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1 Resumo Sinais e Sistemas Transformada de Fourier de Sinais Contínuos [email protected] Representação de sinais aperiódicos Transformada de Fourier de sinais periódicos Propriedades da transformada de Fourier Sistemas caracterizados por equações diferenciais Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas p./33 Sinais e Sistemas p.2/33 Objectivo Onda Quadrada x(t) em que: T T/2 T 0 T T/2 T Problema: precisamos de uma representação em frequência para sinais aperiódicos. vamos pegar num sinal periódico e ver o que acontece à sua representação em série de Fourier quando o período tende para infinito. x(t)= {, t <T 0, T < t <T/2 Os coeficientes da série de Fourier podem ser vistos como a amostragem de uma função emω: Ta k = 2 sin(ωt ) ω ω=kω0 Sinais e Sistemas p.3/33 Sinais e Sistemas p.4/33

2 Sinal Aperiódico Equação Inversa Um sinal aperiódico de duração finita pode ser visto como um período de um sinal com um período fundamental maior do que a sua duração: Ta k = T/2 T/2 x(t)e jkω 0t dt= Definindo como X( jω) a envolvente de Ta k : X( jω)= x(t)e jωt dt x(t)e jkω 0t dt Podemos definir que X( jω) é a representação em frequência de um sinal aperiódico x(t). Usando a mesma abordagem, podemos obter x(t) a partir de X( jω). Usando a equação da série de Fourier: x(t) = + k= T X( jkω 0)e jkω0t = + k= Uma vez que T éomesmo queω 0 0: lim x(t)= x(t)= T X( jkω 0 )e jkω 0t ω 0 X( jω)e jωt dω A partir da representação em frequência X( jω) podemos reconstruir o sinal aperiódico x(t). Sinais e Sistemas p.5/33 Sinais e Sistemas p.6/33 Transformada de Fourier Condições de Convergência As equações: x(t)= X( jω)= X( jω)e jωt dω x(t)e jωt dt são referidas como par da transformada de Fourier Tal como na série de Fourier, as condições suficientes para a a convergência dos integrais da transformada de Fourier são as condições de Dirichlet: x(t) tem de ser absolutamente integrável, ou seja, x(t) dt< x(t) tem um número finito de máximos e mínimos em qualquer intervalo finito, x(t) tem um número finito de discontinuidades em qualquer intervalo finito. Além disso essas discontinuidades devem ser finitas. Sinais e Sistemas p.7/33 Sinais e Sistemas p.8/33

3 x(t)=e at u(t), a>0 x(t)=δ(t) X( jω)= a+ jω X( jω)= Sinais e Sistemas p.9/33 Sinais e Sistemas p.0/33 Sinais Periódicos x(t)=e a t, a>0 Qual é o sinal que tem apenas uma componente em frequência? X( jω)=δ(ω ω 0 ) X( jω)= 2a a 2 +ω 2 x(t)= = e jω 0t δ(ω ω 0 )e jωt dω Sinais e Sistemas p./33 Sinais e Sistemas p.2/33

4 Série e Transformada de Fourier Um sinal periódico é representado por um trem de impulsos na frequência: x(t)= + k= + a k e jkω0t X( jω)= a k δ(ω kω 0 ) k= Os sinais periódicos têm uma transformada de Fourier constituída por impulsos de Dirac localizados em frequências kω 0 com área igual a vezes o coeficiente de Fourier a k. Calcular a transformada de Fourier dos sinais: x (t)=cos(ω 0 t), x 2 (t)=sin(ω 0 t) X ( jω)=π[δ(ω ω 0 )+δ(ω+ω 0 )] X 2 ( jω)= jπ[δ(ω ω 0 ) δ(ω+ω 0 )] Sinais e Sistemas p.3/33 Sinais e Sistemas p.4/33 Linearidade Deslocamento Temporal ax(t) + by(t) ax( jω)+bay( jω) A transformada de Fourier é uma operação linear. x(t t 0 ) e jωt0 X( jω) O deslocamento temporal não afecta o módulo da transformada de Fourier, apenas a sua fase. Sinais e Sistemas p.5/33 Sinais e Sistemas p.6/33

5 Conjugado x(t) X ( jω) A transformada de Fourier do sinal conjugado, é a transformada do sinal original conjugada e invertida na frequência. Sinais Reais A propriedade do conjugado tem um resultado interessante no caso particular do sinal x(t) ser real: x(t) X( jω)=x ( jω) A transformada de Fourier de um sinal real é uma função complexa par. Sinais e Sistemas p.7/33 Sinais e Sistemas p.8/33 Simetria Diferenciação e Integração Par(x(t)) Impar(x(t)) Real(X( jω)) jimag(x( jω)) A componente par do sinal tem como transformada de Fourier a parte real da transformada do sinal original. t dx(t) dt x(τ)dτ jωx( jω) X( jω)+πx(0)δ(ω) jω A transformada de Fourier converte a operação de diferenciação no tempo na multiplicação por jω na frequência. Sinais e Sistemas p.9/33 Sinais e Sistemas p.20/33

6 Escalamento no Tempo x(at) x( t) ( jω ) a X a X( jω) Uma expansão na escala temporal corresponde a uma compressão no domínio da frequência. Se então Dualidade x(t) X(ω) X(t) x( ω) As equações no tempo e na frequência formam um par em que a variável tempo e frequência podem ser trocadas. Sinais e Sistemas p.2/33 Sinais e Sistemas p.22/33 Relação de Parseval g(t)= 2 +t 2 x(t) 2 dt= X( jω) 2 dω A energia do sinal total pode ser calculada pela energia da sua transformada de Fourier. G( jω)=e ω Sinais e Sistemas p.23/33 Sinais e Sistemas p.24/33

7 Convolução y(t)=h(t) x(t) Y( jω)=h( jω)x( jω) A transformada de Fourier da convolução de dois sinais é o produto das transformadas desses sinais. y(t)=h(t) x(t) em que h(t)=δ(t t 0 ) y(t)= x(t t 0 ) Sinais e Sistemas p.25/33 Sinais e Sistemas p.26/33 Determine a resposta em frequência de um diferenciador: y(t)= dx(t) dt Determine a resposta do sistema linear e invariante no tempo com resposta impulsiva: ao sinal de entrada: h(t)=e at u(t), a>0 H( jω)= jw x(t)=e bt u(t), b>0 y(t)= b a [e at e bt ]u(t) Sinais e Sistemas p.27/33 Sinais e Sistemas p.28/33

8 Multiplicação r(t) = s(t)p(t) [ ] R( jω)= S ( jω) P( jω) A transformada do produto de dois sinais é a convolução no domínio da frequência. r(t) = s(t)p(t) em que s(t) é um sinal de banda limitada e: p(t)=cos(ω 0 t) R( jω)= 2 [S ( j(ω ω 0))+S ( j(ω+ω 0 ))] Sinais e Sistemas p.29/33 Sinais e Sistemas p.30/33 Equações Diferenciais Muitos SLITs podem ser caracterizados por uma equação diferencial de coeficientes constantes: N k=0 a k d k y(t) dt k = M k=0 b k d k x(t) dt k Aplicando a propriedade da diferenciação: Considere um SLIT estável caracterizado pela seguinte equação diferencial: d 2 y(t) dt dy(t) dt + 3y(t)= dx(t) dt + 2x(t) Determine a resposta ao impulso deste sistema. H( jω)= Y( jω) M X( jω) = k=0 b k ( jω) k N k=0 a k( jω) k h(t)= 2 [e t + e 3t ]u(t) Sinais e Sistemas p.3/33 Sinais e Sistemas p.32/33

9 Conclusões Desenvolvemos a representação em transformada de Fourier para sinais aperiódicos tratando-os como sinais periódicos de período infinito. A transformada de Fourier de sinais periódicos é um trem de impulsos localizados em frequências harmónicas. Estudámos as diversas propriedades da transformada de Fourier A transformada de Fourier converte a operação de convolução no produto das transformadas. A transformada de Fourier é particularmente adequada ao estudo de SLITs caracterizados por equações diferenciais. Sinais e Sistemas p.33/33