Sinais e Sistemas. Série de Fourier. Renato Dourado Maia. Universidade Estadual de Montes Claros. Engenharia de Sistemas

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1 Sinais e Sisemas Série de Fourier Renao Dourado Maia Universidade Esadual de Mones Claros Engenharia de Sisemas

2 Inrodução A Série e a Inegral de Fourier englobam um dos desenvolvimenos maemáicos mais produivos e bonios, que funciona como insrumeno para vários problemas na área da maemáica, ciências e engenharia. Maxwell ficou ão admirado com a beleza da Série de Fourier que ele a chamou de um grande poema maemáico. Na Engenharia Elérica, ele é fundamenal a áreas de comunicação, processameno de sinais, e diversas ouras áreas, incluindo anenas. LATHI, B. P. Sinais e Sisemas Lineares. Poro Alegre. Booman, 27. p /4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 2/29

3 Inrodução A represenação e a análise de sisemas LTI uilizando convolução é baseada em expressar sinais como uma combinação linear de impulsos deslocados e ponderados. Agora, desenvolveremos a represenação e análise de sisemas LTI expressando os sinais como u- ma combinação linear de exponenciais complexas. 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 3/29

4 Inrodução Veremos que se a enrada de um sisema LTI é uma combinação linear de exponenciais complexas, a saída poderá ser expressa nessa mesma forma. Veremos primeiro a análise para sinais periódicos, que resula nas Séries de Fourier: somas ponderadas de exponenciais complexas harmonicamene relacionadas. 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 4/29

5 Inrodução Em seguida, veremos a análise para sinais aperiódicos, que resula nas Transformadas de Fourier: inegrais ponderadas de exponenciais complexas não-harmonicamene relacionadas. A análise não será mais feia no domínio do empo, mas sim no domínio da frequência! 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 5/29

6 Represenações de Fourier para Sinais Sinal Sinal Conínuo Periódico Sinal Discreo Periódico Sinal Conínuo Aperiódico Sinal Discreo Aperiódico Represenação Série de Fourier (FS) Série de Fourier Discrea (DTFS) Transformada de Fourier (FT) Transformada de Fourier Discrea (DTFT) 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 6/29

7 Resposa a uma Exponencial Complexa Vamos analisar a resposa de um sisema LTI conínuo a uma enrada exponencial complexa: s x( ) e, s é um número complexo Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s ( ) s y h x d h e d e h e d s Tomando H() s h( ) e d y () = Hs () e s 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 7/29

8 Resposa a uma Exponencial Complexa Vamos analisar a resposa de um sisema LTI discreo a uma enrada exponencial complexa: Assim: n x[ n] z, z é um número complexo n n yn [ ] hxn [ ] [ ] h [ ] z z h [ ] z Tomando H() z h [] z yn [ ] H() zz n 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 8/29

9 Resposa a uma Exponencial Complexa Sineizando Conínuo: Discreo: s x() e, s é um número complexo y() H() s e n x[ n] z, z é um número complexo y[ n] H( z) z s n As exponenciais complexas são auofunções de sisemas LTI discreos e conínuos. H(z) e H(s), para valores específicos de z e s, são os auovalores associados às auofunções: para uma enrada exponencial complexa, a saída é a mesma exponencial complexa, modificada pelo seu respecivo auovalor. 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 9/29

10 Resposa a uma Exponencial Complexa Consideremos agora a seguine enrada, para um sisema LTI: s s s 2 3 x() = a e + a e + a e 2 O que se pode dizer sobre a saída? s a e a H( s ) e 2 s a e a H( s ) e s a e a H( s ) e y () = a H ( s ) e + a H ( s ) e + a H ( s ) e 2 3 s s s s s s /4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia /29

11 Resposa a uma Exponencial Complexa Vamos generalizar o raciocínio: x() = a e y() = a H( s ) e n x[ n] = a z yn [ ] = a H( z ) z s s n O que há de ineressane nisso? 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia /29

12 Resposa a uma Exponencial Complexa De um modo geral, as variáveis s e z podem ser um número complexo geral. Todavia, a análise de Fourier envolve resrições nessas variáveis: Para o empo conínuo, o ineresse esá em valores puramene imaginários: x ( ) e s, s j, x ( ) e Para o empo discreo, o ineresse esá em valores de magniude uniária: xn [ ] z, z e, xn [ ] e j n j j n 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 2/29

13 Quando um sinal conínuo é periódico? Um sinal conínuo é periódico se exise uma consane posiiva T, al que: x ( ) x ( T), O MENOR VALOR PARA T QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL T. f : frequência fundamenal de x ( ) em herz T 2 : frequência fundamenal de x ( ) em radianos por segundo T 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 3/29

14 j e O sinal x () é periódico, com frequência fundamenal e período fundamenal T 2. Tal como já vimos, o conjuno de harmônicas é: j e ( ),,, 2,... Como as harmônicas possuem frequências que são múliplas da frequência fundamenal, elas ambém são periódicas com período T. Enão, uma combinação linear de exponenciais complexas harmonicamene relacionadas ambém resulará num sinal periódico com período T. j x( ) a e é um sinal periódico, com período T Vejamos uma animação em Java... 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 4/29

15 j x( ) a e é um sinal periódico, com período T Represenação em Série de Fourier para um sinal conínuo periódico: Forma Exponencial componenes fundamenais ( primeira harmônica) 2 componenes da segunda harmônica N componenes da enésima harmônica 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 5/29

16 Exemplo: Scrip em Malab M SerieFourierProg.m x () a a a 3 j 2 ae 3 a a 2 2 a a 3 3 Desenvolvendo o somaório, reorganizando os ermos, e uilizando a relação de Euler: 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 6/ x e e e e e e x ( ) cos2 cos 4 cos j () ( j j j j j ) ( ) ( )

17 2 x () = Exemplo.5 x () = (/2)cos(2π) Tempo () x 2 () = cos(4π) Tempo () x 3 () = (2/3)cos(6π) Tempo () Tempo () 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 7/29

18 .5 Exemplo x () + x () Tempo () x () + x () + x 2 () Tempo () x () + x () + x 2 () + x 3 () Tempo () 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 8/29

19 Exemplo 2 x ( ) cos2 cos 4 cos Esse resulado é um exemplo de uma forma alernaiva da Série de Fourier, aplicável para sinais conínuos periódicos reais. Vamos considerar um sinal periódico conínuo real: j j x() a e x () a e x () j Assim: ae 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 9/29

20 Exemplo x () j ae Trocando por - x () j a e j j x () a e ae Para sinais conínuos periódicos reais: a = a 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 2/29

21 Vamos derivar as formas alernaivas da Série de Fourier para sinais conínuos periódicos reais: + j ω + j ω j ω = = + + () [ ] x ae a ae a e = = a * + + jω jω ω * j = = = a = = + + x ( ) ae a [ ae ae ] SOMA DE COMPLEXOS CONJUGADOS + = j ω = + x() a 2 Real{ a e } 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 2/29

22 + = j ω = + x() a 2 Real{ a e } + = j ( ω + θ ) = + x() a 2 Real{ A e } jθ a = A e (Forma Polar) + x ( ) = a + 2 A cos( ω + θ ) = Represenação em Série de Fourier para um sinal conínuo periódico real: Forma Trigonomérica Compaca. 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 22/29

23 + = j ω = + x() a 2 Real{ a e } + x( ) = a + 2 [ B cos( ω ) C sen( ω )] = a = B + jc (Forma Reangular) Represenação em Série de Fourier para um sinal conínuo periódico real: Forma Trigonomérica. 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 23/29

24 Formas da FS para Sinais Conínuos Periódicos Reais: x () + = jω = ae Forma Exponencial + x ( ) = a + 2 A cos( ω + θ ) = Forma Trigonomérica Compaca + x( ) = a + 2 [ B cos( ω ) C sen( ω )] = Forma Trigonomérica 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 24/29

25 MAS COMO CALCULAR OS COEFICIENTES DA FS?... conas, conas, conas... (faremos depois!) a = T T xe () jω d 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 25/29

26 FS de um Sinal Periódico Conínuo a x () = = T + = T ae x() e jω jω d Equação de Sínese Equação de Análise { a } coeficienes da Série de Fourier ou coeficienes especrais Quanificam a conribuição de cada harmônica. a Corresponde ao valor médio sobre um período e é chamado de componene DC. 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 26/29

27 Relação de Euler: Exemplo x ( ) sen( ω ) = x ( ) = sen( ω ) = e e 2j 2j jω jω a = 2j a = 2j a =, e 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 27/29

28 Exemplo: Scrip em Malab M SerieFourierProg2.m x ( ) = + sen( ω ) + 2 cos( ω ) + cos(2ω + π 4) Aplicando-se a Relação de Euler: a a a = = = j j Como os coeficienes da FS são números complexos, eles podem ambém ser expressos na forma polar módulo e fase. 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 28/29 a a 2 2 a 2 = ( + j ) 4 = 2 ( j ) 4 =, > 2

29 .5 Exemplo Coeficienes Apresenados na Forma Módulo e Fase a a /4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 29/29

30 hp:// 4/4/24 Sinais e Sisemas Renao Dourado Maia 3/29