Aula 11 Sinais de tempo contínuo amostrados

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1 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março Aula inais de tempo contínuo amostrados Bibliograia OPPENHEIM, A V; CHAFER, R W Discrete-time signal processing, 3rd ed, Prentice-Hall, IBN Páginas INGLE, V K; PROAKI, J G Digital signal processing using Matlab, Thomson, 7 IBN Páginas inais de tempo contínuo amostrados Em muitas aplicações por exemplo, comunicações digitais sinais analógicos do mundo real são convertidos em sinais discretos utilizando operações de amostragem e digitalização (coletivamente chamadas de conversão analógicodigital (A-D)) Estes sinais de tempo discreto são processados em processadores digitais de sinais (DP) e então os resultados são convertidos novamente em sinais analógicos usando uma operação de reconstrução (chamada de conversão digital analógica (D-A)) Usando análise de Fourier, podemos descrever a operação de amostragem do ponto de vista do domínio da requência, analisar seus eeitos e então planejar a operação de reconstrução Assumiremos um número suicientemente grande de níveis de digitalização de orma que seu eeito sobre os sinais discretos seja desprezível 34 Amostragem eja x a um sinal analógico (absolutamente integrável) ua transormada de Fourier de tempo contínuo (TFTC) é dada por ( jω) = x jωt X a a e dt, ()

2 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março em que Ω é uma requência analógica em radianos/s A Transormada de Fourier de tempo contínuo inversa é dada por x a π X ( jω) j = e Ω t a d Ω () Agora amostramos x a com um período de amostragem T segundos para obter o sinal de tempo discreto jω eja então ( e ) [ n] ( ) x = x a nt X a transormada de Fourier de tempo discreto de x [ n] jω pode-se mostrar (HAYKIN; VEEN, ) que ( e ) Então X é uma soma de versões deslocadas no tempo e escaladas em amplitude da transormada de Fourier X a ( jω) jω ( ) X e ω π = X a j T T T l= l (3) A órmula acima é conhecida como órmula do aliasing As requências analógicas e digitais são relacionadas por T, ω = ΩT, (4) enquanto a requência de amostragem F é dada por F = amostras/s T A Figura ilustra a órmula (3) pela qual observamos que, em geral, o sinal de tempo discreto é uma versão com aliasing do correspondente sinal ana-

3 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março lógico porque as altas requências icam sobrepostas sobre as baixas requências se ocorre sobreposição Figura Processo de amostragem (INGLE; PROAKI, ) No entanto, é possível recuperar a transormada de Fourier ( jω) jω X a de X ( e ) (ou, equivalentemente, o sinal x a a partir de x [ n] ) se as ininitas réplicas de 3

4 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março jω X a ( jω) não se sobrepuserem para ormar X ( e ) Isto pode ser verdade para sinais analógicos de banda limitada Um sinal é de banda limitada se existe uma requência angular inita Ω tal que X a ( jω) é nula para Ω > Ω banda do sinal em Hz A requência Ω F = é chamada de largura de π F Com relação à Figura, se π, ou equivalentemente se > F então: X > Ω T jω ω ( ) e = X j T T π ω π, < (5) que leva ao teorema da amostragem para sinais de banda limitada Um sinal de banda limitada x a com largura de banda F pode ser reconstruído a partir de suas amostras x [ n ] = ( ) se a requência de amostragem T x a nt T T F T = é maior do que duas vezes a largura de banda F de x a ( F Fo > ) Caso contrário tem-se aliasing em x [ n] A taxa de amostragem F para um sinal de banda limitada analógico é chamada de taxa de Nyquist Deve-se notar que depois que x a é amostrado, a mais alta requência analó- F gica que x [ n] representa é Hz (ou ω = π ) Exercício (OPPENHEIM et al, 999, p 44) Mostre através de gráicos o processo de amostragem de um sinal de tempo contínuo cuja TFTC tem orma triangular em Ω < Ω nos casos F > Fo e F < Fo 4

5 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março 34 Reconstrução A partir do teorema da amostragem e dos exemplos acima, ica claro que se amostrarmos um sinal de banda limitada x a acima de sua taxa de Nyquist, podemos reconstruí-lo a partir de suas amostras x [ n] Esta reconstrução pode ser pensada como um processo de dois passos: Primeiro as amostras são convertidas em um trem ponderado de impulsos n= x [ n] δ ( t nt ) = + x[ ] δ ( t + T ) + x[ ] δ + x[ ] δ ( t T ) + Em seguida este trem de impulsos é iltrado através de um iltro passabaixas ideal limitado em banda a F, F x [ n] Conversão em trem de impulsos Filtro passabaixas ideal ( ) t x a Este processo em dois passos pode ser descrito matematicamente usando a órmula de interpolação (HAYKIN; VAN VEEN, ): x = n= x[ n] sinc[ F ( t nt )], (6) sinπx πx em que sinc ( x) = é uma unção de interpolação A interpretação ísica da reconstrução acima (6) é mostrada na Figura donde vemos que esta interpolação ideal não pode ser construída já que o sistema total é não causal e, portanto não realizável 5

6 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março 343 Conversores D-A Práticos Na prática, precisamos de uma abordagem dierente da mostrada na Eq (6) O processo em duas etapas é possível de ser realizado desde que o iltro passabaixas ideal seja substituído por um iltro passa baixas prático Figura Processo de reconstrução (INGLE; PROAKI, ) 6

7 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março Outra interpretação da Eq (6) é que ela representa uma interpolação ininita Queremos interpolações de ordem inita (e geralmente baixa) Existem várias maneiras de azer isso (A) Interpolação de ordem zero ( Zero-Order-Hold (ZOH) ) Nesta interpolação uma dada amostra é mantida na saída pelo intervalo de amostragem até que a próxima amostra seja recebida: x[ n] nt n n + T xˆ a =, ( ) o que pode ser obtido iltrando o trem de impulsos através de um iltro interpolador da orma h, t T =, caso contrário, que é um pulso retangular O sinal resultante é uma orma de onda constante por partes (escada) que requer uma pós-iltragem analógica projetada apropriadamente para que tenhamos a reconstrução apropriada da orma de onda x [ n] ZOH xˆ a Filtro passabaixas ideal x a (B) Interpolação de ordem um ( First-Order-Hold (FOH)) Neste caso, as amostras adjacentes são ligadas por uma linha reta É o que o Matlab az com o comando plot com as conigurações padrão Ela pode ser obtida pela iltragem do trem de impulsos por 7

8 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março h t +, t T Ts t =, T t T Ts, caso contrário Novamente um pós-iltro analógico com projeto adequado é necessário para uma reconstrução adequada Estas interpolações podem ser estendidas para ordens mais altas Uma particularmente útil empregada pelo Matlab é a seguinte (C) Interpolação spline cúbica Esta abordagem usa splines interpolantes para uma estimativa mais suave, mas não necessariamente mais correta dos sinais analógicos entre as amostras Assim, esta interpolação não necessita de uma pós-iltragem analógica A reconstrução mais suave é obtida usando um conjunto de polinômios de terceiro grau contínuos por partes chamados spline cúbicos dados por x a = α [ n] + α [ n]( t nt ) + α [ n]( t nt ) + α [ n]( t nt ) 3 em que { [ n], i 3} i 3 8 ( n + ) T nt n α são os coeicientes do polinômio, que são determinados usando análise dos mínimos quadrados das amostras dos valores Exercícios (OPPENHEIM et al, 999, p 8) Um sinal analógico passa-banda complexo x c tem transormada de Fourier mostrada a seguir em que ( Ω ) = Ω Ω,

9 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março Figura 3 Espectro do inal do Exercício dois (OPPENHEIM; CHAFER, 999) Este sinal é amostrado para produzir a sequência x[ n] x ( nt ) jω (a) Esboce a TFTD ( e ) X da sequência [ n] x para = C T = π Ω (b) Qual é a menor requência de amostragem que pode ser usada sem que ocorra nenhuma distorção por aliasing, isto é, de orma que x c possa ser recuperado a partir de x [ n]? (c) Desenhe um diagrama de blocos de um sistema que pode ser usado para recuperar x c de x [ n] se a taxa de amostragem usada é maior ou igual à determinada no item (b) Assuma que iltros ideais (complexos) estão disponíveis REPOTA: (b) T < π Ω 3 (OPPENHEIM et al, 999, p 8) Um sinal analógico x c com transormada de Fourier X C ( jω) mostrada na igura a seguir, é amostrado com período de amostragem = π Ω T para ormar a sequência x[ n] x ( nt ) = C 9

10 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março Figura 4 Espectro do inal do Exercício três (OPPENHEIM; CHAFER, jω (a) Esboce a TFTD ( e ) ω < X para π 999) (b) O sinal x [ n] deve ser transmitido por um canal digital No receptor, o sinal x c deve ser recuperado Desenhe um diagrama de blocos do sistema de recuperação e especiique suas características Assuma que iltros ideais estão disponíveis (c) Em termos de Ω, para qual intervalo de valores de T podemos recuperar x c a partir de [ n] x? REPOTA: (c) T < π Ω L5 - Amostragem de sinais L5 Amostragem de sinais e aliasing Dado um sinal limitado em requência, x, pode-se amostrar este sinal e recuperá-lo novamente desde que se escolha uma requência de amostragem conveniente er limitado em requência signiica que seu espectro tem componentes até a requência MAX

11 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março e a amostragem or eita com uma requência de amostragem ou maior do que MAX T = igual MAX, o sinal pode ser recuperado exatamente Ou seja, se < então não ocorrerá aliasing ou requência alias A e amostrarmos o sinal x que contenha MAX >, mas MAX < ocorrerá aliasing ou requência alias igual a A MAX = e amostrarmos o sinal x que contenha MAX > ocorrerá aliasing e a requência alias é calculada da seguinte maneira: o Calculamos REULT < REULT = k em que k é o menor inteiro tal que MAX o e o e REULT <, então A REULT < < REULT = então A = REULT Atividade O seguinte programa pode ser utilizado para ilustrar o processo de amostragem e reconstrução por interpolação linear de uma senóide com requência com uma requência de amostragem CUIDADO: a orma às vezes estranha obtida na reconstrução é devido à utilização da interpolação linear ao invés de sincs Não tem a ver com a requência de amostragem utilizada! % Programa sam - Ilustracao do processo de amostragem % Mostra a amostragem e reconstrucao de uma senoide com requencia % amostrada com uma requencia de amostragem s unction sam(,s) ase = ; n = :6; % Intervalo ixado xa = sin(*pi*(/s)*n+ase); t = ::6/s; xc = sin(*pi**t); subplot(3);

12 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março plot(t,xc); str = ['inal x(t) = (' numstr() ' Hz)']; title(str); ylabel('amplitude'); subplot(3); stem(n,xa); ylabel('amplitude'); subplot(33); plot(n,xa); % recuperacao por interpolacao ylabel('recuperado') o Exemplo de aplicação: Gráico de uma senóide com = 5Hz amostrada a = 8 Hz >> sam(5,8) Repare que neste caso não ocorre aliasing Obtenha o gráico das seguintes senóides amostradas a 8kHz Em cada caso, veriique a existência de aliasing e, em caso positivo, calcule a requência alias A (a) = Hz (b) = 6 Hz (c) = 9 Hz (d) = 5 Hz (e) = 7 Hz () = Hz REOLUÇÃO: (Cálculos das requências A)

13 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março L5 Amostragem e processamento de sinais Uma senóide de tempo discreto genérica pode ser expressa como C cos ( Ωn +θ ), em que C é sua amplitude, Ω é sua requência (em radianos por amostras) e θ é sua ase (em radianos) Uma senóide de tempo contínuo cos ( ωt) amostrada a cada T segundos ornece uma sequência de tempo discreto cujo n -ésimo elemento (em cos ( ωnt ) Assim, o sinal amostrado y [ n] é dado por: y [ n] = cos( ωnt ) em que = cos Ωn Claramente, uma senóide de tempo contínuo Ω = ωt t = nt ) é cos ωt amostrada a cada T segundos ornece a senóide de tempo discreto cos ( Ωn) em que = ωt Ω upericialmente, pode parecer que uma senóide de tempo discreto é uma senóide de tempo contínuo apresentada com bolinhas No entanto, como veremos as propriedades das senóides de tempo discreto são muito dierentes das de tempo contínuo No caso contínuo, o período de uma senóide pode assumir qualquer valor; inteiro, racionário, ou mesmo irracional Os sinais de tempo discreto, por outro lado, só são especiicados em valores inteiros de n Assim, o período precisa ser um inteiro (em termos de n ) ou um múltiplo inteiro de T (em termos da variável contínua t ) Atividades eja o sinal de tempo contínuo x = t cos π 6 (a) Qual o período deste sinal? Faça um gráico deste sinal para 3 t 3 usando o Matlab (b) Agora suponha que você amostre este sinal com um período de amostragem T = Escreva o sinal de tempo discreto resultante y [ n] Usando o Matlab aça um gráico deste sinal sem apagar o anterior (use o comando hold) Qual o período deste sinal? 3

14 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março eja o sinal de tempo contínuo x cos = (a) Qual o período deste sinal? Faça um gráico deste sinal para 3 t 3 usando o Matlab (b) Agora suponha que você amostre este sinal com um período de amostragem T = Escreva o sinal de tempo discreto resultante y [ n] Usando o Matlab aça um gráico deste sinal para 3 n 3sem apagar o anterior (use o comando hold) Qual o período deste sinal? 3 Os onoaudiólogos usam um equipamento chamado audiômetro para testar a audição de deicientes auditivos Basicamente, este aparelho reproduz um tom dado pela senóide x = sin( πt) para entre Hz e 3Hz Escreva um programa (sequência de comandos) Matlab que produza um tom na requência que dure 5s: Hz (b) = 7 Hz (c) = 9 Hz (d) = Hz (a) = 5 (e) = 3 Hz OB: Para resolver este problema você precisará do comando sound 4 O audiômetro é um instrumento que gera um tom numa requência especiicada e com uma duração especiicada T total Usando uma requência de amostragem de 4kHz, escreva um programa Matlab chamado audiom que, dada uma requência e uma duração T total gera nos alto-alantes do PC um tom nesta requência Por exemplo, o comando: >> audio(5,); deve gerar nos alto-alantes um tom em 5Hz com duração de s 5 Obtenha a senóide de tempo discreto y [ n] resultante da amostragem de uma senóide de tempo contínuo com amplitude 3 e requência 75Hz Use uma requência de amostragem de 8Hz 4

15 Processamento Digital de inais Aula Proessor Marcio Eisencrat março (b) Escreva uma sequência de comandos Matlab que permita tocar este sinal nos alto-alantes do micro durante s 6 No ilme Contatos Imediatos do 3º grau do diretor teven pielberg, é descrito um contato entre seres humanos e seres de uma raça alienígena A comunicação era eita através de uma sequência de tons que os cientistas acreditavam ser reconhecida pelos alienígenas Esta sequência era composta por 5 tons nas requências 493,9Hz, 554,4Hz, 44Hz, Hz e 39,6Hz ua tarea consiste em criar um programa Matlab que gere esta sequência de tons, considerando todos com a mesma duração Mais precisamente você deve criar uma unção contatos(t) em que T é a duração de cada tom da sequência Por exemplo, ao digitar: >> contatos(5) deverá ser gerada a sequência de tons nos alto-alantes do PC com duração total de 5s Você pode usar qualquer erramenta do Matlab vista na aula As únicas restrições são a proibição da utilização de qualquer orma de loop Além disso, o comando sound só pode ser utilizado uma única vez 5