PSI LABORATÓRIO DE ELETRICIDADE. Introdução Teórica

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1 1 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrônicos - PSI - EPUSP Objetivos: PSI331 - LABORATÓRIO DE ELETRICIDADE ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS ARBITRÁRIOS Introdução Teórica L.Q. Orsini, Denise Consonni Vitor Nascimento Leopoldo Yoshioka, Elisabete Galeazo Introduzir aspectos práticos da análise espectral de sinais arbitrários por Transormada Discreta de Fourier (TDF) Evidenciar a interpretação dos resultados, através do exame de espectros conhecidos. Utilizar técnicas de instrumentação inormatizada para a aquisição e análise de Fourier de sinais elétricos. Aplicar a técnica na análise de sinais acústicos. 1 - Introdução: A Análise Espectral, isto é, a determinação de espectros de sinais ou de seqüências de medidas, tem grande interesse em vários campos cientíicos ou tecnológicos. Na experiência 7 [2] já oi estudada a análise espectral de sinais periódicos, com a determinação dos coeicientes das séries de Fourier correspondentes, a partir da transormada discreta de Fourier (TDF) de uma seqüência inita de amostras do sinal. Nesta experiência a restrição a sinais periódicos será retirada dos resultados da análise espectral, obtidos a partir da TDF de uma seqüência de amostras do sinal, serão interpretados também em termos de integrais de Fourier. Lembrar que no caso de sinais periódicos o espectro é discreto, isto é, composto por raias isoladas, ao passo que no caso de sinais não-periódicos, o espectro é contínuo e o resultado da análise ornecerá amostras do espectro contínuo, a menos de limitações experimentais. Experimentalmente, podemos considerar dois tipos de análise espectral: Edição Análise espectral analógica, em que os componentes espectrais do sinal são obtidos passando-os por um iltro passa-aixa, com banda estreita e reqüência central ajustável numa certa aixa de reqüências. Os instrumentos para a análise espectral analógica são chamados de analisadores espectrais ou analisadores harmônicos. 2. Análise espectral digital, em que o sinal é amostrado e as amostras são processadas digitalmente para a obtenção do espectro, via TDF. O algoritmo de cálculo pode ser implementado em sotware ou em hardware. A instrumentação moderna de análise espectral utiliza o processamento digital de sinais. Excetuam-se apenas alguns analisadores especiais, sobretudo aqueles empregados em reqüências muito altas. Nesta experiência utilizaremos técnicas digitais onde utilizaremos um osciloscópio digital

2 2 para a aquisição dos sinais ornecidos por um gerador de sinais. Um computador controlará o sistema e processará os sinais, para calcular o espectro. Como na experiência anterior, osciloscópio, computador e geradores de sinais serão interligados por interaces GPIB e/ou USB. Todo o sistema será controlado pelo programa LabVIEW [7]. 2 - As bases da Análise Espectral digital: Para azer a análise espectral, o sinal s(t), com transormada de Fourier S(), será amostrado numa janela de amostragem de duração T D. Nesta janela serão tomadas N amostras do sinal, igualmente espaçadas de t a. Portanto vale (1) T D = N.t a. A reqüência de amostragem será pois (2, a) a = 1/ t a = N / T D. A reqüência (2,b) D = 1/ T D deine a reqüência undamental da análise, ou deinição do espectro ( ou resolução espectral), pois a análise espectral digital ornecerá componentes do espectro em reqüências múltiplas de D. O conjunto das amostras do sinal constitui uma seqüência de números reais (3) {s(k, t a )} N 1 k=1 = {s k } N 1 k=1 Note-se que a sequência {s k } N 1 k=1 constitui a única inormação que será transerida para o computador. A partir desta seqüência constrói-se uma nova seqüência, agora com elementos complexos, usando a transormada discreta de Fourier (TDF). O termo geral desta seqüência é (ver [1], Cap. 1): (4) S ( n ) s. e D N 1 k k jk( 2 / N ) n - < n < Esta seqüência é periódica em n e k, com período N, e duplamente ininita. Aplicando à expressão (4) a transormada discreta de Fourier Inversa (TDFI), obtemos uma nova seqüência, também duplamente ininita, cujo termo genérico é 1 j k ( 2 / N ) n (5) s( k ) SD( n). e N n N. Cada período desta seqüência reproduz, exatamente, a seqüência original. Vamos agora estudar como essa transormada discreta, obtida através do sinal discreto s(k.t a ), relaciona-se com S(), a transormada (integral) de Fourier do sinal original (de tempo contínuo) s(t). A operação de amostragem é modelada pela multiplicação do sinal s(t) por uma seqüência de impulsos,

3 3 a( t) ( t k. t a ). k No curso de Sistemas e Sinais ( [3], Cap. 1 ) mostra-se que o espectro do sinal s(t) amostrado impulsivamente (ou seja, de s(t).a(t)), com reqüência a, é dado por (6) S ( ). S( n ) a a a n onde S() é o espectro do sinal s(t). Portanto, o espectro do sinal amostrado consiste em uma soma de réplicas do espectro do sinal original, deslocadas sucessivamente de a. Vamos agora distinguir dois casos: sinal de duração menor que a janela de amostragem; sinal de duração maior que a janela de amostragem. a) Sinal de duração menor que a janela de amostragem: Se o sinal s(t) or de duração limitada, estiver inteiramente contido na janela e seus componentes espectrais orem nulos nas reqüências maiores que a / 2 (condição de Nyquist), vale (7) S D (n) = S a (n. D ), n =, 1, 2, P onde P = ( N + 1 ) 1 se N or ímpar ou 2 = ( N ) 1 se N or par 2 ou seja, o n-ésimo termo da seqüência transormada é igual ao valor do espectro do sinal amostrado na reqüência n. D (ver [3], sec.1.6). Levando-se em conta (6) e (7), resulta 1 (8) S( n D). SD( n), n, 1, 2, INT( N / 2) 1. a Portanto, dado um sinal inteiramente contido na janela de amostragem e com o espectro limitado à metade da reqüência de amostragem, a TDF ornece amostras do seu espectro de Fourier, tomadas em reqüências múltiplas do inverso da duração da janela de amostragem, a menos de uma constante multiplicativa. Inelizmente, os sinais de duração limitada têm sempre espectro ilimitado, de modo que a relação (8) só se veriica aproximadamente. Há então um erro de recobrimento ( aliasing ). Este erro será desprezível se o espectro de s(t) decair rapidamente com a reqüência, sendo relativamente muito pequeno em reqüências próximas de (N/2). D. b) Sinais de duração maior que a janela de amostragem: Ao amostrar um sinal s(t), com transormada de Fourier S(), através de uma janela de duração T D, menor que a duração do sinal, estaremos de ato substituindo o sinal original por um sinal truncado, obtido multiplicando-se o sinal original pelo pulso retangular pt t T D / 2( D / 2), indicado na Figura 1.

4 4 p TD/2 (t-t D /2) 1 O sinal truncado (ou janelado) será então T D t Figura 1 (9) s J (t) = pt D2 (t T D 2 ). s(t) Este tipo de truncamento será designado por janela retangular, pois todas as amostras serão multiplicadas por 1. Pelo teorema da convolução no domínio da reqüência, associado ao teorema do deslocamento no tempo e usando reqüências cíclicas, o espectro de s J (t) será (1) S ( ) S( )* T sinc(. T ). e J D D j T D. Como o sinal janelado (9) tem duração inita, podemos aplicar-lhe as considerações do item anterior, usando o espectro (1). Os sinais periódicos enquadram-se no tipo (b). Por seu especial interesse, serão discutidos no item seguinte. 3- Aplicação aos sinais periódicos com espectro limitado: Consideremos um sinal periódico, de período T e espectro limitado, expandido em série de Fourier: M 2 n n M jn t (11) s( t ) c e, T 1 onde os c n são os coeicientes complexos de Fourier, correspondentes às reqüências n.. Passando o sinal por uma janela retangular de duração T D, obtemos o sinal s J (t), limitado no tempo e cujo espectro, por aplicação de (1), é (12) M S J () = c n T D sinc(( n )T D ). e jπ( n )T D n= M Note ainda que a TDF vai amostrar este espectro nas reqüências m D. Obviamente o número de amostras deve ser N>2M. Dois sub-casos devem ser distinguidos: 3.a) - A duração da janela é múltiplo inteiro do período do sinal: Façamos, por exemplo, T D =T = 1/ em (12). O espectro ica:

5 5 (13) M S J () = c n. 1. sinc ( n). e jn( n) n= M Portanto, nas reqüências m teremos M 1 (14) S ( m ) c sinc( m n). e J n M n j ( mn ). Como o sinc se anula para os n m, e vale 1 para n=m, resulta cm (15) SJ ( m ). Aplicando (8) a S J, segue-se (16) c m 1 1 SD( m) cm SD( m) SD( m), M m M. N a a Chegamos assim à relação já conhecida entre a TDF e os coeicientes complexos da série de Fourier. Neste caso, usando a TDF para estimar os coeicientes da série de Fourier de s(t), não haverá erros de recobrimento, vazamento ou eeito cerca; os elementos da TDF, divididos pelo número N de amostras, ornecem precisamente os coeicientes complexos de Fourier. 3.b) A duração da janela não é múltiplo inteiro do período do sinal: O espectro do sinal delimitado pela janela (ou sinal janelado), calculado nas reqüências m D será, por (12), considerando ainda que T D =1/ D, (17) M S J (m D ) = c n. sinc (m n. D n= M ). e jπ(m n D D ), M N 2 Como S J (m D ) = S D (m) / a, por (8), resulta a TDF (18) M S D (m) = N. c n. sinc (m n. ). e jπ(m D n= M D ) m N 2 Estas órmulas explicam o eeito cerca, pois a partir da TDF só obteremos os valores do espectro nas reqüências múltiplas de D, em vez de reqüências múltiplas de. A título de exemplo, vamos aplicar a (18) a um sinal que só tenha a undamental. Neste caso, só c 1 e c -1 serão não nulos, de modo que a (18) ornece

6 6 (19) S D (m) = [c 1. sinc (m ). e jπ(m ) D + c 1. sinc (m + ). e jπ(m+ D D ) D ] ( m N 2 1) Na igura 2 representamos por o parte dos pontos correspondentes ao módulo da TDF de N=128 amostras de um sinal co-senoidal,com reqüência de 1,25 Hz e 1V de amplitude, numa janela retangular de duração de 1 segundo. No mesmo gráico oi representado, em unção de, o envoltório S D (/ D ) do espectro correspondente. Fica patente que o eeito cerca decorre de / D não ser inteira. A outra conseqüência do erro de vazamento é a presença de harmônicas distantes, devidas aos lóbulos secundários do sinc, que aparecem na transormada de Fourier do pulso retangular. Há uma diiculdade de nomenclatura aqui: o erro de vazamento é o ato da janela usada para o cálculo da transormada não conter um número inteiro de períodos do sinal. Como já visto, o erro de vazamento tem duas conseqüências: o eeito cerca (o ato da raia correspondente à reqüência real do sinal não aparecer, e ser cercada no espectro por raias próximas de amplitude elevada), e o vazamento, o aparecimento de diversas raias de amplitude relativamente baixa, devidas aos lóbulos laterais do sinc. Repare que a palavra vazamento é usada com dois signiicados aqui. Figura 2 - Módulo do espectro da TDF de co-senóide de 1,25 Hz, truncada por janela retangular e amostrada. 4 - Os erros na Análise Espectral e os vários tipos de janelas: O vazamento observado na igura 2 oi causado pelos lóbulos secundários do sinc que aparecem no espectro da janela retangular. É razoável imaginar que esse vazamento possa ser reduzido se usarmos uma janela com lóbulos secundários menores. Usando, por exemplo, uma janela de von Hann, a ser descrita a seguir, obtemos o módulo do espectro da TDF indicado na igura 3. Veriica-se que o vazamento oi reduzido em relação ao caso anterior, mas o eeito cerca

7 7 icou mais pronunciado. Figura 3 - TDF de co-senóide de 1,25 Hz, amostrada e truncada pela janela de von Hann. Como já oi visto em experiência anterior, na análise de sinais espectrais com duração maior que a da janela de amostragem podem aparecer os seguintes tipos de erros (ver [4], [5], [6]): a) erro de vazamento, com as maniestações a.1) vazamento (leakage), causado por descontinuidades do sinal ou de sua derivada, nos extremos da janela; a.2) eeito cerca (picket-ence eect), decorrente do ato do espectro do sinal ser amostrado em reqüências múltiplas de D = 1/T D ; b) erros de recobrimento ou rebatimento (aliasing), resultantes da presença de componentes do sinal com reqüências maiores que a /2. A deesa contra este último erro é passar o sinal por um iltro anti-recobrimento (antialiasing), antes da operação de amostragem. A reqüência de corte deste iltro deve ser igual (ou menor que) a metade da reqüência de amostragem. Alternativamente, se possível, a reqüência de amostragem deve ser aumentada. O eeito cerca é atenuado aumentando-se a duração da janela, para aumentar a deinição D = 1/T D da análise. É claro que se deve também aumentar o número de amostras, para manter ixa a reqüência de amostragem. O vazamento é atenuado pelas janelas não-retangulares, como já oi exempliicado. Estas janelas atribuem pesos às dierentes amostras, com pesos menores para as amostras iniciais e inais. Com isso atenuam-se eventuais descontinuidades, reduzindo o decorrente vazamento. Para reduzir o eeito cerca, o que se pode azer é aumentar a duração da janela, diminuindo-se assim d. Sendo w(t) a unção que descreve a janela, o sinal truncado e ponderado pela janela será (2) s w (t) = w(t).s(t). Indicando por T D a duração da janela e tomando a origem dos tempos em seu centro, a unção w(t) será nula para os t > T D / 2. No intervalo da janela, as unções w(t) valem:

8 8 janela retangular: w D (t) = 1 janela de von Hann: janela de Hamming: janela de Blackman: w VH (t) = 1 t [1 + cos (2π )] 2 T D w H (t) =,54 +,46. cos (2π t T D ) w B (t) =,42 +,5. cos (2π t T D ) +,8. cos (4π t T D ) janela lattop: w FT (t) = 1 1,93. cos (2π t T D ) + 1,29. cos (4π t T D ),388. cos (6π t T D ) +,32. cos (8π t T D ) Estas janelas (normalizadas em T D =1), com os respectivos espectros, estão representadas na igura 4, com os gráicos das janelas na coluna da esquerda (domínio do tempo) e os espectros na coluna da direita (domínio de reqüência). O exame dessa igura mostra que a janela retangular é a que tem espectro com o lóbulo principal mais estreito, o que leva a uma melhor deinição espectral (no sentido de distinguir entre dois componentes vizinhos. Em compensação, os lóbulos secundários relativamente altos contribuem para aumentar os vazamentos. O ideal para zerar os vazamentos seria uma janela que não apresentasse lóbulos secundários. A igura 4 mostra que a janela de Blackman é a que mais se aproxima desse alvo. Em contrapartida, seu lóbulo principal é bemlargo, o que reduz a deinição espectral. A transormada da janela lattop também tem lóbulos laterais de baixa amplitude, com um lóbulo central muito largo. Sua utilidade é que o lóbulo central tem uma aixa larga com amplitude praticamente constante igual a um, o que permite o uso da janela lattop para medir amplitudes de raias espectrais (as outras janelas oram projetadas com o objetivo de conseguir lóbulos laterais de amplitude pequena com um lóbulo central o mais estreito possível, e não são boas para medir a amplitude de uma raia espectral, como pode ser visto estudando-se os espectros da igura 4).

9 Figura 4 - Janelas usadas na experiência. (Veja na pág.17 uma comparação das transormadas das janelas, em db) 9

10 1 Na parte experimental será veriicado o eeito das várias janelas sobre um mesmo conjunto de amostras de um sinal. Como antecipação, na igura 5 são apresentadas a TDF de um sinal cosenoidal, com duração de amostragem igual a um número inteiro de períodos da unção e, portanto, sem erros de vazamento, mas com as amostras ponderadas pelos 4 tipos de janelas. Veriica-se que só a janela retangular exibe um só componente. Figura 5 - TDF de co-senóide de 1 Hz com várias janelas (sem vazamento). Portanto, tendo em vista as alterações no espectro introduzidas pelas janelas (menos a retangular), aconselha-se a utilização de tais recursos apenas para se atenuar o eeito do vazamento, quando este or inevitável no processo de amostragem. 5 - A interpretação dos resultados ornecidos pelo sistema de análise espectral do LabVIEW: O Analisador de Espectros do LabVIEW interpreta os sinais truncados pela janela de amostragem como sendo um período de um sinal periódico, ornecendo os correspondentes coeicientes da série de Fourier, na orma trigonométrica polar. Se o sinal or não-periódico e desejarmos obter o seu espectro de Fourier, será necessário azer uma conversão do espectro, voltando à seqüência da TDF e reinterpretando adequadamente seus termos. De ato, à vista de (16), os asores ornecidos pelo programa relacionam-se com os elementos da TDF por (21) 2 A. c. ( ) ( ), N S m S m N m 2 m D D A m m 2 A c

11 11 Mas, por (8), SD( m) a. S( m D ), de modo que a amostra do espectro de Fourier na reqüência m D resulta (22) TD S( m D ). A m 2, m S( ) T. A D. Portanto, no caso de sinais não-periódicos, os módulos dos coeicientes espectrais ornecidos pelo programa devem ser multiplicados pela metade da duração da janela de amostragem para obtermos as correspondentes amostras do seu espectro de Fourier, para os m>. No caso de m =, isto é, do componente contínuo, o coeiciente espectral A deve ser multiplicado pela duração da janela. 6 - Exemplos de alguns espectros: a) Espectro do pulso retangular: O pulso retangular s( t) A. 1( t) 1 ( t T P ), de amplitude A e duração T P tem o espectro de Fourier TP S( ) A. TP. sin( ). e T P j T P. = 2. Na igura 6 estão indicados os gráicos de s(t) e do módulo e ase de S(), para A=2 e T P

12 12 s( t) t Z( ) S( ) 4 Z( ) A( ) Figura 6 - Pulso retangular e seu espectro. b) Espectro de trem de senos: O espectro do sinal s( t ) sin( 2 t ). 1( t ) 1 ( t T D ) calcula-se azendo a convolução do espectro do pulso retangular deslocado com o espectro do seno. Obtém-se j S T T e j T ( ). D. sinc D D( ). sinc T D( ). e 2 ( ) j ( ) TD Na igura 7 apresentamos o sinal, para T D = 2/, e o módulo e ase do espectro correspondente.

13 13 1 s( t) t 5 4 Z( ) P( ) Figura 7 - Trem de senos e seu espectro. 7 Teorema do deslocamento no tempo: Se S( ) representa a transormada de Fourier de s(t), então a transormada de Fourier de s( t t ) vale: S()e j.2π.t ou seja, deslocando por t uma unção no tempo, sua transormada vem multiplicada por exp ( j.2..t ), indicando que seu módulo não se modiica, mas a ase ica reduzida de um ângulo proporcional à reqüência ( Figura 8 ).

14 14 Figura 8 8 As etapas da análise espectral digital As Figuras 9 e 1 [8] ilustram as etapas necessárias para se implementar a análise espectral digital ( janelamento e amostragem ) e seus respectivos eeitos nos domínios do tempo e da reqüência. A Figura 9 ilustra o caso em que a janela inclui um número inteiro de períodos do sinal, e a Figura 1 mostra o caso em que a duração da janela não é um múltiplo inteiro do período do sinal.

15 15 Figura 9

16 16 Figura 1

17 17 Figura 4 (Cont.) Comparação das transormadas das janelas usadas na experiência (db) Bibliograia: [1] - ORSINI, L. Q., CONSONNI, D., Curso de Circuitos Elétricos, vol. II, S. Paulo: Ed. Blücher, 24. [2] - PSI Laboratório de Circuitos Elétricos, Análise de Fourier de Sinais Periódicos, S. Paulo, PSI-EPUSP, 217. [3] - ORSINI, L. Q., Sistemas e Sinais (Notas de aulas), S. Paulo: PTC-EPUSP, 26. [4] - OPPENHEIM, A. V. e WILSKY, A. W., Signals and Systems, pps. 189 e seguintes, Englewood Clis, N.J.: Prentice-Hall, [5] - BRIGHAM, E. O., The Fast Fourier Transorm, Englewood Clis, N.J.: Prentice-Hall, [6] - GERKEN, M., Estudo da Transormada de Fourier Discreta e sua aplicação à Análise Espectral (dissertação de Mestrado), S. Paulo, SP.: DEE/EPUSP, [7] - LabVIEW Graphical Programming or Instrumentation, National Instruments, Versão 5., Austin, TX, [8] - RAMIREZ, R. W., The FFF Fundamentals and Concepts, Prentice-Hall, Inc., Agradecimentos: Os gráicos da iguras 2, 3, 4 e 5 oram eitos pelo Pro. Vítor Heloiz Nascimento. O Pro. Max Gerken colaborou para a revisão inal desta instrução.