Projeto básico de controladores

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1 Projeto básico de controladores l l l l Definição das margens Diagramas de Bode Diagramas de Nyquist Exemplos de projetos

2 Margem de ganho Conhecido o máximo ganho (K m ) que assegure a estabilidade para o controle proporcional de uma dada planta de fase mínima (zeros no semi-plano esquerdo) e realimentação unitária negativa, a margem de ganho é definida como: MG = 20log10 K m

3 Exercício 19.1: Margem de ganho Dado a planta abaixo, calcule a sua margem de ganho: Y() s 1 = U() s s( s+ 5)( s+ 8)

4 Solução: Margem de ganho Y() s 1 = U() s s( s+ 5)( s+ 8) MG = 20log10 K m np=[1]; dp=poly([ ]); rlocus(np,dp) km=519 mg=20*log10(km) MG = 54.3 db

5 Teste em Simulink: : Margem de ganho K=519 muito próximo da estabilidade marginal Tempo muito longo para visualizar a instabilidade k=522

6 Margem de fase Mínimo atraso de fase que pode ser adicionado por um controlador a um sistema de malha aberta estável de modo a desestabilizar o sistema de malha fechada.

7 Margens de ganho e fase na FT senoidal l Com ganho e atraso a FT de malha aberta fica: s = st G( s) = Ke a P( s) l FT de malha fechada fica: sta Ke P() s FTmf () s = sta 1 + Ke P( s) jω l Fazendo pode-se obter as frequências que instabilizam o sistema malha fechada fazendo jωt 1 + Ke a P( jω ) = 0

8 Margens de ganho e fase na FT senoidal jωt 1 + Ke a P( jω ) = 0 l Duas condições para satisfazer a equação e jωt a KP( jω ) = 1 P( jω ) = 180 l A FT malha aberta pode ser escrita na forma a G( jω) = KP( jω) e e jωt jφ ( jω )

9 Margens de fase na FT senoidal l Quando a primeira é satisfeita KP( jω ) = 1 Pode-se definir ω cg Frequência de cruzamento de ganho l Pode-se observar o quão distante a fase θ jωt esta de satisfazer a segunda e a P( jω ) = 180 l Na frequência ω cg φ( jω) θ = 180 θ = φ( jω) Margem de fase em graus

10 Margens de ganho na FT senoidal l Quando a segunda é satisfeita e jωt a Pode-se definir = ωcf P( jω ) 180 Frequência de cruzamento de fase l Pode-se observar o quão distante o ganho esta de satisfazer a primeira KP( jω ) = 1 l Na frequência ωcg ( KP jω ) 0 20log10 ( ) KP( jω ) Margem de ganho em dbs

11 Exercício 19.2: Margem de fase Dado a planta abaixo, calcule a sua margem de fase: Y() s 1 = U() s s( s+ 5)( s+ 8)

12 Solução: Margem de fase Y() s 1 = U() s s( s+ 5)( s+ 8) MF = ( 90.5) np=[1]; dp=poly([ ]); w=logspace(-3,2) bode(np,dp,w) wcg=0.025 MF = 89.5

13 Teste em Simulink: : Margem de fase jωt G() s e a P() s ωt = a = θ T a θ 89.5* pi /180 = = 62.5 ω Ta= 65s

14 Vizualização das margens l As margens podem ser visualizadas diretamente nos diagramas de Bode, Nyquist e Nichols. l Primeiramente faz-se necessário definir algumas freqüências para visualização das margens

15 Definição dos pontos de cruzamentos l Freqüência de cruzamento de ganho: corresponde ao ponto em que o ganho cruza a linha de zero decibéis no diagrama do módulo

16 Definição dos pontos de cruzamentos l Freqüência de cruzamento de fase: corresponde ao ponto em que a fase cruza a linha de -180 graus no diagrama de fase

17 Como calcular as margens l Na freqüência de cruzamento de ganho define-se a margem de fase como o ângulo que falta para completar 180 graus. MF

18 Como calcular as margens l Na freqüência de cruzamento de fase definese a margem de ganho como a diferença em decibéis para atingir zero db. MG

19 Usando os diagramas de Bode As margens podem ser vistas no diagrama de Bode (comando margin) Para a planta: Y() s 1 = U() s s( s+ 5)( s+ 8) np=[1]; dp=poly([ ]); margin(np,dp) MF MG

20 No diagrama de Nyquist Considerando o ponto onde zero Db raio unitário o 180 cruzamento com o eixo real negativo

21 Margens no diagrama de Nyquist Nyquist Diagrams As margens podem ser encontradas no círculo de raio unitário e no ponto de cruzamento do eixo real negativo. Imaginary Axis MF 1/MG Real Axis

22 Margens finitas menores A aproximação dos cruzamentos do ponto (-1,0) gera margens menores tanto para o ganho como para a fase

23 Usando o diagrama de Nichols As margens são visualizadas em um único gráfico MF MG np=[1]; dp=poly([ ]); nichols(np,dp)

24 Exemplo 19.1: Margens finitas Para a planta (comando margin): Y( s) 1 = U() s s( s+ 2)( s+ 4) Bode Diagrams Gm= db (at rad/sec), Pm= deg. (at rad/sec) Phase (deg); Magnitude (db) MF MG Frequency (rad/sec)

25 Exemplo 19.1: Gráfico do lugar das raízes Usando o comando rlocus: Y( s) 1 = U() s s( s+ 2)( s+ 4) Imag Axis Real Axis

26 Exemplo 19.1: Diagrama de Nyquist Para a planta: Y( s) 1 = U( s) s( s+ 2)( s+ 4) % raio unitário teta=linspace(0,2*pi,100); re=cos(teta); im=sin(teta); plot(re,im,'k') axis equal, hold on np=1; dp=poly([-4-2 0]); sys=tf(np,dp); [r i]=nyquist(sys); r1(1,:)=r(1,1,:); i1(1,:)=i(1,1,:); plot(r1,i1,'b'), grid zoom

27 Exemplo 19.1: Diagrama de Nichols Para a planta: Y( s) 1 = U( s) s( s+ 2)( s+ 4) Nichols Charts 50 Open-Loop Gain (db) Open-Loop Phase (deg)

28 Exemplo 19.2: Margem de ganho infinita Para a planta: Y( s) 16 = U( s) ( s+ 2)( s+ 4) Bode Diagrams Gm = Inf, Pm= deg. (at rad/sec) 0 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec)

29 Exemplo 19.2: Lugar das raízes Para a planta: Y( s) 16 = U( s) ( s+ 2)( s+ 4) Imag Axis Real Axis

30 Exemplo 19.2: Diagrama de Nyquist Para a planta: Y( s) 16 = U( s) ( s+ 2)( s+ 4)

31 Exemplo 19.2: Diagrama de Nichols Para a planta: Y( s) 16 = U( s) ( s+ 2)( s+ 4) Nichols Charts 0-20 Open-Loop Gain (db) Open-Loop Phase (deg)

32 Exemplo 19.3: Sempre estável Para a planta: Y ( s) U ( s) = ( s + 8 2)( s + 4) Bode Diagrams 0 Gm = Inf, Pm=180 deg. (at 0 rad/sec) Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec)

33 Exemplo 19.3: Lugar das raízes Para a planta: Y ( s) U ( s) = ( s + 8 2)( s + 4) Imag Axis Real Axis

34 Exemplo 19.3: Diagrama de Nyquist Para a planta: Y( s) 8 = U( s) ( s+ 2)( s+ 4)

35 Exemplo 19.3: Diagrama de Nichols Para a planta: Y ( s) U ( s) = ( s + 8 2)( s + 4) Nichols Charts 0-20 Open-Loop Gain (db) Open-Loop Phase (deg)

36 Margem de Redução de ganho Quando o sistema é instável em malha aberta (pólos da FT de malha aberta no SPD), a margem de redução de ganho é definida como o menor ganho (K r ) que assegure a estabilidade do sistema em malha fechada: MRG = 20log10 ( ) K r

37 Margem de Redução de ganho Observar as margens juntamente com o lugar das raízes da malha aberta np=...; dp=...; figure(1) margin(np,dp) figure(2) rlocus(np,dp)

38 Exemplo 19.4: Margem de redução de ganho Para a planta cuja FT é Gs () = 2 3s + 6s calcule a margem de ganho e margem de fase e justifique o resultado s

39 Solução: nps=[3 6 4]; dps=[ ]; figure(1) margin(nps,dps) figure(2) rlocus(nps,dps)

40 Solução: km=0.371 mg=20*log10(km); mg=