3. MODELOS MATEMÁTICOS

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1 13 3. MODELOS MATEMÁTICOS 3.1 ENSAIOS EXPERIMENTAIS COM O TROCADOR DE CALOR Todos os ensaios realizados com o trocador de calor para a obtenção de seu modelo consistiram em se aplicar um degrau de vazão de vapor através do controle manual do sinal que modula a válvula eletropneumática [6], mantendo-se a vazão de água na parte dos tubos constante (esta vazão pode ser modulada pelo conversor de freqüência). Através deste experimento, foi possível levantar a curva da resposta ao degrau [7] da temperatura de saída do fluido frio. Vários ensaios de resposta ao degrau [8] foram realizados para diferentes valores de vazão de água do fluido frio. Percebe-se uma notável variação dos parâmetros da função de transferência do trocador de calor com a variação da vazão de água do fluido frio. A vazão de água na bomba do fluido frio possui um comportamento linear com a freqüência aplicada no motor pelo conversor de freqüência. A figura 3.1 mostra um gráfico da vazão em função da freqüência Vazão (Kg/min) Freqüência (Hz) Figura 3.1. Gráfico da vazão de água em função da freqüência do conversor. A figura 3.2 mostra a resposta ao degrau do trocador de calor para um degrau de vazão de vapor que corresponde a um sinal de 12 ma aplicado no dispositivo que modula a válvula eletropneumática. A vazão de fluido frio para o caso da figura 3.2 é de 24,89 kg/min o que corresponde a um valor de freqüência no conversor de 50 Hz.

2 14 Figura 3.2. Resposta ao degrau do trocador de calor para um sinal de 12 ma aplicado na válvula e uma vazão de 24,89 kg/min na parte dos tubos. Repare na existência do tempo morto que no caso é bem pequeno perto da constante de tempo do trocador de calor. O comportamento da planta é tipicamente de primeira ordem com tempo morto, o que torna fácil a aproximação da resposta ao degrau acima a um sistema com função de transferência do tipo: K. e θ. s G( s) = τ. s + 1 (3.1) Nas figuras 3.3 até 3.13, são mostradas as respostas ao degrau do trocador de calor para diferentes valores de vazões. Nestas figuras são apresentadas respostas para degraus positivos e negativos.

3 15 Figura 3.3. Resposta ao degrau do trocador de calor quando se retira o sinal de 12 ma na válvula para uma vazão de 24,89 kg/min na parte dos tubos. Figura 3.4. Resposta ao degrau do trocador de calor para um sinal de 12 ma na válvula e uma vazão de 22,43 kg/min na parte dos tubos.

4 16 Figura 3.5. Resposta ao degrau do trocador de calor quando se retira o sinal de 12 ma na válvula para uma vazão de 22,43 kg/min na parte dos tubos. Figura 3.6. Resposta ao degrau do trocador de calor para um sinal de 12 ma na válvula e uma vazão de 19,93 kg/min na parte dos tubos.

5 17 Figura 3.7. Resposta ao degrau do trocador de calor quando se retira o sinal de 12 ma na válvula para uma vazão de 19,93 kg/min na parte dos tubos. Figura 3.8. Resposta ao degrau do trocador de calor para um sinal de 12 ma na válvula e uma vazão de 17,44 kg/min na parte dos tubos.

6 18 Figura 3.9. Resposta ao degrau do trocador de calor quando se retira o sinal de 12 ma na válvula para uma vazão de 17,44 kg/min na parte dos tubos. Figura Resposta ao degrau do trocador de calor para um sinal de 12 ma na válvula e uma vazão de 14,95 kg/min na parte dos tubos.

7 19 Figura Resposta ao degrau do trocador de calor quando se retira o sinal de 12 ma na válvula para uma vazão de 14,95 kg/min na parte dos tubos. Figura Resposta ao degrau do trocador de calor para um sinal de 12 ma na válvula e uma vazão de 12,45 kg/min na parte dos tubos.

8 20 Figura Resposta ao degrau do trocador de calor quando se retira o sinal de 12 ma na válvula para uma vazão de 12,45 kg/min na parte dos tubos. 3.2 ELABORAÇÃO E VALIDAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO Para se obter um modelo matemático de primeira ordem do sistema, utilizou-se um software desenvolvido no MATLAB que estima os parâmetros K, τ e θ da função de transferência. Este software é mostrado no apêndice desta dissertação. Para todos os valores de vazões em que foram realizados os ensaios, foram elaborados modelos matemáticos. A tabela 3.1 mostra cada função de transferência para um respectivo valor de vazão. Os valores de τ e θ estão expressos em segundos e o valor do ganho esta expresso em ºC/mA. Os modelos abaixo se referem ao comportamento da planta no aquecimento (degrau positivo). Tabela 3.1. Modelos matemáticos do trocador de calor para cada valor de vazão ensaiado. Vazão (kg/min) Função de transferência 24,89 G( s) = 20. s 4,70. e 480,2. s + 1

9 21 Vazão (kg/min) 22,43 19,93 17,44 14,95 12,45 Função de transferência 23. s 4,91. e G( s) = 550,6. s s 5,44. e G( s) = 620,1. s s 6,26. e G( s) = 699,2. s s 7,26. e G( s) = 800,2. s s 8,54. e G( s) = 890,1. s + 1 As figuras a seguir mostram os resultados dos ensaios experimentais da resposta ao degrau em comparação com o modelo matemático obtido no MATLAB. Verificou-se experimentalmente que a válvula possui uma função característica, e os modelos a seguir levam em conta a função característica da válvula que será apresentada com detalhes mais adiante. Figura Comparativo do resultado experimental da resposta ao degrau com o modelo matemático para uma vazão de 24,89 kg/min.

10 22 Figura Comparativo do resultado experimental da resposta ao degrau com o modelo matemático para uma vazão de 22,43 kg/min. Figura Comparativo do resultado experimental da resposta ao degrau com o modelo matemático para uma vazão de 19,93 kg/min.

11 23 Figura Comparativo do resultado experimental da resposta ao degrau com o modelo matemático para uma vazão de 17,44 kg/min. Figura Comparativo do resultado experimental da resposta ao degrau com o modelo matemático para uma vazão de 14,95 kg/min.

12 24 Figura Comparativo do resultado experimental da resposta ao degrau com o modelo matemático para uma vazão de 12,45 kg/min. As figuras 3.20, 3.21 e 3.22 mostram a variação dos parâmetros K, τ e θ com a vazão de água na parte dos tubos respectivamente. Ganho K em função da vazão Figura Variação do ganho da planta (K) com a vazão.

13 25 Constante de tempo τ em função da vazão Figura Variação da constante de tempo da planta (τ) com a vazão. Tempo morto θ em função da vazão Figura Variação do tempo morto da planta (θ) com a vazão.

14 A FUNÇÃO CARACTERÍSTICA DA VÁLVULA Através dos ensaios do trocador de calor, verificou-se que a válvula eletropneumática apresenta uma não linearidade do tipo zona morta. Aplicando um aumento gradativo e lento de corrente no dispositivo eletropneumático, verificou-se que válvula responde para valores de corrente elétrica que correspondem a aproximadamente 30% do valor máximo da excursão do sinal. Para valores inferiores a 30%, a válvula eletropneumática não apresenta movimento algum. A figura 3.23 mostra uma curva obtida experimentalmente da válvula eletropneumática. Função característica da válvula Figura Função característica da válvula eletropneumática. A função característica da válvula eletropneumática pode ser cancelada via software, implementando a função inversa da curva da válvula. Seja a função descrita na figura 3.23 aproximada linearmente por dois segmentos de reta.: f ( x) = 0, para x 10,4. f ( x) = 10,95. x 122,1, para x>10,4.

15 27 Figura Comparativo entre a curva da válvula e um modelo linearizado. Esta função característica pode ser eliminada, implementando a função g ( x) = 0,096. x + 10,4 na saída do controlador. Onde x é o sinal do atuador em porcentagem e g (x) é o valor da corrente a ser aplicada no dispositivo eletropneumático. Esta função pode ser implementada facilmente via software no sistema de controle. A expressão de g (x) pode ser facilmente obtida através de dois pontos conhecidos da equação de reta. Deseja-se que g (x) seja igual a 10,4 (equivalente a 10,4 ma) quando x for igual a zero, deste raciocínio obtemos o valor da constante na expressão de g (x). Para se obter o coeficiente angular basta conhecer um outro ponto desejado da reta. Quando x for igual a 100 % de seu valor máximo, o valor de g (x) deve ser 20 (equivalente a 20 ma) portanto o coeficiente angular da reta será um valor de 0, ,4 resultando em 100