca 4) A cinética da reação entre iodeto de potássio (KIO 3) e tiossulfato de sódio (NaHSO 3) pode ser acompanhada facilmente dado a mudança de cor da solução após a formação de iodo (I 2): a solução que é translúcida e incolor torna-se cor palha após a formação do iodo. A reação química é representada pela equação: 2-2KIO 3 (aq) + 5NaHSO 3 (aq) I 2 (s) + 5SO 4 + H 2O (l) + 2K + (aq) + 5Na + (aq) + 3H + (aq) Os seguintes dados experimentais foram obtidos: Experimento [KIO 3]/mol.L -1 [NaHSO 3]/mol.L -1 Velocidade inicial/ mol.l -1.s ,01 0,01 0, ,02 0,01 0, ,01 0,02 0,003 A ordem da reação para KIO 3 e NaHSO 3 são respectivamente: a) 2 e 5 b) 2 e 1 c) 1 e 0 d) 2 e 0

6 5) O enxofre é um elemento muito importante para a humanidade. É usado em vários setores como na medicina e na agricultura. Na natureza pode ser encontrado em seu estado livre, como um sólido formado por anéis octatômicos. Pode ainda ser encontrado ligado a outros átomos formando diferentes compostos. Um dos compostos mais nocivos a humanidade que o enxofre forma é o gás sulfídrico, também conhecido como sulfeto de hidrogênio. Esse gás é formado pela decomposição de matéria orgânica na ausência de oxigênio. Em relação ao estado químico do enxofre, podemos afirmar que o número de oxidação do enxofre nos compostos S 8 e H 2S é, respectivamente: a) 0 e 6 b) 0 e -2 c) -2 e 0 d) 6 e -2 e) 0 e 2 S 8 é a forma elementar do enxofre, por regra o número de oxidação é igual a 0. H 2S: O hidrogênio tem número de oxidação +1 quando ligado a um não metal; como a molécula é neutra, o enxofre só pode assumir número de oxidação igual a -2. 6) Sabendo-se que o número de Avogadro fornece o fator de conversão entre a quantidade de matéria e a quantidade de objetos químicos (átomos, íons, moléculas, etc) que desejamos determinar, calcule o número de mol de íons cálcio presente em 0,25 mol de CaCO 3. Dados: Ca= 40 g mol -1 ; C = 12 g mol -1 ; O= 16 g mol -1. Se 1 mol de CaCO 3 contém 1 mol de Ca 2+, logo 0,25 mol de CaCO 3 contém 0,25 mol de Ca 2+ 7) Um aluno de iniciação científica está preparando padrões de íons sódio para calibração de um fotômetro de chamas. Ao inserir no equipamento uma solução, foi obtido a concentração de 0,010 mol L -1 de NaNO 3. Expresse esta concentração em partes por milhão (ppm) de sódio. Mostre os cálculos. Dados: Na = 23 g mol -1 ; N = 14 g mol -1 ; O= 16 g mol -1 1 Mol de NaNO 3 tem 1 mol de Na Logo: 0,010 mol L -1 de NaNO 3 tem 0,010 mol L -1 de Na 1 mol de Na = 23 g <=> 0,010 = 0,23g Se 1 ppm = 1 mg L -1 Então 0,23g de Na estão em 1L de solução = 0,23g/L = 230mg/L = 230 ppm de sódio 8) Um estudante está se preparando a atividade pré laboratório da aula sobre medida de ph. Em uma das atividades será feita a medida do valor do ph de uma solução de KOH 0,010 mol L -1. Nesta atividade, o estudante tem que estimar o valor lido no phgâmetro. Sabendo que ph é igual a log [H + ], qual o ph da solução? Mostre os cálculos. Dados: pkw= 1x10-14 ; pkw= pka + pkb KOH K + + OH - Forma em mols: 0,010 0,010 0,010 poh = -log 0,010 poh= 2 pkw= pka + pkb pkw = ph +poh então log1x10-14 = ph + poh logo 14= ph + 2 ph = 12

7 9) Um técnico de laboratório precisa preparar 250 ml de uma solução de hidróxido de amônio 0,250 mol L -1. No almoxarifado do laboratório ele encontrou um frasco de NH 4OH 28% m/m. Mas para facilitar as contas ele precisa saber a concentração em mol L -1 desse reagente. No frasco ele encontrou que a massa específica era 0,900 g ml -1 e que a massa molar é 35,0 g mol -1. Com base nesses dados, calcule a concentração do NH 4OH, em mol L -1 encontrado no almoxarifado. É informado no frasco que para cada 100 g de solução 28 g são de NH 4OH. Pela massa específica sabemos que 1L de solução equivalem a 900 g de solução. determina-se a massa de NH 4OH presente em 1L de solução: 100 g g 900g x X= 252 g de NH 4OH Usando a massa molar, transforma-se essa quantidade de massa em mol: 252/35,0 = 7,2 mol como essa massa equivalia a 1L, temos que esse valor de quantidade de matéria é para 1 L. Portanto a concentração da solução encontrada no almoxarifado é 7,2 mol L ) A ingestão em excesso de bebidas alcoólicas pode causar mal-estar principalmente devido a oxidação do etanol (C 2H 5OH) em aldeído acético (C 2H 4O) pela ação da enzima desidrogenase alcoólica (ADH) no fígado. Em laboratório o aldeído acético pode ser sintetizado pela deidrogenação do etanol conforme reação abaixo: C 2H 5OH (l) C 2H 4O (l) + H 2 (g) Calcule a entalpia da reação acima ( H o r), nas condições padrão, considerando as entalpias de formação padrão: H o f C 2H 5OH (l) = -278 kj.mol -1 ; H o f C 2H 4 (l) = -192 kj.mol -1 Aplicando a lei de Hess, com base nas entalpias padrão de formação, temos que: C 2H 5OH (l) 2C (s, gr) + 3H 2 (g) + ½O 2 (g) H o = 278 kj.mol -1 2C (s, gr) + 2H 2 (g) + ½O 2 (g) C 2H 4O (l) H o = -192 kj.mol -1 C 2H 5OH (l) C 2H 4O (l) + H 2 (g) H o r = = 86 kj.mol -1