Técnicas de Projeto de Filtros IIR

Transcrição

1 Carlos Alexandre Mello 1

2 A técnica básica de projeto de filtros IIR transforma filtros analógicos bem conhecidos em filtros digitais A vantagem dessa técnica está no fato que tanto tabelas de filtros analógicos quanto as conversões estão vastamente disponíveis na literatura Essa técnica é chamada de transformação de filtro analógica-digital (A/D) No entanto, as tabelas de filtros só estão disponíveis para filtros passa-baixa Para gerar outros filtros seletores de frequência, temos que aplicar transformações a filtros passa-baixa Essas transformações também estão disponíveis na literatura. 2

3 Existem duas formas de projeto de filtros IIR 3

4 Para projetar filtros IIR, vamos: 1) Projetar FPB analógicos; 2) Aplicar transformações no filtro para obter FPB digitais; 3) Aplicar transformações de frequência nas bandas para obter outros filtros digitais a partir do FPB. O principal problema dessas técnicas é que não temos controle sobre a fase do filtro Assim, os projetos de filtros IIR serão apenas em magnitude 4

5 Escala Relativa Seja H a (jω) a resposta em frequência do filtro analógico Então as especificações do FPB quanto à resposta quadrática de magnitude são dadas por: onde ε é o parâmetro de ondulação da banda de passagem, Ω P é a frequência de corte da banda de passagem, A é o parâmetro de atenuação da banda de corte e Ω S é a frequência da banda de corte 5

6 Especificações de um filtro passa-baixa analógico Da figura temos: 6

7 Escala Relativa Os parâmetros ε e A estão relacionados aos parâmetros R P e A S na escala db como: 7

8 Escala Relativa As tolerâncias δ 1 e δ 2 da escala absoluta são relacionados a ε e A por: 8

9 Escala Relativa Especificações de filtros analógicos não têm informação de fase Para calcular a função de sistema H a (s) no domínio-s considere : 9

10 Escala Relativa Então temos : Os polos e zeros da função de magnitude quadrática são distribuídos de forma simétrica (em relação ao eixo real ou complexo) 10

11 Da definição de polos e zeros de partir de H a (s).h a (-s), podemos construir H a (s) que é a função do sistema do filtro analógico Queremos que H a (s) seja causal e estável, então todos os polos de H a (s) devem estar no semiplano esquerdo Todos os polos do semi-plano da esquerda de H a (s).h a (-s) são usados para construir H a (s) 11

12 Observação: A transformada é apresentada no plano-s indicando o uso da transformada de Laplace (por ser no domínio analógico) 12

13 O projeto de filtros IIR reside na existência de filtros analógicos para obter filtros digitais Esses filtros analógicos são chamados de filtros protótipos Três protótipos são largamente usados na prática: Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico Vamos ver as características das versões passabaixa desses filtros 13

14 Filtro de Butterworth A principal característica desse filtro é que a resposta em magnitude é plana (flat) na banda de passagem e de corte A resposta quadrática de magnitude de um FPB de N- ésima ordem é dada por: onde N é a ordem do filtro e Ω c é a frequência de corte 14

15 Filtro de Butterworth 2 15

16 Filtro de Butterworth Do gráfico, podemos observar: i) Em Ω = 0, H a (j0) 2 = 1, para todo N. ii) Em Ω = Ω c, H a (jω c ) 2 = 0,5, para todo N, o que implica 3 db de atenuação em Ω c iii) H a (jω) 2 é uma função monotonicamente decrescente em Ω iv) H a (jω) 2 se aproxima de um FPB ideal em N. V) H a (jω) 2 é maximamente plano em Ω = 0 16

17 Filtro de Butterworth Sua função de sistema H a (s) é: c Para projetar o filtro, precisamos encontrar as raízes e pólos da função do sistema 17

18 Filtro de Butterworth O FPB analógico é especificado pelos parâmetros Ω P, Ω S, R P e A S Assim, a essência do projeto no caso do filtro de Butterworth é obter a ordem N e a frequência de corte dada Ω c 18

19 Filtro de Butterworth Assim, dadas essas especificações, queremos: 19

20 Filtro de Butterworth Resolvendo as equações para N e Ω c, temos: 20

21 Filtro de Butterworth Como N deve ser inteiro, então consideramos: N = N Para satisfazer exatamente as especificações do projeto em Ω P : Para satisfazer exatamente as especificações do projeto em Ω S : 21

22 Filtro de Butterworth: Exemplo Projete um filtro Butterworth satisfazendo: Ponto de corte na banda de passagem: Ω P = 0,2π Ripple na banda de passagem: R P = 7 db Ponto de corte na banda de corte: Ω S = 0,3π Ripple na banda de corte: A S = 16 db 22

23 Filtro de Butterworth: Exemplo Solução: Para satisfazer as especificações em Ω P Para satisfazer as especificações em Ω S 23

24 Filtro de Butterworth: Exemplo Solução: Podemos escolher Ω c entre esses dois valores, por exemplo Ω c = 0,5 Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e Ω c = 0,5 Ou seja: Como Ω = s/j, temos: 24

25 Filtro de Butterworth: Exemplo Solução: Os pólos p k da função anterior podem ser calculados no MatLab como: >> a = [ ]; >> b = roots(a) b = i i i i 25

26 Filtro de Butterworth: Exemplo Solução: Para termos um filtro causal e estável, usamos os pólos do semi-plano esquerdo: 26

27 Filtro de Butterworth: Exemplo Solução: Vamos ajustar o numerador para que o ganho na frequência zero seja unitário Ou seja, no denominador, quando s = 0, temos: (s + 0,5)(s 2 + 0,5s + 0,25) = 0,5.0,25 = 0,125 Logo, o numerador é multiplicado por um fator de 1/8 e temos: 27

28 Filtro de Butterworth: Exemplo Solução: Filtro analógico 28

29 Filtro de Butterworth: Exemplo Solução: Para transformar o filtro em digital, podemos usar o método de transformação bilinear Nele, consideramos: onde T é um parâmetro OBS: Explicação nas notas de aula. 29

30 Filtro de Butterworth: Exemplo Solução: No nosso caso, consideramos T = 1: 30

31 Filtro de Butterworth: Exemplo Solução: No MatLab: function [b, a] = u_buttap(n, omegac) [z, p, k] = buttap(n); z, p, k para Ω c = 1 p = p*omegac; k = k*omegac^n; B = real(poly(z)); b0 = k; b = k*b; a = real (poly(p)); T 31

32 Filtro de Chebyshev Existem dois tipos de filtros de Chebyshev O Chebyshev do tipo I tem resposta equirriple na banda de passagem e o tipo II, na banda de corte Os filtros Butterworth têm resposta monotônica em ambas as bandas Lembramos que um filtro de resposta equirriple tem menor ordem Assim, um filtro de Chebyshev tem menor ordem que um de Butterworth para as mesmas especificações 32

33 Filtro de Chebyshev 33

34 Filtro de Chebyshev A resposta quadrática de magnitude de um filtro Chebyshev tipo I é dada por: onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da banda de passagem e T N (x) é o polinômio de Chebyshev dado por (podemos considerar x = Ω/Ω c ): 34

35 Filtro de Chebyshev Para um filtro Chebyshev tipo II: Ou seja, x = (Ω/Ω c ) é substituído por seu inverso e ε 2 T N2 (x) também 35

36 Filtro de Elíptico Esses filtros apresentam ondulações na banda de passagem e de corte São similares em magnitude a filtros FIR equirriple São filtros ótimos no sentido que eles alcançam a menor ordem N para as dadas especificações São muito difíceis de projetar e analisar Não é possível projetá-los com ferramentas simples, sendo necessário uso de tabelas e recursos computacionais 36

37 Filtro de Elíptico A resposta quadrática de magnitude é dada por: onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da banda de passagem e U N (x) é a função elíptica Jacobiana de ordem N 37

38 Filtro de Elíptico Apesar da análise complexa, o cálculo da ordem do filtro é dado por: Onde: 1 38

39 Transformações em Frequência Como dissemos anteriormente, o projeto de filtros seletores de frequência como passa-alta, passafaixa ou rejeita faixa, são feitos a partir de um protótipo do tipo passa baixa A partir desse protótipo, é possível aplicar uma transformação algébrica para construir o filtro desejado As transformações mais comuns estão na tabela a seguir... 39

40 Transformações em Frequência 40

41 Comparação entre Filtros FIR e IIR Seja M o comprimento (número de coeficientes) de um filtro FIR de fase linear e N a ordem de um filtro elíptico (IIR) Se assumimos que ambos os filtros atendem exatamente às mesmas especificações, os dois filtros são equivalentes e atendem à relação: 41

42 Comparação entre Filtros FIR e IIR Isso mostra que, para a maior parte das aplicações, filtros IIR elípticos são desejáveis do ponto de vista computacional As condições mais favoráveis para filtros FIR são: 1. Grandes valores de δ 1 ; 2. Pequenos valores de δ 2 ; 3. Grande largura da banda de transição. 42

43 Técnicas de Projeto de Filtros Referências: Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle, J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000 Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989 Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007 Digital Signal and Image Processing, T.Bose, John Wiley and Sons,