Filtros Digitais Tipo FIR

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1 Filtros Digitais tipo FIR Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Filtros Digitais Tipo FIR Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia Elétrica - FEIS - Unesp Observação: Estas notas de aula estão baseadas no livro: Discrete-Time Signal Processing, A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 989/999. Filtros Digitais tipo FIR Filtros Digitais Tipo FIR Resposta ao impulso com duração finita Função de transferência H(z) = M X bnz n n= Implementação de forma não-recursiva Métodos de projeto Janelamento Amostragem em frequência Métodos ótimos

2 Filtros Digitais tipo FIR 3 Método do Janelamento Seja um filtro passa-baixas ideal com fase linear: Hd(e jω ) = e jωnd, ω ωc, ωc < ω π A correspondente resposta impulsiva ideal é: hd[n] = sin ω c(n nd) π(n nd) < n < Nota-se que a resposta impulsiva tem duração infinita e é não-causal. Uma solução para isso é truncar a resposta impulsiva, tomando N = M + amostras (M = nd): h[n] = hd[n], n M = nd = N, caso contrário o que equivale a multiplicar a resposta impulsiva ideal hd[n] por uma janela de duração finita w[n]: h[n] = hd[n] w[n] onde no caso de um simples truncamento, w[n] é uma janela retangular: w[n] =, n M = N, caso contrário Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - filtro passa-baixas ideal hd[n] = sin ω c(n nd) π(n nd), < n < Truncando-se a resposta impulsiva ideal para n M = nd, fica-se com:.6.4. M = 6 (FIR tipo I) M = 5 (FIR tipo II) n Exercício Calcule as respostas impulsivas ideais de todos os tipos de filtros ideais com fase linear: passa-baixas, passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa, e determine que tipos de filtros FIR com fase linear podem ser (I, II, III ou IV).

3 Filtros Digitais tipo FIR 5 Método do Janelamento Seja a resposta impulsiva de um filtro ideal hd[n]. Deseja-se aproximá-la por uma resposta de duração finita h[n] =, para n < e n > M Para a aproximação, será buscada a solução que minimiza o erro quadrático: E = X n= hd[n] h[n] Como a resposta final tem duração finita, pode-se separar a somatória em três termos: E X = n= hd[n] + M X n= hd[n] h[n] + X n=m+ hd[n] Como hd[n] está fixo, a minimização de E consiste em minimizar a somatória do meio, cujo valor mínimo é zero quando h[n] = hd[n]. Portanto, o truncamento da resposta ideal com uma janela retangular resulta no mínimo erro quadrático da aproximação. No entanto, em geral o truncamento com a janela retangular não é a melhor escolha no projeto de filtros. Filtros Digitais tipo FIR 6 Método do Janelamento O efeito do janelamento é mais evidente no domínio da frequência, no qual tem-se a convolução periódica entre a resposta em freq. ideal e o espectro da janela: H(e jω ) = π Z π π H d(e jθ )W (e j(ω θ) )dθ Dessa forma, a escolha da janela w[n] vai influenciar a resposta em freq. do filtro obtido e por isso existem diversos tipos de janelas disponíveis, além da retangular.

4 Filtros Digitais tipo FIR 7 Efeito do Janelamento Filtros Digitais tipo FIR 8 Efeito do Janelamento Os máximos desvios nas faixas de passagem e rejeição são produzidos pelos lóbulos laterais. Portanto, os desvios efetivamente obtidos no filtro final serão iguais, pois foram produzidos pelos mesmos lóbulos. A largura da faixa de transição é diretamente proporcional à largura do lóbulo principal.

5 Filtros Digitais tipo FIR 9 Efeito do Janelamento Há vários tipos de janelas que podem ser usadas. Cada uma possui diferentes características de: Forma: relacionada com a largura do lóbulo principal e o nível de lóbulo lateral; Comprimento: relacionada com a largura do lóbulo principal. Filtros Digitais tipo FIR Janelas Existem diversas janelas, com diferentes características de formato no domínio do tempo, que acabam por influenciar no seu espectro. Os parâmetros principais são relacionados, no espectro da janela, a: Forma: relacionada com a largura do lóbulo principal e o nível de lóbulo lateral; Comprimento: relacionada com a largura do lóbulo principal. w[n] formato DTFT lóbulos laterais lóbulo principal W (e jω ) nível de lóbulo lateral comprimento M n N = M + π π largura do lóbulo principal ω

6 Filtros Digitais tipo FIR Janelas (comprimento N = 6 (M = 5)) Janelas com N = 6 (M = 5).8 retangular Hamming Hanning Blackman n Retangular Hamming db Hanning Blackman db Ao se modificar o formato da janela, tanto a largura do lóbulo principal como o nível dos lóbulos laterais são modificados. Filtros Digitais tipo FIR Janela de Kaiser Família de janelas parametrizada por um fator de forma β. Janelas de Kaiser com N = 6.8 β = β = 3 β = n - Espectros de janelas de Kaiser com N = 6 β = β = 3 β = db

7 Filtros Digitais tipo FIR 3 Janela de Kaiser Mudando-se o comprimento da janela e mantendo-se o fator de forma β. - Espectros de janelas de Kaiser com β = 6 N = 8 N = 6 N = db Mudando-se o comprimento da janela e mantendo-se o seu formato, altera-se a largura dos lóbulos (principal e laterais) e o decaimento dos lóbulos laterais em função da frequência, mas o nível do primeiro lóbulo lateral permanece o mesmo. Filtros Digitais tipo FIR 4 Tipos de Janelas Alguns tipos de janelas w[n] para n M = N : Retangular: w[n] = Bartlett (triangular): n M/ /M Blackman:.4.5 cos(πn/m) +.8 cos(4πn/m) Hamming: cos(πn/m) Hanning:.5.5 cos(πn/m) Kaiser: I[β( [(n M/)/(M/)] ) / ] I(β), β I(.) - função de Bessel modificada do primeiro tipo e de ordem zero Lanczos: sin[π(n M/)/M] π(n M/)/M L, L > Tukey:, n M/ < αm/ cos, αm/ n M/ M/ n (+α)m/ ( α)m/

8 Filtros Digitais tipo FIR 5 Efeito do Janelamento Resposta impulsiva - filtro passa-baixas ideal.6 retangular n Hamming n Notar a simetria das janelas - manutenção da fase linear. Filtros Digitais tipo FIR 6 Efeito do Janelamento - Frequência N = 3 N = N = 3 N = 6 Janela retangular N = 3 N = N = 3 N = 6.8 Janela de Hamming

9 Filtros Digitais tipo FIR 7 Características de Janelas Características de filtros (passa-baixas, passa-altas, passa-faixa, rejeitafaixa) projetados com janelas de comprimento N = M + Janela Δω/π Rp [db] Rs [db] LL [db] δ Retangular.9/N Hanning 3./N Hamming 3.3/N Blackman 5.5/N Kaiser (β = 4.54).93/N Kaiser (β = 6.76) 4.3/N Kaiser (β = 8.96) 5.7/N Δω = ωs ωp : largura da faixa de transição Rp: máximo ripple na faixa de passagem Rs:mínima atenuação na faixa de rejeição LL: relação entre as magnitudes do lóbulo principal e do lóbulo lateral δ é o desvio efetivamente obtido quando se utiliza determinada janela Notar que δ = δp efetivo = δs efetivo Filtros Digitais tipo FIR 8 Janela de Kaiser Janelas com formato fixo: apresentam um valor fixo de nível de lóbulo lateral, que independe do comprimento - o resultado pode não ser o melhor (menor ordem). A janela de Kaiser é na verdade um conjunto de janelas parametrizadas por β, chamado de fator de forma. Dessa maneira, β está relacionado com o nível de lóbulo lateral da janela. Procedimento de projeto:. Determinar a largura de transição: Δω = ωs ωp. Calcular: A = log min{δp, δs} 3. Determinar o fator β: β =, A <.584(A ) (A ), A 5.(A 8.7), A > 5 4. Calcular o valor aproximado de M: M = A 8.85Δω no qual pode-se ter uma variação para mais ou para menos.

10 Filtros Digitais tipo FIR 9 Método do janelamento Escolha da janela:. Escolher o tipo da janela de acordo com os máximos desvios nas faixas de passagem e rejeição;. Determinar o comprimento da janela de acordo com a largura da faixa de transição. Procedimento de projeto:. A partir das especificações, determinar a resposta em freq. ideal, já incorporando o termo com fase linear (em geral e jωm/ );. Calcular a resposta impulsiva ideal hd[n]; 3. Determinar o tipo/formato e o comprimento (M + ) da janela w[n] que atende às especificações; 4. Obter a resposta do filtro: h[n] = hd[n] w[n]; 5. Verificar se o filtro atende às especificações. Se necessário, voltar ao passo 3. Filtros Digitais tipo FIR Exemplo: Filtro Passa-Baixas Especificações faixa de passagem: a.5 khz largura de transição:.5 khz freq. de rejeição:. khz Máximo Ripple na faixa de passagem:. db Mínima atenuação na faixa de rejeição: 5 db Freq. amostragem: 8 khz Transformando para freq. discretas ω = πf/fs: faixa de passagem: a ωp = 3π/8 largura de transição: Δω = π/8 freq. de rejeição: ωs = π/ Máximo Ripple na faixa de passagem: Rp =. db (δp =.6) Mínima atenuação na faixa de rejeição: Rs = 5 db (δs =.3) Freq. amostragem: 8 khz

11 Filtros Digitais tipo FIR Solução. A partir das especificações, determina-se a resposta em frequência do filtro passa-baixas ideal/desejado Hd(e jω ) com fase linear, no qual a ordem M ainda é desconhecida e ωc = (ωp + ω)/ =.4375π é a frequência de corte. Considera-se um termo de fase linar e jω M. Hd(e jω ) = e jω M, ω ωc, ωc < ω π. Determina-se a expressão da resposta impulsiva do filtro ideal/desejado: hd[n] = sin ω c(n M/) π(n M/) 3. A partir do mínimo desvio (,3), o que equivale a uma atenuação de 5 db, escolhe-se na tabela uma janela que satisfaz a essa condição: Hamming, Blackman, Kaiser, etc. Escolhe-se a que resulta em menor ordem, no caso a janela de Hamming; 4. Determina-se o comprimento da janela, neste caso N = 3.3/(Δω/π), na qual a largura de transição normalizada é: Δω π = ω s ωp π = 6 O que resulta em N = 5.8. Como N deve ser inteiro, utiliza-se N = 53, o que equivale a M = 5, ou seja, trata-se de um filtro FIR tipo I, pois a resposta é simétrica. 5. De posse dos valores numéricos de M e ωc, calculam-se os valores de hd[n] para n M = 5; 6. Calcula-se a janela w[n], de comprimento 53: w[n] = cos(πn/m), n M = 5 7. Realiza-se o janelamento da resposta ideal/desejada, obtendo-se o filtro prático: h[n] = hd[n] w[n] Filtros Digitais tipo FIR Exemplo: Filtro Passa-Baixas - janela de Hamming.6 resposta ideal hd[n].4. amplitude resposta obtida h[n]=hd[n].w[n]. Janela de Hamming N=53.4. amplitude amostra n

12 Filtros Digitais tipo FIR 3 Exemplo: Filtro Passa-Baixas - janela de Hamming Resposta em frequencia 4 db Resposta de Fase rad Faixa de Passagem Hamming x 3 Faixa de Rejeição Filtros Digitais tipo FIR 4 Exemplo: Filtro Passa-Baixas - janela de Kaiser A = 5 β =.(A 8.7) = 4.55 N > (A 8)/(.85Δω) = 47.9 N = 48, M = 47 No MATLAB: w=kaiser(n,beta);.6 resposta ideal hd[n].4. amplitude resposta obtida h[n]=hd[n].k[n]. Janela de Kaiser N=48.4. amplitude amostra n

13 Filtros Digitais tipo FIR 5 Exemplo: Filtro Passa-Baixas - janela de Kaiser Resposta em frequencia 4 db Resposta de Fase rad Faixa de Passagem Kaiser x 3 Faixa de Rejeição Filtros Digitais tipo FIR 6 Exemplo - FIR Janelamento Seja um diferenciador com fase linear: Hdif(e jω ) = (jω)e jωm/, π < ω < π A correspondente resposta impulsiva ideal é dada por: hdif[n] = cos π(n M/) n M/ sin π(n M/) π(n M/), < n < Para obter um filtro FIR, multiplica-se a resposta ideal por uma janela w[n], de comprimento N = M + : h[n] = hdif w[n] A resposta impulsiva obedece a h[m n] = h[n] Filtros FIR tipos III ou IV

14 Filtros Digitais tipo FIR 7 Resposta para M = 5, janela retangular.5 Diferenciador, resposta impulsiva, M=5, janela retangular amostra Diferenciador, resposta em freq, M=5, janela retangular Magnitude Filtros Digitais tipo FIR 8 Resposta para M = 5, janela retangular Diferenciador, M=5, retangular entrada saída amostra Diferenciador, M=5, retangular 5 entrada saída amostra

15 Filtros Digitais tipo FIR 9 Resposta para M = 5, janela de Hamming.5 Diferenciador, resposta impulsiva, M= amostra Diferenciador, resposta em freq., M= Magnitude Filtros Digitais tipo FIR 3 Resposta para M = 5, janela de Hamming Diferenciador, M= Entrada Saída amostra Diferenciador, M=5 5 Entrada Saída amostra

16 Filtros Digitais tipo FIR 3 Resposta para M = 6, janela de Hamming.8 Diferenciador, resposta impulsiva, M= amostra Diferenciador, resposta em freq., M= Magnitude Filtros Digitais tipo FIR 3 Resposta para M = 6, janela de Hamming Diferenciador, M= Entrada Saída amostra Diferenciador, M=6 5 Entrada Saída amostra

17 Filtros Digitais tipo FIR 33 Amostragem em Frequência Consiste em amostrar a resposta em frequência ideal ou desejada e calcular a DFT inversa. Seja uma resposta desejada: Hd(e jω ) = Hd(e jω ) e j 6 Hd(e jω ) Amostrando Hd(e jω ) em L pontos equiespaçados entre ω = e π, tem-se: H[k] = Hd(e jω ) ω=πk/l, k=..l A partir de H[k] calcula-se a DFT inversa, obtendo-se a resposta impulsiva. Da teoria da DFT, sabe-se que a resposta no tempo será composta por um período do sinal: h[n] = X r= hd[n rl] h[n] = h[n], n =..L Assim, pode haver aliasing no tempo, caso a resposta impulsiva desejada não tenha duração menor ou igual a L, que é o caso geral. Um janelamento também pode ser utilizado para reduzir esse problema. Filtros Digitais tipo FIR 34 Exemplo - FIR Amostragem em Frequência Considere um filtro passa-baixas com as seguintes especificações em relação às frequências de corte: ωp =.4π ωs =.5π Usando a técnica de amostragem em frequência, a resposta de magnitude amostrada fica como indicada a seguir, com L = 3 amostras entre e π π/l:. Resposta desejada Dos valores de Hd[k], incorpora-se uma fase linear e calcula-se a DFT inversa, obtendo-se a resposta impulsiva h[n]. Esta resposta pode ainda ser multiplicada por uma janela de Hanning, por exemplo. Os gráficos seguintes mostram as respostas impulsivas e as magnitudes:

18 Filtros Digitais tipo FIR 35 Amostragem em Freq. Retangular Amostragem em Freq. Hanning Filtros Digitais tipo FIR 36 Métodos Ótimos Consiste da aproximação da resposta em frequência desejada em termos do erro quadrático ou do erro absoluto. Seja um filtro FIR tipo I (resp. imp. simétrica, M par): H(e jω ) = M X h[n]e jωn = A(ω)e jωm/ e n= A(ω) = M/ X n= d[n] cos(ωn) em que d[] = h[m/]; d[k] = h[(m/) k], k =..M/ Suponha que sejam dadas as especificações de um filtro por meio de uma resposta desejada: Hd(e jω ) = D(ω)e jωm/ na qual D(ω) representa a resposta de amplitude desejada. Problema: determinar os coeficientes d[n] que melhor aproximem a resposta desejada. Escolhendo L pontos da resposta desejada, nas freq. ωi, i =..L, procura-se o melhor A(ωi) que aproxima D(ωi) segundo um critério de erro.

19 Filtros Digitais tipo FIR 37 Métodos Ótimos Aproximação pela minimização do erro quadrático: Deve-se procurar os coeficientes d[n] que minimizem o erro dado por: E = L X e i = L X [A(ωi) D(ωi)] i= i= O resultado é dado pela solução de mínimos quadrados discretos (ref: Proakis) Aproximação pela minimização do erro absoluto: Procuram-se os coeficientes tal que, definindo o erro: E(ω) = A(ω) D(ω) tenha-se min{max E(ω) } considerando os erros nas faixas de passagem e rejeição, nas freq. ωi escolhidas. A solução é dada pelo algoritmo de Remez (Parks- McClellan). Filtros Digitais tipo FIR 38 Filtros Ótimos - Minimax Considere um filtro FIR tipo I (simétrico, M par), cuja resposta é representada por: H(e jω ) = A(ω)e jωl na qual A(ω) = L X n= d[n] cos(nω) e há (L + ) parâmetros a determinar. Considere agora uma resposta desejada Hd(e jω ) = D(ω)e jωl No caso de um filtro passa-baixas, D(ω) ficaria: D(ω) =, ω [, ωp] (faixa de passagem), ω [ωs, π] (faixa de rejeição) Definindo a função peso: W (ω) = δs/δp, ω [, ωp], ω [ωs, π] na qual δp e δs são constantes relacionadas aos desvios nas faixas de passagem e rejeição. O erro normalizado fica: E(ω) = W (ω)[a(ω) D(ω)] A função peso W (ω) serve para normalizar os erros nas faixas de passagem e rejeição, que podem ter desvios diferentes. O problema consiste em determinar os coeficientes d[n] que minimizem o máximo erro absoluto E(ω) quando ω estiver nas faixas de passagem e rejeição.

20 Filtros Digitais tipo FIR 39 Solução da aproximação A solução é dada pelo Teorema da Alternância: Teorema da Alternância: Seja Ω um subconjunto de ω em [, π], como por exemplo a união dos conjuntos [, ωp] e [ωs, π]. Então A(ω) é a única e melhor aproximação de D(ω) (no sentido de minimizar o máximo erro absoluto) se e somente se a função erro E(ω) é equiripple e tem pelo menos L + frequências onde a derivada é zero (frequências extremantes). Em outras palavras, existem, no conjunto Ω, frequências extremantes ω < ω... < ωl+ π que incluem ωp e ωs, tal que: E(ωi) = E(ωi+) = ± Em, i =,,..., L + no qual Em = max {ω Ω} E(ω) Uma resposta que obedece ao teorema da alternância, para L = 7, é: Filtros Digitais tipo FIR 4 Possíveis aproximações para L = 7

21 Filtros Digitais tipo FIR 4 Algoritmo de Parks-McClellan ou Algoritmo de Remez O objetivo do problema é determinar a melhor aproximação nas frequências ωi, tal que: W (ωi)[a(ωi) D(ωi)] = ( ) i+ δ, i =,,..., (L + ) ou L X n= d[n] cos(nωi) ( ) i+ δ W (ωi) = D(ω i), i =,,..., (L + ) A solução é dada pela melhor aproximação polinomial que obedeça ao teorema da alternância, com as seguintes condições: O número máximo de alternâncias é (L + 3); Alternâncias sempre ocorrem em ωp e ωs; O filtro será equiripple, exceto e possivelmente em ω = e ω = π. Parks e McClellan mostraram que o seguinte algoritmo resolve o problema: Filtros Digitais tipo FIR 4 Algoritmo de Parks-McClellan ou Algoritmo de Remez Primeira estimativa das (L+) freq. extremantes Calcula o ótimo no conjunto i Interpola pelos (L+) j pontos para obter A(e ) Calcula o erro E( ) e encontra o máximo, onde E( ) >= Há mais de (L+) freq. extremantes? Sim Conserva (L+) freq. referentes aos máximos extremos Não Sim As freq. extremantes se modificaram? Não Melhor aproximação

22 Filtros Digitais tipo FIR 43 Algoritmo de Parks-McClellan ou Algoritmo de Remez Estimativa do comprimento do filtro Uma aproximação para o valor de M para um filtro passa-baixas com aproximação pelo método ótimo foi dada por Kaiser (974): M = log (δδ) 3.34Δω Filtros Digitais tipo FIR 44 Exemplo: Algoritmo de Remez Deseja-se aproximar a função d(x) = x 4 + x por uma função do segundo grau: a(x) = a + ax + ax no intervalo [, ] usando a técnica da minimização do erro máximo absoluto. Solução: Como o polinômio do segundo grau tem L =, há pelo menos L + = 4 frequências extremantes. Considerando a primeira estimativa, incluindo os extremos, como: X = {,.3,.5, } Deve-se buscar a solução para a aproximação: W (xi)[a(xi) d(xi)] = ( ) i+ δ, i =,, 3, 4. ou, considerando a função peso igual a : a(xi) ( ) i+ δ = d(xi), i =,, 3, 4. a + axi + ax i ( ) i+ δ = d(xi), i =,, 3, 4. Na primeira iteração, tem-se o sistema: a a a δ = = Cuja solução é: a a a δ =

23 Filtros Digitais tipo FIR 45 Calculando agora a função erro: e(x) = a(x) d(x), tem-se o gráfico seguinte, de onde tira-se que as frequências extremantes e os respectivos erros são: X = {,.3,.76, } e(x) = {.337,.45,.4,.337}. Primeira iteração e(x) x Como o resultado do erro não é equiripple, utilizando X, repete-se o procedimento, conseguindo o seguinte resultado: a a a δ = Filtros Digitais tipo FIR 46 A nova função erro e as frequências extremantes são dadas por: X3 = {,.8,.78, } e(x3) = {.69,.66,.66,.69}.8 Segunda iteração.6.4. e(x) x Repetindo novamente: a a a δ = X4 = {,.8,.78, } e(x3) = {.634,.634,.634,.634}

24 Filtros Digitais tipo FIR 47.8 Terceira iteração.6.4. e(x) x No qual nota-se que o erro é equiripple e finalizam-se aqui as iterações. Os gráficos da função d(x) = x 4 + x e da função a(x) são: Aproximação algoritmo de Remez.8 x 4 +x x +.86 x x Filtros Digitais tipo FIR 48 Exemplo: Filtro Passa-Baixas - Algoritmo de Remez N = 44, M = 43.6 resposta obtida h[n]. Algoritmo de Remez N=44.4. amplitude amostra n Resposta em frequencia 4 db Resposta de Fase rad Faixa de Passagem Remez x 3 Faixa de Rejeição

25 Filtros Digitais tipo FIR 49 Alguns comandos no MATLAB - Filtros FIR Janelas: hamming hanning kaiser blackman bartlett chebwin boxcar Projeto kaiserord fir fir remezord, pmord remez, pm Análise filter freqz